1. Функция мәндерінің жиынын анықтау әдістемесі

18 
мұндағы 
- толымсыз бөлінділер, ал 34; 3; 1-сәйкес қалдықтар. 
Соңғы қалдық 1–37 мен 256–ның өзара жай сандар екендігін көрсетеді.
Ендеше, теңдеудің шешімі бар. Оларды табу үшін y"-тің коэффиценті 
үлкен (256>37) болғандықтан, осы кестенің үшінші жолының 1-ші торына у  
белгісізді, ал 2-ші, 3-ші торларына "1" және "0" сандарын (үнемі) 
орналастырайық:
6-кесте.
256 
37 
34 
3 
1 
6 
1 
11 
y 
1 
0 
Енді 3-жолдың бос торларын үштіктердің мәндерімен толтырамыз:
7-кесте.
256 
37 
34 
3 
1 
6 
1 
11 
у 
1 
0 
1 
-1 
Үштіктің соңғы мәні (
) көмекші теңдеудің дербес шешімінің 
екінші компоненті болады. Онда, көмекші теңдеуден: 
83
37
12
256
1
37
256
1
0
0







y
x
. 
Сонымен, 
дербес шешімі:
. 
Онда, 

. 
Ал, 

немесе берілген 
теңдеудің дербес шешімі болып табылады да, жалпы шешімі: 









t
y
t
 
37
36
,
256
249
(мұндағы, t - кез келген бүтін сан). 
үшін,
болғандықтан, 
берілген теңдеудің жалпы шешімін мына түрде ықшамырақ жазуға болады: 







.
37
1
,
256
7
t
y
t
x
. 
Жауабы: 







t
y
t
x
37
1
,
256
7
мұндағы,
. 
 
29–мысал. 
теңдеуін шешіңіз.
Шешуі. Алдымен, 
теңдеуін шешеміз:
8-кесте.
3125 
1024 
53 
17 
2 
1 
3 
19 
3 
8 
y 
1 
0 
1 
-19 
58 
-483 
x 
0 
1 
-3 
58 
-177 
1474 

19 
Сонымен, 

– дербес шешімі. 
Онда,

. 

немесе 
. 
Ал, берілген теңдеудің жалпы шешімі: 







.
1024
1014783
,
3125
3096874
t
y
t
 
(мұндағы, t - кез келген бүтін сан). 
мәні үшін
болғандықтан, берілген теңдеудің жалпы шешімін мына түрде ықшамырақ 
жазуға болады: 









t
y
t
x
1024
1
,
3125
1
мұндағы,
. 
 Жауабы: 









t
y
t
x
1024
1
,
3125
1
мұндағы, 
. 
 
30-мысал. 5767
теңдеуін шешіңіз.
Шешуі. ЕҮОБ
екені көрініп тұр. Ал, теңдеудің оң 
жағы 218 саны 79 – ға бөлінбейді. Ендеше, теңдеудің шешімі жоқ.  
9-кесте.
 
5767 
5609 
158 
79 
0 
1 
35 
2 
31-мысал. 
теңдеуін шешіңіз. 
Шешуі. 
– тің ең үлкен мәні 1, ең кіші мәні (–1) екендігін ескерсек, 
берілген теңдеу мына теңдеулер жүйесімен мәндес болатындығы айқын: 






.
1
19
sin
,
1
17
sin
x
x
Онда, 











19
2
38
,
17
2
34
k
x
n
x





19
2
38
17
2
34
k
n








немесе 
, мұндағы, 
. 
10-кесте.
19 
17 
2 
1 
1 
8 
n 
1 
0 
1 
-8 
k 
0 
1 
-1 
9 
Осы кестеден, 

– дербес шешімі.
Ал, 

. Онда,

– дербес 
шешімдері екендігін көреміз. 
Ал, берілген теңдеудің жалпы шешімі: 







t
n
t
k
17
72
,
19
81
мұндағы 


t
. 

