1 Бердянськ 2010 (06)

УДК 004.414.23

кандидат технічних наук, доцент,

старший викладач

(Бердянський університет менеджменту і бізнесу)
ВИВЧЕННЯ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ В ЕЛЕКТРИЧНИХ СХЕМАХ

З ВИКОРИСТАННЯМ СИСТЕМИ МОДЕЛЮВАННЯ “ELECTRONICS WORKBENCH”
Постановка проблеми. Дослідження перехідних процесів в електротехнічних схемах із застосуванням лабораторного стендового устаткування пов’язане із значними труднощами. Основна складність полягає в тому, що тривалість в часі самого перехідного процесу зазвичай незначна. Тому візуально зафіксувати часові діаграми сигналів і виконати вимірювання з необхідною точністю, наприклад, на екрані осцилографа дуже складно. У таких випадках є доцільним застосування методів математичного моделювання з використанням засобів обчислювальної техніки. Як основний інструментарій для вивчення перехідних процесів у курсі “Основи електротехніки” можна вибрати програмне забезпечення “Electronics Workbench” (EWB), яке відрізняється простим та легким у засвоюванні інтерфейсом користувача.

Аналіз досліджень і публікацій. Важливе методологічне та наукове значення для проведення нашого дослідження мають праці таких вчених: В. Разевіга, Д. Панфілова, Д. Дорнова.

Метою статті є дослідження перехідних процесів в електричних схемах із застосуванням програмного забезпечення “Electronics Workbench” під час вивчення відповідних розділів електротехніки.

У загальному випадку процес моделювання в програмі EWB зводиться до наступних етапів. Після запуску процесу моделювання компоненти схеми замінюються їх математичними моделями, найчастіше – програмними моделями PSpice [4, с. 22]. Складається система лінійних, нелінійних або диференціальних рівнянь за методом, аналогічним методу вузлових потенціалів. Потенціал потрібно обчислити для кожної точки схеми. Далі система рівнянь (матриця) перетворюється в дві – нижнього (Low) і верхнього (Upper) рівнів. Виконується LU-факторизація методом послідовного виключення змінних Гауса [1, с. 46], після чого для знаходження коренів рівнянь (потенціалів V_i в кожній ноді) застосовується метод Н’ютона-Рафсона.

Для настройки параметрів моделювання необхідно використовувати меню Analysis Options програми EWB [3, с. 83]. У діалоговому вікні вибирається Transient – настройка параметрів режиму аналізу перехідних процесів. Для користувача передбачається можливий вибір методу наближеного розв’язування системи диференціальних рівнянь параметром METHOD: 1) TRAPEZOIDAL – метод Ейлера з вирівнюванням, у цьому випадку реалізується формула: V_n+1=V_n+(h/2)·(dV_n/dt +dV_n+1/dt), де h – крок ітерації, V_n+1, V_n значення потенціалу в i-й точці схеми на поточному і попередньому кроці ітерації; 2) GEAR – метод Гіра [2, с. 25]; порядок методу визначається параметром MAXORD (від 2 до 6); метод Гіра першого порядку є модифікацією методу Ейлера, вже при настроюванні на другий порядок методу передбачається можливість роботи із змінним кроком, який, залежно від швидкості зміни потенціалу V_i, може автоматично змінюватися.

Розглянемо застосування програми EWB на прикладі дослідження характеру перехідних процесів у схемі (рис. 1), що складається з конденсатора та резистора. Експериментальні залежності зміни напруги на ємкості в часі будемо отримувати у вигляді осцилограм. Перехідні процеси відбуваються під час увімкнення (процес заряда ємкості) і вимкнення (процес розряда ємкості) джерела постійної напруги.

Для програмно керованого перемикача К встановлюємо час увімкнення T_ON=0 секунд, час вимкнення T_OFF=0.8 секунд. У початковому стані ключ К знаходиться у верхньому положенні. При цьому конденсатор не заряджений, U_c=0 і струм через опір дорівнює нулю. У момент часу t=0 ключ К переводиться в нижнє положення, одночасно до ланцюга підключається постійна напруга U₀ і ємкість починає заряджатися через опір R струмом i(t). Завдяки дії зарядного струму напруга на обкладках конденсатора починає збільшуватися за рахунок зростання запасеної в конденсаторі кількості зарядів. Коли напруга стане дорівнювати U₀, процес заряду закінчується і зарядний струм стане дорівнювати нулю.

