1-Лекция. Математиканы оқыту әдістемесінің, негізгі мәселелері мен мақсаттары
-Лекция. Есептер шешудің жалпы әдістері
жүктеу/скачать 0.49 Mb.
|
| 10-Лекция. Есептер шешудің жалпы әдістері
Есептер шешу арқылы оқушының ойын дамыту Есеп шығару кезіндегі ойша орындау мен қабылдау, еске түсіру қатар жүреді. Математикалық есептерді шығару кезінде орындалатын дағдылар қажет болады: есептің берілгендеріне талдау жасау, ізделінді мен берілгендерді, бұрын өтілген есептермен салыстыру, қасиеттерді анықтау, қарапайым моделдерді құрастыру, ойша экспериментті іске асыру, біріктіру, есеп шығаруға қажетті ақпаратты таңдау, оны бір жүйеге келтіру, бұл ақпаратты қысқаша мәтін, символика, график түрінде тұжырымдап есеп шығаруға қолдану, есеп шешімін жалпылау, берілгендер арасындағы ерекше жағдайды зерттеу, есеп шығару кезінде осы заманғы психологияның жетістіктерін пайдалану. Есептерді бір сыныптың әр оқушылары әр түрлі формада түсінеді. Математикаға қабілетті оқушы есептердің дербес элементтерін, біртұтас комплекстегі өзара байланысты элементтерді, комплекстегі әрбір элементтердің ролін түсінеді. Орташа оқитын оқушы есептің дербес элементтерін ғана түсіне алады. Сондықтан есептерді шешуді үйреткен кезде есептегі элементтердің арасындағы қатысты арнайы талдау керек. Элементтер есептер шартын талдауға қажетті тәсілдерді таңдап алуға мүмкіндік береді. Есеп шығару кезінде көбінесе бұрын өтілгендерді еске түсіруге тура келеді. Қабілетті оқушы ең қажетті «жалпыланған, құрылымы қабаттасқан» ақпаратты есінде қалдырады. Есте сақталған ақпарат мида қалады, есте қалғандары пайдалануға жеңіл, оңай есте сақталады. Есептерді шешу кезіндегі жалпылау тек ойды дамытып қана қоймай, еске сақтауды да және «жалпыланған ассоциацияны» да қалыптастырады. Есеп шығару кезінде осылардың бәрін ескеру керек. Ойлауды үйрену Математикалық есептер мен жаттығулардың тиімділігі көбінесе оқушылардың есептер шешу кезіндегі шығармашылық белсенділігінің дәрежесіне тікелей байланысты. Есеп оқушылардың сабақтағы ойлау қызметін белсенді қалыпқа келтіреді. Есептер оқушылардың ойын оятып, оларды жұмыс істеуге, ойлауға бағыттайды. Оқушылардың ойлау дағдысын дамыта отырып, дамуға – салу, түрлендіру, тұжырымдарды еске сақтау арқылы дәл ойлауға, талқылай білуге, айғақтарды қарастыра білуге, жалпы және жеке ой қорытындыларын жасауға үйренеді. Математиканы есептер арқылы оқыту Математика сабақтарына жұмсалатын уақыттың көбі есептер шешуге, жаттығуларды орындауға жұмсалады. Математиканы оқыту есептерді шешу арқылы іске асады. Математикалық есептерді шешу арқылы оқушылар көптеген математикалық ұғымдарды меңгереді, математикалық символдарды біледі, дәлелдеу жолын үйренеді. Математиканы есептер шешу арқылы үйрете отырып, мұғалім алдына көптеген дидактикалық талаптарды ескереді, математиканың теориялық мәселелерін үйренуге дайындық жасау – дидактикалық мақсатын алға қояды, жаңа теориялық мәселелерді оқушының есінде қалдыру үшін жаңа айғақтарды