20 
 
 
мәні 
үшін 
, 
болғандықтан, 







t
n
t
k
17
4
,
19
5
мұндағы, 
. 
Онда 




2
34
17
)
17
4
(
17
2
34





t
x
, 
, . 
Жауабы: 
, . 
7. Қозғалысқа арналған есептерді графиктік тәсілмен шешу 
әдістемесі. 
Әдетте, қозғалысқа арналған есептер көптеген оқушыларға оңай 
тимейтіні белгілі. Есептердің мазмұндарында кездесетін «...уақыттан кейін 
кездесті», «...уақытта қуып жетті», «2-ші автомобиль В қаласына 1-ші 
автомобильге қарағанда ... сағат бұрын (кейін) жетті» немесе «А қаласынан 2-
ші автомобиль 1-шіге қарағанда ... сағат ерте (кеш) шықты», «жолда ... сағат 
кідірді» және т.б сөйлемдерге сәйкес теңдеулер құру біршама қиындық 
туғызатынын тәжірибе көрсетіп жүр. Себебі, бір түзудің бойына екі немесе 
одан да артық материалдық нүктелердің әртүрлі уақыт мезеттеріндегі 
орындарын кескіндеу мен оны математикалық тілге аудару көп біліктілік пен 
осы түрдегі есептерді шығару дағдыларын қажет етеді. Қозғалыс тақырыбына 
берілген есептерде кездесетін шамалар:
- уақыт, 
- жылдамдық, 
- арақашықтық.
теңдеуін қолданамыз. 
Сондықтан, қозғалысқа арналған есептерді шешудің графиктік тәсілін 
қарастырайық. Ол үшін материалдық нүктелердің қозғалыс графигін 
пайдаланамыз: 
4-сурет. 
4-суреттен 
сәулесі жылдамдығы нүктенің қозғалыс графигі, 
кесіндісі уақыт аралығындағы нүктенің жүрген жолы екендігі 
көрініп тұр. Яғни, 
– дан (нүктенің қозғалыс теңдеуі): 
. (1) 
 
Ескерту: 
кесіндісінің ұзындығы емес! Графигі кескінделген 
нүктенің жылдамдығы 
екендігін ғана көрсетеді ( -cәулесі). 
 

21 
32-мысал. Жылдамдықтары 
, бір-бірінен ара қашықтығы 
екі 
нүкте бір мезетте бір бағытта қозғала бастады. Қанша уақытта екінші нүкте 
бірінші нүктені қуып жетеді? 
Шешуі. Қозғалыс графиктерін кескіндейік: 
5-сурет. 
5-суреттен 
(1)-ші теңдеуге сәйкес:
, бұдан,
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Жауабы :
. 
 
33-мысал. Жылдамдықтары 
, ара қашықтықтары 
екі нүкте бір 
мезетте бір-біріне қарама-қарсы қозғалып келеді. Қанша уақыттан кейін олар 
кездеседі? 
Шешуі. Екі нүктенің қозғалыс графиктерін кескіндейік:
6-сурет. 
6-суреттен
. Ал, , –дан
,
–дан
. Сондықтан,
немесе 
, бұдан, 
. 
Жауабы:
. 
 
34-мысал. А қаласы мен В қаласының арасы 260 км. А қаласынан В 
қаласына шыққан автобус 2 сағаттан кейін 30 мин. амалсыздан тоқтап, 
машинаның ақауын жөндеген соң, В қаласына уақытында жету үшін 
жылдамдығын 5 км/сағатқа арттырды. Автобустың алғашқы жылдамдығы 
қандай болғаны?

22 
Шешуі. Автобустың алғашқы жылдамдығын v деп белгілеп, оның 
қозғалыс графигін кескіндейік: 
 
7-сурет. 
7-суреттен есептің мазмұнына сәйкес 
км, сағ.
сағ. 
, 
. 
Ал, 
. Сондықтан,
.
Ендеше, 
(км/сағ). 
Жауабы: 40 км/сағ. 
 