За II законом Кирхгофа для будь-якого моменту часу t>0 можна записати U₀ = U_R(t)+ U_C(t). Враховуючи, що заряд Q(t)=С∙U_C(t), записуємо формулу для струму заряду конденсатора i(t)= dQ/dt=C∙dU_C /dt. Тоді ·dU_C /dt+U_C(t)= U₀ . Тут = R∙C – постійна часу процесу. Це рівняння відображає закономірність зміни в часі напруги на конденсаторі під час його підключення до джерела постійної напруги. Це звичайне диференціальне рівняння першого порядку, рішення якого шукаємо у стандартному вигляді: U_C(t)= C₂∙e^-t/ + C₁, де C₁ і C₂ – константи, що визначаються з початкових умов (t=0) і сталого режиму (t=). При t= (сталий режим) U_C()=U₀, звідки константа C₁=U₀.

Згідно з другим законом комутації виходить, що у початковий момент часу напруга на конденсаторі не може змінитися стрибком. До моменту комутації напруга U_C дорівнювала нулю. Тобто при t=0 U_C(0)=0=C₁+C₂, звідки константа C₂ = –U₀ . З урахуванням знайдених констант напруга на конденсаторі у процесі заряду набуває вигляду: U_C(t)= U₀ – U₀∙e^-t/ =U₀∙(1– e^-t/ ). Напруга на резисторі U_R(t)=U₀ –U_C(t)=U₀ e^-t/ . Струм у схемі i(t)=U_R(t)/R=(U₀/R)∙e^-t/ = I₀ e^-t/ . У теоретичних основах електротехніки вважається, що в момент часу t=3∙ перехідний процес є, в основному, завершеним. При цьому U_C(3 )= 0.95∙U₀ . Для поданої схеми U_C(3 )=0.95∙150=142.5 В.

Далі розглянемо перехідний процес розряду конденсатора. Тепер приймемо, що конденсатор повністю заряджений до величини U₀ і перехідні процеси заряду завершені. У момент часу T_OFF ключ повертається у верхнє положення. При цьому U_ВХ(t)=0. Конденсатор, який був раніше заряджений практично до U₀, починає розряджатися через опір R. Після закінчення деякого часу конденсатор розрядиться до U_C=0. Перехідний процес розряду завершиться сталим режимом: U_C(∞)=0; U_R(∞)=0; i(∞)=0.

За II законом Кирхгофа маємо: 0= U_R(t) + U_C(t). Тобто 0=R∙i(t)+ U_C(t). Враховуючи, що i(t) = dQ/dt=C∙dU_C /dt, остаточно отримуємо рівняння для процесу розряда: ∙dU_C /dt+U_C(t)=0. Константи інтегрування визначаємо з початкових умов (застосовуємо закон комутації) і сталого режиму (t=): при t= ∞ U_C(∞)=0; константа C₁=0; при t=0 U_C(0)=U₀=C₂+C₁; константа C₂=U₀ . Таким чином, отримуємо наступні формули, що описують перехідний процес розряду конденсатора: U_C(t)= U₀ ∙e^-t/ ; U_R(t)= – U_C(t)= – U₀ e^-t/ ; i(t)= U_R(t)/R= – (U₀/R)·e^-t/ = –I₀ e^-t/ .

Перевірити аналітичні розрахунки можна за допомогою порівняння теоретичного значення постійною часу перехідного процесу τ з експериментальним значенням. Експериментальне значення τ обчислюється за осцилограмою програми EWB. Значення 3τ може бути визначене графічно, як інтервал часу між моментом підключення джерела U₀ і моментом часу, коли U_C(t) стане дорівнювати 0.95∙U₀=142.5 В. Після проведення програмного моделювання схеми встановлюємо візирну лінію 2 осцилограми на це значення напруги (рис. 2). У вікні вимірювань часових інтервалів осцилографа фіксуємо 3τ=Т₂–Т₁= 5.9677 мс. Тобто експериментальне значення τ_ЕКСП=1.99 мс. Розрахункове значення τ_ТЕОР=R∙C=20∙100∙0.000001=2.00 мс.