игереді. Мысалы: - рационал көрсеткішті дәреженің қасиетін үйренудің алдында бүтін көрсеткішті дәреженің қасиеттері қолданылған есептер шешіледі; - рационал сандар үшін көбейтудің қосуға қатысты үлестірімділік заңын өтер алдында осы заңды бүтін сандар үшін қолданатын жаттығулары орындалады; - оң, теріс сандарды оқытудың алдында термометрдің жұмыс істеу принципі таныстырылады; - санның таңбасы мен модулі, көбейтіндісі, олардың сәйкес шамаларымен сипатталуы арқылы, көбейтуді орындаудың заңдылығын біле отырып табылады Геометриялық есептерді алгебраның көмегімен шешу кейде өте қолайлы болады. Мысалы, дөңес төртбұрыштың екі диагоналының қосындысы оның периметрінен кем, жарты периметрінен артық екенін дәлелдеңіздер. Есептер мен жаттығулар арқылы білік және дағды қалыптастыру Автоматты түрде көптеген тәсілдер мен әдістерді еркін қолдана білуді дағды дейміз. Дұрыс дағдылар жаттығулар жүйесінде және есептер шешуде қалыптасады. Мұндай жүйе жаттығулардың тізбектілігі оқушылардың мүмкіндігі мен жас ерекшеліктеріне қарай реттеліп берілуі керек. Мысалы, және теңдеулерін шешіңіздер 2) Теңсіздікті шешіңіздер Өтілгендерді қайталау Оқышылар есептер шешу кезінде бұрын алған білім, білік дағдыларын қолданады, қайталайды, жақын арадағы және ұзартылған уақыттан соң емтихандар тапсырады. Математиканы оқытудағы ғылыми және оқыту әдістемесі Дидактикада «оқыту әдісі» деп, – мұғалім мен оқушының өзара оқу-тәрбие мәселелерін шешуге бағытталған әрекеттерінің жемісіне қол жеткізу жолдарын айтады. «Оқытуды қабылдау» ұғымы дидактикада өзінің дәл сипаттасы мен анықтамасын тапқан жоқ. Сондықтан, іс жүзінде бұл ұғымдардың ара жігін ажырату қиын. Бұл мұғалім үшін өте маңызды емес. Оның жұмысында маңызды болатын келесі концепциялар болып табылады. Әдістер мен қабылдауларды және тәсілдерді «жаңа», «ескі», «дәстүрлі» деп бөлудің керегі жоқ. Оқытудың дәстүрлі әдістемесі өз кезінде өте бай тәжірибелі педагогтардың ұзақ мерзімдегі практикасынан қалыптасты. Осы әдістерді оқу үдерісіне максимальді түрде қолдану керек. Дәстүрлі және «жаңа» әдістерді комбинациялап қолданудың нәтижесінде мұғалім өз жұмысында зор жетістіктерге жете алады. Мұғалімге әр әдісті қолданылу артықшылығы мен кемшілігі белгілі болуы керек. Математиканы оқытуда жалпы дидактикалық әдістер, яғни математиканы оқытудың арнаулы шарттарына лайықты әдістер қолданылады. Ғылыми әдістерге: индукция, дедукция, аналогия, т.б. жатады. Үйренген кейбір дербес айғақтарға сүйеніп, жалпы қорытынды (болжам) жасау әдісін индукция деп атаймыз. Егер барлық дербес айғақтар қарастырылса, одан шығатын индукцияны толық дейміз, басқа жағдайда толық емес индукция шығады. Толымсыз индукция қате қорытындылар жасауға мәжбүр етеді. Толық индукцияға негізделіп жасалған қорытынды үнемі қатесіз тұжырым жасауға мүмкіндік береді. Дедукциялық әдіс жоғары сыныптарда жиі қолданылады. Өз кезегінде толымсыз индукцияда зор роль атқарады. Математиканы оқытуда эвристикалық әдісті қолдану Эвристика (гректің heoriko – «іздеймін», «ашамын» – деген сөзі) – ғылым, ол оқытуда және жаңалық ашуда қолданылатын әдістерді зерттейтін шығармашылық әрекетті үйрететін ғылым. Эвристикалық зертхана – алға қойылған мәселелердің тез шешілуіне мүмкіндік береді. Теореманы дәлелдеуде, нысанды танып білуде, т.