35-мысал. Трактор құбыр сүйретіп келеді. Егер бала жермен жүріп, 
құбырдың бойымен аяғынан басына дейін жету үшін, оның қозғалыс 
бағытымен бір қалыпты жылдамдықпен 120 қадам, ал басынан аяғына жету 
үшін 30 қадам жасаған болса, құбырдың ұзындығы қандай? Баланың әр қадамы 
0,75 м. 
Шешуі. Құбырдың ұзындығын 
, құбыр мен баланың жылдамдықтарын 
сәйкес 
деп белгілеп, олардың қозғалыс графиктерін 
кескіндейік: 
8-сурет. 
8-суретте (бала мен құбырдың қозғалыстары бағыттас). 
АВ - құбырдың басының, ОВ - құбырдың аяғында тұрған баланың қозғалыс 
графиктері. 
қадам,

23 
, 
.
. Яғни, 
немесе 
(1) 
9-сурет. 
9-суретте (бала мен құбырдың қозғаластары қарама-қарсы). АВ -баланың 
құбырдың басынан аяғына қарай, ОВ - құбырдың аяғының қозғалыс графиктері. 
қадам. 
,
,
. Яғни,
немесе 
(2) 
(1) мен (2) теңдіктерден:
. 
Бұдан, 
(қадам), (м). 
Жауабы: 36 метр. 
 
36-мысал. Трамвай жолымен келе жатқан Дәурен әрбір 12 минут 
сайын оны трамвай қуып жететінін, ал 4 мин сайын қарама-қарсы бағытта 
трамвай кездесетінін байқады. Егер трамвай мен Деуреннің жылдамдықтары 
тұрақты болса, трамвайлардың жүру интервалы қандай?
Шешуі. Трамвай мен Дәуреннің жылдамдықтары сәйкесінше 
болсын. Олардың қозғалыс графиктерін кескіндейік: 
10-сурет. 

24 
10-суретте трамвай мен Дәуреннің қозғалыстары бағыттас болсын. 
– трамвайлардың жүру интервалы. Т
1
В  мен Т
2
А – трамвайлардың, 
Т
1
А – Дәуреннің қозғалыс графиктері. Есептің шарты бойынша Т
1
С=12 
мин. 
. 
, бұл екеуінен
.
Ал, Т
2
C=Т
1
С−Т
1
Т
2 
болғандықтан,
. Бұдан,
 
 

 . (1) 
11-сурет. 
11-cуретте трамвай мен Дәуреннің қозғалыстары қарама-қарсы 
болсын. 
BN=T
1
T
2
=t – трамвайлардың жүру интервалы. EF=BK=4 мин; 
KN=BN−ВK=t−4.

.
 

, бұдан, 
 
немесе
 . (2) 
(1) мен (2) теңдіктерден:  
 , бұдан, t=6. 
Жауабы: 6 минут. 
 
Геометрия курсынан белгілі мына тұжырым, кейбір қозғалысқа 
арналған есептерді шығаруды көп жеңілдетеді: 
Егер 
болса, онда: 
. 

25 
12-сурет. 
 
37-мысал. (Воронеж МУ, математика факультеті). Жаяу адам, 
велосипедші және мотоциклші бір бағытта қозғалып келеді. Жаяу адам 
мен велосипедші бір нүктеде болған кезде, мотоциклші олардан 6км, ал 
мотоциклші велосипедшіні қуып жеткен кезде, жаяу адам олардан 3км 
кейін қалған еді. Мотоциклші жаяу адамды қуып жеткен кезде, 
велосипедші олардан қанша километр озып кеткен? 
Шешуі. Көліктердің қозғалыс графигін кескіндейік: 
13-сурет. 
13-суретте ЕС – жаяу адамның, ЕВ - велосипедшінің және ОВ - 
мотоциклшінің қозғалыс графиктері. D - мотоциклшінің жаяу адамды, В - 
велосипедшіні қуып жеткен мезеттері. Есептің шартына сәйкес ЕО=6 км, ВС=3 
км, ал АD – мотоциклші жаяу адамды қуып жеткен уақыт мезетіндегі 
велосипедшінің олардан озып кету кашықтығы.13-суреттен 
болғандықтан,
, бұдан,
 . 
Жауабы: 2 км. 

жүктеу/скачать 1.43 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: