1-Лекция. Математиканы оқыту әдістемесінің, негізгі мәселелері мен мақсаттары
-Лекция. Теоремаларды дәлелдеуге үйрету
жүктеу/скачать 0.49 Mb.
|
| 7-Лекция. Теоремаларды дәлелдеуге үйрету
Теорема ұғымын қатаң түрде анықтау тек формальды теорияларда кездеседі. Мектеп математика курсы сияқты формальді емес теорияларда теорема ұғымына тек түсініктеме беріледі: қисынды пайымдаулар арқылы дұрыс немесе бұрыстығы дәлелдеу нәтижесінде белгілі болатын пайым (сөйлем) теорема, деп аталады. Теорема – грек сөзі, ол: «көз жеткіземін», «ойлап көремін» деген мағыналарды білдіреді. Теореманың түрлері: келісімді теорема (мысалы: «Вертикаль бұрыштар тең»); шартты теорема («егер ..., онда...»). Теореманың бөліктері: 1) теореманың шарты, 2) теореманың қорытындысы, 3) теореманың түсінік беру бөлігі. Бұрын дәлелденген теоремалардан тікелей шығатын кейбір теоремаларды салдарлар, деп атайды. Салыстырмалы түрде, дәлелдемесі қысқа, өз алдына дербес мәнге ие болмайтын және басқа теоремаларды дәлелдеу үшін пайдаланытатын теоремаларды лемма, деп атайды. Лемма – грек сөзі, «табыс» деген мағынада [18]. Математиканы оқытудағы талдау мен біріктіру сипаттамасы Ғылыми зерттеу әдісі ретінде талдау мен біріктіру математикалық зерттеулерде ерекше маңызды рөл атқарады. Талдау – логикалық тәсіл, зерттеу әдісі ретінде үйренілетін нысанды ойша (не прак.) құрамды бөліктерге жіктейді (белгілері, қасиеттері, қатынасы), әр бөлік бүтіннің бөлік ретінде жеке зерттеледі. (Талдау – грекше analygts – жіктеу, бөлшектеу, талдау). Кейін себепті бірлікте, бүтін ретінде қаралады. Жіктеу арқылы пайда болған тізбек сөйлемі бұрыннан белгілі аксиомаға, анықтамаға, бұрын дәлелденген теоремаға келеді. Тізбектің соңғы сөйлемі дәлелдемекші пікір болып шығады. Әрине, тізбектің сөйлемі өзара белгілі қатыста болатыны айқын. Талдау түрі нысан түріне және алға қойған мақсатқа байланысты. Кейде бүтінді бөліктерге жіктеп, бөліктерді жеке-жеке тану немесе түгел тану мәселесі қойылады. Сөйтіп бүтіннің қасиеті танылады. Белгісізден белгіліге қарай жүретін ой өрісін де талдау деп түсінеміз. Біріктіру – логикалық тәсіл, бүтіннің бөліктері қайтадан бір бүтінге біріктіріледі. Біріктіру (грекше sinthess – біріктіру, құрастыру, теру) – талдау прцесінде бөлшектенген нысанның бөліктерін, өзара байланысын анықтап, біріктіру. Сондай-ақ, талдау мен біріктіру, жалпылау, дерексіздеу, салыстыру және аналогиямен астарласа жүреді. Математиканы оқытудағы талдау мен біріктіру мәні өте зор, ол есептер шешу әдісі ретінде, теорема дәлелдеу, математикалық ұғымдардың қасиетін үйрену т.б. барынша әр алуан формада кездеседі. Талдау мен біріктіру – іс-жүзінде бірін-бірі толықтыратын біртұтас әдіс. Мәселен, талдау кезінде күрделі есептер жай есептерге бөлшектенеді, ал біріктіру мұндай жай есептерді бір ғана мағыналы, біртұтас бір есепке біріктіреді. Талдауды бүтіннен оның құрамды бөліктеріне жіктейтін ойлау әдісі, ал біріктіру – ұсақ бөліктерді бір бүтінге біріктіретін ойлау әдісі деп түсінеміз. Бала ойыншықты ұсақтап (талдау) қайта құрастырса (біріктіру) бұл өзіндік талдау мен біріктіру болады. Талдау мен біріктіру физика, химия сияқты экспериментальды ғылымдарда кеңінен қолданылады. Рене Декарт (1596-1650) өзінің «Логика» деген кітабында талдау-біріктіру әдістің мәнін анықтап зерттеді, осы әдістердің мәні туралы барынша көрнекі мынадай мысалдар келтіреді. Мысалы, «Мен, Кароль Ұлы Карлдің туысымын ба, жоқ па?», деген сұрақтың жауабына екі жолмен көрнекі жауап беруге болады. Менен ұлы Карлға дейін және Ұлы Карлдан маған дейін туысқандық байланыстар болса, онда біз Карл екеуміз туысқанбыз. Сөйлемнің бірінші бөлігі – талдау, екінші бөлігі – біріктіру. Мысалы, екі баланың жастарының қосындысы 12. Майгүл 5 жаста. Азат неше жаста екенін табайық. 1) – біріктіруге, берілгенге негізделген. 2) – талдауға негізделген. Талдау (аналитикалық) – зерттеу әдісі ретінде нысанның саны мен өлшеміне сүйеніп, нысанның сандық қасиетін құрастыратын жақтарын көрсетеді. Біріктіру – зерттеу әдісі ретінде нысанның сапалық қасиетін үйренуге негізделеді. Талдауды – салдардан себепке көшетін ойлау формасы ретінде, ал біріктіруді – себептен салдарға көшетін ойлау формасы деп түсіну керек. Талдау-біріктіру – ойлау процесінің ерекше формасы, яғни ойлаудың маңызды психологиялық сипаттамасы. Көптеген психологиялық зерттеулердің көрсеткеніндей, талдау әр түрлі формада кездеседі: а) «фильтр» типті талдау. б) біріктіру арқылы болатын талдау. Мысал. Шеңберге сырттай сызылған тең қабырғалы үшбұрыштың периметрі оған іштей сызылған үшбұрыштың периметрінен 2 есе артық болатынын дәлелдеу керек (1-сурет). 1) қарастырайық; болатынын дәлелдеу керек. Сол сияқты 2) 1), 2) ден Есепті шешу барысында оқушы кесіндісінің қасиеттерін талдайды. Есеп шарты бойынша (– түзуі үшбұрышының бір қабырғасы) және екенін бөлініп алынады. Бұдан соң үшбұрыштың бұл қабырғасы -ның орта сызығы екені дәлелденеді, бұдан жаңа қасиет бөлініп алынады: Бұдан әрі қабырғасы -дің бір қабырғасы ретінде қарастырылады. қабырғасы үшңн жаңа байланыстар жүйесі – жаңа қасиеттер пайда болады (бірде орта сызық, бірде -тың бір қабырғасы). Бұл қасиеттер бір-бірімен белгілі арақатынаста болады. Теоремаларды талдау және біріктіру жолымен дәлелдеу әдістемесі Мысалы, үшбұрыштың ішкі бұрышының қосындысы болатынын дәлелдеу керек (2-сурет). 1-дәлелдеу тәсілі (талдау жолмен) – жазық бұрыш: кез келген үшбұрыштың үш бұрышы жазық бұрышқа тең болатынын көрсету керек. а) нүктесінен өтетін болатын жазық бұрышты саламыз. ә) үшбұрыштың төбесіндегі бұрышы; б) (айқыш бұрыштардың қасиеті). в) (айқыш бұрыштардың қаситеі). г) (жазық бұрыштың қасиеті) ғ) бірдей бұрыштарды ауыстырсақ: Делелдеу керегі осы. 2-дәлелдеу тәсілі (біріктіру жолмен) а) жүргіземіз. ә) (айқыш бұрыштар). б) (айқыш бұрыштар). в) екенін дәлелдеу керек г) жазық бұрыштың қасиеті. ғ) бірдей бұрыштарды ауыстырсақ: Делелдеу керегі осы. Мысалы, Коши теңсіздігін дәлелдеу (5-кесте) , , 5-кесте – Коши теоремасын (теңсіздігін) дәлелдеу Талдау әдісі Біріктіру әдісі ақиқат Біріктіру әдісінің мәні логикалық әдіспен дәлелдеуге болатын берілгендерге сүйенеді. Көбінесе, практикада біртіндеп екі әдісті қатар қолданады: аналитикалық жолмен тұжырымды байқайды, сонан соң синтетикалық жолмен дәлелдеуге тиістіні дәлелдейді. Мысалы, қос импликацияны пайдаланып ойлаудың екі әдісімен бірақ жазамыз: . Біртіндеп талдау әдісі Бұл талдаудың негізгі мәні келесідей ойлауға негізделген: тұжырымының дұрыс болуы үшін тұжырымының дұрыс болуы қажет. Мысал. Ромбының диагоналдары өзара перпендикуляр болатынын дәлелдейік. Дәлелдеу: а) екенін көрсету үшін болатынын көрсету жеткілікті (3-сурет). б) болатынын көрсету үшін – -ға биіктік екенін көрсету жеткілікті. в) ОЛ үшін теңбүйірлі екенін көрсету керек, – оның медианасы. г) тең бүйірлі болу үшін дәлелдедік. д) бірақ шарт бойынша , – медиана, сонымен (параллелограммның диагоналдарының қасиеті бойынша). Бұл теореманың дәлелдеудің біріктіру әдісімен дәлелдену сұлбасы: а) : (шарт бойынша) б) (параллелограммның қасиеті бойынша). в) – медиана г) үшбұрышына биіктік болады. д) . Салыстыра келіп, біртіндеп талдау әдісінің артықшылығын байқаймыз: а) сапалы және өз бетінше, б) логикалық ойлау, в) мақсаты айқын, д) дәлелдеу әдісі қарапайым. жүктеу/скачать 0.49 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|