б. зерттеулердегі ең маңызды мәселенің шешілу мүмкіндігінде адамдар техниканы қолданғанымен құбылыс шешімінің дәл алгоритмін бере алмайды. Эвристикалық әдістерді қолданып, сапа жағынан жаңа есептерді шешу моделін құрастыруға болады. Мысалы, қалай болса, солай іздеу моделі (тексеріледі және қателіктерге сүйенеді), зертханалық модель, т.б. Эвристика жаңа пайда болған ғылыми пән, ол философия, кибернетика, психология және педагогика ғылымдарының бірлесуінен қалыптасты. Эвристиканы әрбір ғылым мамандары өзінің көзқарастары тұрғысынан құрастырады, оның негізгі ұғымдарымен, әртүрлі жағдайларына өзі айналысатын ғылымы негізінде талдау жасайды. Эвристиканы кибернетиктер мәселені шешуші жүйенің (адам немесе машина) тиімділігін арттыруға байланысты әдістер мен тәсілдер; психологтар – шығармашылық ойлауды зерттейтін психологияның бір саласы; ал педагогтар мәселелерді шешудің әдісі мен құралы деп түсінеді. Эвристикалық әрекет не эвристикалық үдерістер ақыл-ой әрекетінде өзінің маңызды құрамдас бөлігі деп есептелінетін өзіндік ерекшелігі бар. Адамдарды қоршаған нысандардың бұрыннан белгісіз заңдылығын ашу немесе амалдардың жаңа жүйесін құру сияқты адам ойының барлық ұғымдары дәл анықталмаған. Бұл сайып келгенде «эвристикалық әдіс» ұғымының өзіне қатысты. Көптеген зерттеушілер бұл әдісті есептер шешудің белгілі бір тиімді, бірақ онша қолайлы емес тәсілі деп түсінеді, ол есептерді шешу нұсқасын таңдауды, яғни нұсқа санын қысқартады; белгілі бір процесті зерттеуден бұрын ең соңғы шешімді қалай таңдап алуға болатынын үйретеді. Эвристикалық әдіс арқылы құбылысты сырттай сипаттауға болады, бірақ құбылыстың негізгі мәнін осы әдіспен түсіндіруге болмайды. Осы ұғымның мәнін ашу «эвристикалық» терминін құбылыстың сырын ашуға қолданғанда екі түрлі мағынада қолданады: эвристиканы күрделі стандартты емес есептерді шешетін адамның эвристикалық қызметі, эвристиканы бір есептерді шешуден одан күрделі есептеуді шешуге өтудегі адамның өзінде қалыптастырған арнайы тәсілі деп есептеуге болады. Эвристикалық тәсілдер – әрекеттің дайын формасы ретінде эвристикалық логиканың нысанын құрады, ал нақты процесс – психологияның зерттеу нысаны болады. Егер эвристикалық тәсілдер белгілі бір логикалық форма түрінде бейнеленуі мүмкін немесе математикалық тілде жазылуы мүмкін болса, онда эвристикалық әрекет осы заманғы ғылымның дамуы кезеңінде ешбір математикалық өрнекпен кескінделмейді. Эвристикалық әдісті математиканы оқыту әдісі ретінде қолданғандардың бірі француздың педагог-математигі Лезан болды. Ол «Развития математи-ческой инциативы» деген кітабында эвристиканы мұғалімге ақыл-кеңес ретінде қолданады. Ол мынадай негізгі ұстанымдарды басшылыққа алады: оқытудың негізгі ұстанымы – «ойындарға сүйену, баланың өзін-өзі еркін ұстауына мүмкіндік тудырып, оның қиялын дамытып, өзбетінше жаналық ашуына жәрдемдесу», «Тәрбиелеудің алғашқы сатысына оқушылардың есінде сақтауға қиын болатын жаттығуларды бермеу». Оқитын материалға оқушылардың қызығушылығын туғыза отырып, Лезан көптеген мысалдарды көрнекі түрде көрсете келіп, математиканы барынша тиімді түрде оқыту, оқыту процесінде оқушылардың қызығушылығын тудырудың маңызын өте жоғары бағалайды. Эвристикалық әдіс ХIX ғасырдың басында орыс мектептерінде эвристикалық әдіс қолданыла бастады. Сол кездегі көптеген орыс педагог-математиктері математиканы оқытудың дәстүрлі әдістемесі математикалық білім беруге жарамсыз болғанын атап көрсетті. Белгілі орыс педагог-математигі С. И. Шохор-Троцкий «Геометрия на задачах» деген кітабында математиканың берілген бір материалын оқушыларға сол дайын күйінде баяндауға болмайтынын көрсетеді. Оқытумен тәрбиелеудің ұстанымдарына сүйене отырып, оларды бөлшектеп оқыту керек. Ол геометрия сабақтары күнделікті өмірмен біте қайнасқанда, белгілі бір жоспарлы түрдегі еңбекпен біріккенде, сол арқылы ақыл-ой жұмсау қажеттілігі болғанда ғана қызықты болатынын атап өтті. Математикалық есептер шешудің жалпы әдістемесі Есептер шешудегі талдау мен біріктіру. Математикалық есептерді шешуде талдау мен біріктіру кең түрде Математикалық есептерді шешуде талдау мен біріктіру кең түрде қолданылады. Талдау – ізделіндіден берілгенге қарай көше отырып, талқылау жолы. Біріктіру – берілгеннен бастап ізделіндіге көшу жолы. Бұл екі әдісте бір-бірімен тығыз байланыста болады. Мәселе есептерде талдау мен біріктірудің қолданылуы Мәселе есеп тек математикалық дәйектермен бірге басқа да сюжеттен құралады. Мәтінді есеп құрғанда талдау арқылы арифметикалық аппарат көмегімен есептің жоспарын құруға келеміз. Ал, есеп көбінесе синтетикалық әдіспен шешіледі. Мәселе есеп деп бұл арада берілгендері тек математикалық мазмұннан тұрмай, сонымен бірге басқа да сюжеттен тұратын есептерді айтады. Мәтінді есеп құрғанда талдау арқылы арифметикалық аппарат көмегімен есепті шешу жоспарын құрамыз. Ал, есеп көбінесе синтетикалық әдіспен шешіледі. Есеп. Үйдің үлкен бөлмесінің ені 4 м, ұзындығы ал кішкене бөлменің ұзындығы 4 м, ені Бір бөлменің ауданы екіншісінен қаншаға артық? Талдау. Сұраққа жауап беру үшін бөлмелердің аудандарын және олардың айырмасын табу керек. Бөлмелердің аудандары оның ұзындығы мен енін көбейткенге тең. Есептің жоспары: әрбір бөлменің ауданын тауып, үлкенінен кішісін алу керек. Біріктіру. 1-тәсіл: 1) Үлкен бөлменің ауданы: 2) Кіші бөлменің ауданы: 3) Бірінші бөлменің ауданы екіншісінен: артық. 2-тәсіл. Үлкен бөлме ауданы екіншісі бұлардың айырмасы Синтетикалық әдіс ұтымды, бұған көбейтудің үлестірімділік заңы қолданылды. Алгебраның есептері (теңдеулер құруға берілген есептер, теңдеулер, олардың жүйелері мен жиынтықтары, теңсіздіктер, олардың жүйелері мен жиынтықтары) тек талдау не тек біріктіру қолданылып шешіледі. Теңдеулер құрғанда алдымен белгісізден берілгенге ауысады, яғни талдау қолданылады. Теңдеулер не теңдеулер жүйесі біріктіру әдісі бойынша шешіледі. Есеп. Табанының ұзындығы а, биіктігі һ, теңбүйірлі үшбұрышты салу керек. Талдау. Есеп шешілді, берілген а, һа бойынша үшбұрыш салынды деп ұйғаралық (17-сурет). 17-сурет Һа – биіктігі АВС теңбүйірлі үшбұрышты тең екі тікбұрышты үшбұрышқа бөледі. Сондықтан, есепте берілген һа және катеттері бойынша АDB тікбұрышты үшбұрышты салуға келтіріледі. Салу: 1) берілген һа және бойынша DADB-ны саламыз, 2) ВD-ның D нүктесінен DC = DB болатындай С нүктесін табамыз, 3) С-D-тың үшінші төбесі, оны А төбесімен қосамыз. 4) DABС – ізделінді фигура.. Дәлелдеу. Салынған үшбұрыш есеп шартын қанағаттандырады. Біріншіден, теңбүйірлі, АВ = АС, табаны ВС = а және биіктігі AD = ha. Зерттеу. Есеп ADB тікбұрышты үшбұрышты салуға (һа, ) келеді, бұл әрқашан мүмкін, оның бір шешімі болады. Жоғарыда қарастырылған талдау мен біріктіру әдістемесі есептерді шешудің барынша жалпы әдісі болып табылады. Төменде қарастырылатын әдістер де жалпы әдістер болып саналады. а) Сұрыптау әдісі. Есеп шартын қанағаттандыратын барлық логикалық мүмкіндіктерді қарастыру және оларды таңдап алу. Егер есеп шартына сай логикалық мүмкіндіктері шектеулі болса, онда есеп шартына толық сай келетін әдісті сұрыптап алады. б) Мәліметтер әдісі. Есептер біртіндеп түрлендіріледі. Түрлендірулер тізбегінің соңында қажетті жауапты алуға болады. Егер теңдеуді шешу керек болса, онда берілген теңдеуге эквивалентті теңдеулер тізбегін құрамыз, соңғы теңдеу шешуге жеңіл, ізделінді жауапты береді. Теңдеулер жүйесін, теңсіздіктер жүйесін шешуде дәл осылай жасайды. Дәлелдеуге берілген есептерді шешкенде де теңбе-тең түрлендірулер тізбегін жасап, түсінікті теңбе-теңдікке келеміз. Мысал: х2 – 2ху + у2 – 2х + 3 > 0. Шешуі. х2 – 2ху + у2 – 2х + 3 = х2 – 2х (у + 1) + (у + 1)2 – (у + 1)2 + 2у2 + 3 = = (x – y – 1)2 + y2 – 2y + 1 + 1 = (x – y – 1)2 + (y – 1)2 + 1 > 0. Мәліметтерді қабылдаудың негізіне геометриялық салу есептерін шешу жатады. Осы түрдегі әрбір есеп мынадай талаптардан тұрады: берілген фигура арқылы, оның конструктивті элементтері арқылы фигура салады, ол есеп шартын қанағаттандыруы керек. Салынуға тиісті есеп элементар салуларға келеді. Мәліметтер әдісімен мәтінді есептер арифметикалық тәсілмен шешіледі. Бұл арада да берілген есеп жай есепке келтіріледі. в) Модельдеуге негізделген әдісі Модельдеуге әртүрлі математикалық нысандар пайдаланылады. Сан формулалар, сан кестелері, әріпті формулалар, функциялар, алгебралық теңдеулер, дифференциалды теңдеулер мен олардың жүйелері, теңсіздіктер, теңсіздіктер жүйесі, қатарлар, геометриялық фигуралар, әр алуан графиктер, кестелер, Венн диаграммалары, т.б. Математикалық модельдеу көптеген мәтінді есептерді шешуде қолданылады. Есеп шарты бойынша құрылған теңдеу – алгебралық (аналитикалық) модель болып табылады. Берілген геометриялық есептегі фигураның сызбасы – ондағы берілгендер мен ізделетін айнымалылар да – геометриялық модель элементтері болады. Көлемді геометриялық фигура моделі – есепте берілген заттардың кескіні, не оны қолдану моделі болады. Мысалы, егер сыныптағы оқушыларға 2-ден конфет таратылса, онда 17 конфет артылады. Егер 3 конфеттен таратылса, онда 2 оқушыға конфет жетпейді. Сыныпта неше оқушы, неше конфет? Бұл есепті 2 сызықтық теңдеу құру арқылы шешуге болады. Егер бұған модуль құрсақ, онда бұл есепті бастауыш сынып оқушылары шеше алады. 2 2 2 ... 2 +17 ... 3 3 3 ... 3 Модель құруға есеп: 2 конфет алған оқушы 3 конфет алуы үшін 17 конфетті және 4 конфетті тарату керек. Өйткені 2 оқушыға 2 конфеттен жетпей қалған. Яғни, қосымша 21 конфет тарату керек. Демек, сыныпта 23 оқушы. А, конфет 21 · 3 = 63. Теңдеу құрсақ: - есептің моделі; (оқушы); (конфет); Жауабы: 23 оқушы, 63 конфет. Орта мектеп математикасында графиктік модельдеу ерекше рөл атқарады, оларға диаграммалар, функциялық графигі, теңдеудің, теңсіздіктің, графиктің геометриялық мағынасы жатады. Белгілі физик А. В. Цингер Л. Н. Толстой жайындағы естеліктерінде шалғышылар туралы есептің ұлы жазушыға қатты ұнағаны жөнінде еске алады. Ал кейін, осы есептің арифметикалық түрде, суретті пайдаланып шешілген оңай шешімін ол, өте қартайған кезінде Я. И. Перельманнан естігенде, оған әсересе қарапайым шешуі қатты ұнайды. Бұл есеп «Лев Толстой есебі» деген атпен белгілі болған. Есеп (Л. Н. Толстой есебі) [26]. Екі шалғышылар артелі (бригадасы, немесе тобы) біреуі екіншісінен екі есе үлкен егіс алқабын шабуы керек еді. Олар жарты күн үлкен шабындық шапты. Түстен кейін артель екіге бөлінді. Бірінші жартысы үлкен алқапта қалып, кешке дейін оны шауып бітірді. Ал артельдің екінші жартысы кіші алқапты кеш батқанша шуып, келесі күні бір шалғышы бір күнде шауып бітіретіндей алқап қалғанда жұмысын аяқтады. Артельде қанша шалғышы бар болғанын табыңыз. Шешуі. Шалғышылар санын – х; шалғышылардың еңбек өнімділігін, яғни 1 күнде 1 шалғышы шабатын алқап ауданын – y деп белгілейік. Есептің шарты бойынша: үлкен алқаптың жарты күнде екі артельдің бірігіп шапқан ауданы: Үлкен алқапты түстен кейін – шалғышылардың жарты күнде шапқан ауданы: . Сонымен 1 күнде шабылып біткен үлкен алқаптың ауданы: Кіші алқапта шалғышылардың жарты күнде шапқан аудан: Кіші алқапта қалып кетіп, ертесі күні 1 шалғышының 1 күнде шауып бітірген алқап ауданы: Сонымен кіші алқаптың ауданы: Есептің шарты бойынша үлкен алқаптың ауданы кіші алқаптың ауданынан екі есе үлкен екені белгілі: немесе осыдан y-терді қысқартсақ: яғни: (шалғышы). Жауабы: 8 шалғышы. Осы есептің жоғарыда айтылған сурет бойынша шешімі (18-сурет): 18- сурет немесе Яғни: суреттен және бөлшектің алымынан 8 шалғышы болғанын байқаймыз. Жауабы: 8 шалғышы. Төртінші тарау Математиканы оқытудың дербес мәселері жүктеу/скачать 0.49 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|