Задачи для самостоятельного решения

2. Записать уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода.

3. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, может быть представлена как произведение координатной функции ψ и временного множителя, т.е. имеет вид . Покажите, что плотность вероятности нахождения частицы определяется только координатной ψ-функцией.

Для волновой функции основного состояния водородного атома, имеющей вид ψ = Aexp(–r/a), где a – боровский радиус:

4. Найти среднее значение потенциальной энергии электрона.

5. Найти среднее значение модуля кулоновской силы, действующей на электрон.

6. Найти средний электростатический потенциал, создаваемый электроном в центре атома водорода.

7. Вычислить вероятность того, что электрон в этом состоянии находится от ядра на расстоянии, превышающем а) 2а; б) 5а и в) 10а.

8. Вычислить вероятность того, что электрон в этом состоянии находится от ядра на расстоянии a < r < 2a.

9. Найти наиболее вероятное расстояние частицы от центра.

10. Найти среднее расстояние частицы от центра.

11. Рассматривая математический маятник массой m = 100 г и длиной L = 0,5 м в виде гармонического осциллятора, определите классическую амплитуду А маятника, соответствующую энергии нулевых колебаний этого маятника, находящегося в поле тяготения Земли.

Волновая функция основного состояния гармонического осциллятора имеет вид , где α = m/ħ:

12. Найти среднее значение координаты х.

13. Найти среднее значение импульса для этого состояния.

14. Найти среднее значение потенциальной энергии этого состояния.

15. Найти среднюю энергию (в электронвольтах) электромагнитного колебания при температуре 3000 К для длин волн λ, равных: а) 500 мкм, б) 50 мкм, в) 5 мкм, г) 0,5 мкм. Сравнить найденные значения с величиной kT.

16. Показать, что в основном состоянии гармонического осциллятора ΔpΔx = ħ/2, где Δp и Δx – среднеквадратичные отклонения импульса и координаты от их средних. Учесть, что Δx² = x² – x² и Δp² = p² – p².

Волновая функция некоторой частицы имеет вид ψ = Aexp(–r²/2a²), где r – расстояние от частицы до силового центра; а – константа:

17. Найти наиболее вероятное расстояние частицы от центра.

18. Найти среднее значение координаты x.

Частица в момент времени t = 0 находится в состоянии ψ = Aexp(–x²/a² + ikx), где А и а – некоторые положительные постоянные:

19. Найти среднее значение проекции импульса p_x.

20. Найти нормировочный коэффициент А и область, в которой частица локализована.

21. Определить энергию электрона атома водорода в состоянии, для которого волновая функция имеет вид ψ(r) = A(1 + ar)exp(–αr), где А, а и α – некоторые постоянные.

22. Известно, что нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, имеет вид , где L – ширина ямы. Определите среднее значение координаты х электрона.

23. Состояние частицы, находящейся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме ширины L, задано волновой функцией ψ(x) = Ax(L – x). Найти нормировочный коэффициент А.

24. Состояние частицы, находящейся в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной L, задано волновой функцией . Найти вероятность того, что при измерении энергия частицы окажется равной Е₁. Чему равна вероятность получить при измерении отличное от Е₁ значение энергии частицы?

25. Волновая функция основного состояния частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме имеет вид , где L – ширина ямы. Покажите, что Δx²Δp² ~ ħ². Учесть, что Δx² = x² – x² и Δp² = p² – p².

5. Потенциальная яма и потенциальный барьер.
Решение уравнения Шредингера для частицы в прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме (рис.5.1) шириной L дает для энергии лишь дискретные значения

, 5.1)

где число n нумерует возможные значения энергии, n = 1, 2, 3,…-целое число. При этом волновая функция

Расстояние между уровнями с номерами n и n + 1 зависит от n

Рассмотрим движение частицы с энергией Е в поле потенциального барьера бесконечной ширины (рис.5.2) и высоты U₀. Если E < U₀, то в стационарном режиме вся энергия падающей волны отражается, однако под ступенькой (x > 0) волновая функция не равна нулю, а экспоненциально затухает с ростом координаты x. Это соответствует наличию коэффициента преломления

где и – волновые числа, соответствующие движению частицы в областях I и II.

Если U₀ < E, то частица частично отражается, а частично проходит через барьер. Поэтому можно ввести коэффициент отражения R и коэффициент прохождения D.

Коэффициент отражения барьера

Коэффициент пропускания барьера D равен отношению доли прошедшей волны к падающей:

Для коэффициентов отражения и прохождения выполняется соотношение R + D = 1. В классическом случае для E > U₀ всегда D = 1 и R = 0.

Если кантовая частица массой m, двигаясь в области I с энергией Е, встречает на своем пути потенциальный барьер (рис.5.3) шириной L и высотой U₀, то она может отразиться и остаться в области I. Однако существует конечная вероятность того, что она окажется в области III, даже если E < U₀. Этот эффект называется туннельным эффектом. В области II происходит затухание волновой функции.

Вероятность прохождения частицы через барьер – коэффициент прозрачности потенциального барьера D равен

где m и Е – масса и энергия частицы, падающей на барьер; U₀ – высота барьера; L – ширина барьера; коэффициент D₀ определяется природой барьера и обычно слабо отличается от единицы D₀ ≈ 1.

Если барьер имеет произвольную форму (рис.5.4), то его можно разбить на ряд прямоугольных барьеров. Суммарное действие таких барьеров приводит к формуле

. (5.8)

Пределы интегрирования определяются из условия U(x) = E.

Вычисляя, получим W = 0,195.

2. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной L на втором энергетическом уровне. В каких точках ямы плотность вероятности обнаружения частицы совпадает с классической плотностью вероятности.

Решение. Волновая функция ψ, описывающая состояние частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной L, имеет вид , где n – номер энергетического уровня (n = 1, 2, …); x – координата частицы в яме (0 ≤ x ≤ L). Согласно физическому смыслу волновой функции, плотность вероятности w обнаружения частицы в точке с координатой x, равна w = |ψ|². Если частица находится на втором энергетическом уровне (n = 2), то w₂ = (2/L)sin²(2πx/L). Следуя принципу соответствия Бора, выражение для классической плотности вероятности получается при n → ∞: w_∞ = 1/L. Приравнивая, получим sin²(2πx/L) = 1/2. Решая это уравнение, найдем , где k принимает значения 0, ±1, ±2, … В пределах ямы таких точек четыре x = (L/8; 3L/8; 5L/8; 7L/8).

3. Электрон с энергией Е = 4,9 эВ движется в положительном направлении оси x и падает на потенциальный барьер высотой U₀ = 5 эВ и шириной L. При какой ширине барьера вероятность W прохождения электрона через барьер будет равна 0,2?

4. Поток электронов, каждый из которых имеет энергию Е = 100 эВ, падает на барьер бесконечной ширины высотой U₀ < E. Определить высоту потенциального барьера U₀, если известно, что 4 % падающих на барьер электронов отражаются.

2. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной 0,1 нм. Вычислить длину волны излучения при переходе электрона со второго на первый энергетический уровень.

3. Протон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной 0,01 пм. Вычислить длину волны излучения при переходе протона с третьего на второй энергетический уровень.

4. Атом водорода находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной 0,1 м. Вычислить разность энергий соседних уровней, соответствующих средней энергии теплового движения атома при температуре 300 К.

5. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной L в основном состоянии. В каких точках ямы плотность вероятности обнаружения частицы совпадает с классической плотностью вероятности?

6. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной L в основном состоянии. Чему равно отношение плотности вероятности обнаружения частицы в центре ямы к классической плотности вероятности?

7. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной L в первом возбужденном состоянии. В каких точках ямы плотность вероятности обнаружения частицы максимальна, а в каких минимальна?

8. Определите среднее значение импульса в основном состоянии электрона в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

9. Определите среднее значение квадрата импульса в основном состоянии электрона в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

10. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной L на втором энергетическом уровне. Определить вероятность обнаружения частицы в пределах от 0 до L/3.

11. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной L в основном состоянии. Найти отношение вероятностей нахождения частицы в пределах от 0 до L/4 для первого и второго энергетических уровней.

12. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме шириной L в основном состоянии. Найти отношение вероятностей нахождения частицы в пределах от 0 до L/3 и от L/3 до 2L/3.

13. Оценить разность ΔE_n двух соседних уровней энергии при n >> 1 для молекулы газа, находящегося в сосуде, приняв массу молекулы m = 10^–26 кг, а размер сосуда L = 10 см (считать сосуд бесконечно глубокой потенциальной ямой). Сравнить со средней кинетической энергией молекул при комнатной температуре Т = 300 К.

14. Оценить разность ΔE_n двух соседних уровней энергии при n >> 1 для электрона, локализованного в атоме с линейными размерами L ~ 10^–10 м (атом считать бесконечно глубокой потенциальной ямой).

15. Для электрона с энергией E = 1 эВ оценить эффективную глубину его проникновения под барьер высоты U₀ = 5 эВ.

16. Прямоугольный потенциальный бартер имеет ширину L = 0,1 нм. Определите (в электронвольтах) разность энергий U₀ – E, при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер равна 0,5.

17. Протон с энергией 5 эВ движется вдоль оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U₀ = 10 эВ и шириной L = 0,1 нм. Определите вероятность прохождения протоном этого барьера. Во сколько раз следует сузить барьер, чтобы вероятность прохождения его протоном была такой же, как для электрона в этих же условиях.

18. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину L = 0,1 нм. Для электрона разность U₀ – E = 5 эВ. Определите, во сколько раз изменится коэффициент прозрачности D потенциального барьера, если разность U₀ – E возрастает в 4 раза.

19. Частица с энергией E = 10 эВ движется вдоль оси х, встречая на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U₀ = 5 эВ. Определите коэффициент преломления n на границе потенциального барьера.

Рис.5.5

Рис.5.6

–L

Рис.5.7

–L

0

L

x

E

U₀

U
21. Частица с энергией Е = 50 эВ, двигаясь в положительном направлении оси х, встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U₀ = 20 эВ. Определите вероятность отражения частицы от этого барьера.

22. Частица массой m = 10^–19 кг, двигаясь вдоль оси х со скоростью v = 20 м/с, встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный потенциальный барьер высотой U₀ = 100 эВ. Определите коэффициент отражения R на границе потенциального барьера.

23. Электрон с энергией Е движется в положительном направлении оси х, встречая на своем пути барьер, ширина которого L и высота U₀., если барьер имеет форму, показанную на рис.5.5.

24. Найти вероятность прохождения протона с энергией Е сквозь потенциальный барьер на рис.5.6.

25. Найти вероятность прохождения частицы с массой m и энергией Е сквозь потенциальный барьер (рис.5.7), где U(x) = U₀(1 – x²/L²).

6. Строение атома
Решая уравнение Шредингера для электрона в кулоновской яме ядра, показывает, чтоэлектрон в атоме может иметь следующие энергии:

, (6.1)

где m_e – масса электрона, Z – атомный номер, n = 1, 2, 3… – главное квантовое число. Наиболее вероятное расстояние электрона в состоянии n от ядра:

При n = 1 и Z = 1 это расстояние совпадает с радиусом первой боровской орбиты.

Модуль момента импульса электрона в атоме может принимать значения

. (6. 3)

Число ℓ = 0, 1, 2,…n – 1.. называется орбитальным квантовым числом. Проекция момента импульса на любую ось (например, z) тоже может принимать лишь определенные значения

где m_ℓ = 0, ±1, ±2, …, ±ℓ и называется магнитным квантовым числом. Магнитное квантовое число определяет также проекцию магнитного момента, создаваемого движением электрона вокруг ядра:

Модуль магнитного момента электрона

где  = 0,92710^–23 Дж/Тл – магнетон Бора. Отношение модулей орбитальных магнитного и механического моментов называется гиромагнитным отношенеим

Электрон обладает также собственным механическим моментом импульса, равным

где s = 1/2–спиновое квантовое число. Соответствующий ему магнитный момент также квантован

Проекции спинового момента импульса и магнитного момента на направление z внешнего магнитного поля равны

где m_s – спиновое квантовое число, может принимать значения ±1/2.

Гиромагнитное отношение для спиновых магнитного и механического моментов оказывается в два раза больше, чем для орбитальных моментов

Рис.6.1

Орбитальный L_ℓ и спиновый L_s моменты импульса электрона складываются и дают полный момент импульса электрона j (рис.6.1). Он квантуется так же

где – внутреннее квантовое число. Проекция полного момента на направление внешнего магнитного поля

где m_j может принимать 2j + 1 значение от –j до j. Для описания состояния электрона в атоме используют четыре квантовых числа: n, ℓ, m_ℓ и m_s. или n, ℓ, j, m_j. Обычно для орбитального квантового числа используют буквенные обозначения:

При втором способе описания термов используют следующие обозначения: состояния с ℓ = 0, 1, 2, 3,… обозначаются соответственно s, p, d, f, … Справа внизу указывается значение квантового числа j, а слева наверху величина 2s + 1 – мультиплетность терма. Например, ³p₀ означает, что ℓ = 1, s = 1, j = 0.

Из-за разных гиромагнитных отношений для спинового и орбитального моментов суммарный магнитный момент оказывается непараллельным суммарному механическому моменту. Поэтому вводится специальный коэффициент g_Л – фактор Ланде, который есть не что иное, как коэффициент пропорциональности между j и μ_j:

, (6.14)

. (6.15)

Чтобы описать структуру сложного атома, надо знать состояния всех его электронов. В легких и средних атомах орбитальные моменты отдельных электронов складываются в суммарный орбитальный момент

а спиновые – в суммарный спиновый:

и полный момент

В тяжелых атомах полный момент равен сумме полных моментов отдельных электронов

где .