Результати теорії та експерименту практично співпадають. Незначна похибка вимірювань пов’язана з похибкою установки візирних ліній віртуального осцилографа. Графіки на екрані (рис. 2) повністю підтверджують розрахункові формули залежності U_C(t) для процесів заряду і розряду.

Вельми важливим для практики є аналіз перехідних процесів для RC-ланцюга при дії вхідного імпульсу прямокутної форми. Будемо вважати, що увімкненням і вимкненням джерела ми моделюємо дію такого імпульсу. При цьому істотне значення має співвідношення тривалості імпульсу t_И і постійною часу ланцюга τ. Під час аналізу вхідний імпульс прямокутної форми розглядається як сукупність двох послідовних стрибків напруги, дії яких вже розглянуто раніше. На осцилограмі рис. 2 показано випадок: τ<<t_И. Якщо продиференціювати вхідний імпульс, вважаючи, що U_ВХ(t) не наростає і не спадає миттєво, то графік зміни напруги на резисторі U_R(t) за формою нагадує похідну сигналу U_ВХ(t). І чим менше τ, тим більш великою стає ця схожість. Прийнято вважати, що для вхідної прямокутної напруги тривалістю t_И напруга на резисторі U_R(t) з великою точністю пропорційна похідній вхідного сигналу, якщо τ<0.1∙t_И. Такий RC-ланцюг називається диференцюючим.

Для дослідження характеру прямокутної дії у випадку τ>>t_И можна збільшити значення резистора R в 10 разів до 200 Ом. Моделювання дає якісно іншу осцилограму процесів (рис. 3). Швидкість протікання перехідних процесів зменшилася в 10 разів, оскільки в стільки ж разів збільшилося значення постійною часу τ перехідних процесів. Напруга на ємкості не встигає за час дії імпульсу досягти значення U_0|. Це добре видно з осцилограми.

Якщо проаналізувати інтеграл вхідної напруги U_ВХ за час t_И, то він є лінійно зростаючою функцією, що формою нагадує практично лінійно зростаючу напругу U_C|(t) у випадку τ>>t_И (рис. 3). Тому напругу на конденсаторі U_C(t) за час t_И прийнято вважати пропорційною інтегралу вхідного прямокутного імпульсу, якщо τ>10∙t_И. Такий RC-ланцюг називається інтегруючим. Диференціюючі ланцюги в комп’ютерній електроніці використовуються як формувачі загострених імпульсів, а інтегруючі ланцюги складають основу електронних схем для генерування напруги, що змінюється лінійним чином.

Висновки. Таким чином, програмне забезпечення EWB є важливим і доступним інструментом дослідження перехідних процесів електронних систем. З використанням EWB в лабораторному практикумі студенти мають можливість фіксувати часові діаграми сигналів і виконувати вимірювання з високою точністю. Методологічна цінність полягає у практичному застосуванні методів математичного моделювання в галузі конкретної технічної науки.

Перспективи подальших пошуків у напрямку дослідження. Викладений вище матеріал складає методику формування знань теоретичних основ електротехніки студентами вищого навчального закладу та практичного застосування цих знань у розробках промислової електроніки.
ЛІТЕРАТУРА

1. Дорнов Д. Численные методы и программирование на Фортране / Д. Дорнов. – М. : Мир, 1977. – 584 с.

2. Карлащук В. И. Электронная лаборатория на IBM PC / В. И. Карлащук. – М. : СОЛОН-Р, 2001. – 510 с.

3. Панфилов Д. И. Электротехника и электроника в экспериментах и упражнениях : практикум на Electronics Workbench / Д. И. Панфилов. – М. : ДОДЭКА, 2000. – 358 с.

4. Разевиг В. Д. Применение программ PCAD и PSpice для схемотехнического моделирования на ПЭВМ / В. Д. Разевиг. – М. : Высшая школа, 1989. – 532 с.

Дата надходження статті: 18.11.2009 року.

Дата прийняття статті до друку: 11.02.2010 року.