Магнитный момент атома

. (6.20)

Состояния атомов обозначаются так же, как это делается для отдельных электронов, но большими буквами. Например, ³P₀ означает, что L = 1, S = 1, J = 0.

Порядок заполнения энергетических уровней в атоме определяется эмпирическими правилами Клечковского. Первое правило Клечковского: сначала будут заполняться уровни с наименьшей суммой квантовых чисел n + ℓ. Второе правило Клечковского: если два уровня имеют одинаковую сумму квантовых чисел n + ℓ, то первым будет заполняться уровень с меньшим n.

Электроны подчиняются принципу Паули: каждый энергетический уровень может быть заселен не более чем двумя электронами с противоположными спинами. Энергии некоторых состояний могут совпадать, т.е. может иметь место вырождение. В этом случае электроны заселяют состояния таким образом, чтобы спин S атома был максимален и, при этом по возможности максимальным было значение L – правило Гунда.

При попадании атома во внешнее магнитное поле В с полем взаимодействуют как орбитальный, так и спиновый магнитные моменты электронов. Кроме того, эти моменты взаимодействуют между собой (спин-орбитальное взаимодействие). В случае слабого поля взаимодействие магнитных моментов с внешним полем меньше, чем спин-орбитальное взаимодействие, и атом приобретает дополнительную энергию

, (6.21)

которая зависит от квантового числа m_J, т.е. снимается вырождение по m_J.

В сильном магнитном поле спин-орбитальным взаимодействием можно пренебречь, связь между L и S разрывается, и они проецируются на направление поля независимо друг от друга. В этом случае

. (6.22)

Примеры решения задач
1. Определите максимальное число электронов, находящихся в состояниях, описываемых данным главным квантовым числом n.

Решение. Каждому квантовому числу n соответствует n различных значений орбитального квантового числа ℓ: ℓ = 0, 1, 2,…, (n – 1). В свою очередь каждому значению ℓ соответствуют 2ℓ + 1 значения магнитного квантового числа: m_ℓ = 0, ±1, ±2,…, ±ℓ. На каждом уровне m_ℓ могут быть 2 электрона со спиновыми квантовыми числами m_s = ±1/2. Полное количество электронов на оболочке n равно .

2. Электрон в атоме находится в d-состоянии. Определите: а) орбитальный момент импульса электрона; б) максимальное значение проекции момента импульса на направление внешнего магнитного поля.

3. Найти максимально возможный полный механический момент и соответствующее спектральное обозначение терма атома натрия, валентный электрон которого имеет главное квантовое число n = 4.

4. Найти полное расщепление терма ²D_3/2 в магнитном поле В = 2 Тл, считая его а) слабым, б) сильным полем.

а) Дополнительная энергия этого состояния в слабом магнитном поле . Квантовое число m_J может принимать 2J + 1 значений от –J до J. Полное расщепление соответствует разности энергий уровней с m_J = –3/2 и m_J = 3/2 . Подставляя численные данные, получим Δε = 276,910^–6 эВ.

б) Энергетический сдвиг в сильном магнитном поле ΔE = μ_BB(m_L + 2m_S). Квантовые числа m_L и m_S могут иметь значения от –2 до 2 и от –1/2 до 1/2 соответственно. Величина (m_L + 2m_S) будет иметь максимальное значение 3 и минимальное значение –3. Максимальное расщепление будет равно . Подставляя численные значения, получим Δε = 692,310^–6 эВ.

Задачи для самостоятельного решения
1. Заполненной электронной оболочке соответствует главное квантовое число n = 3. Определите число электронов на этой оболочке, которые имеют одинаковые квантовые числа: а) m_s = –1/2; б) m_ℓ = 0; в) m_ℓ = –1, m_s = 1/2.

2. Заполненной электронной оболочке соответствует главное квантовое число n = 4. Определите число электронов на этой оболочке, которые имеют одинаковые квантовые числа: а) m_ℓ = –3; б) m_s = 1/2, m_ℓ = 2; в) m_s = –1/2, m_ℓ = 1.

3. Сколько электронов в атоме могут иметь одинаковые квантовые числа: а) n, ℓ, m_ℓ, m_s; б) n, ℓ, m_ℓ.

4. Валентный электрон атома Na находится в состоянии с n = 3, имея при этом максимально возможный полный механический момент. Каков его магнитный момент в этом состоянии?

5. Определите во сколько раз орбитальный момент импульса L_ℓ электрона, находящегося в f-состоянии, больше, чем для электрона в р-состоянии.

6. 1s электрон атома водорода, поглотив фотон с энергией Е = 12,1 эВ, перешел в возбужденное состояние с максимально возможным орбитальным квантовым числом. Определите изменение момента импульса ΔL_ℓ орбитального движения электрона.

7. Определите суммарное максимальное число s-, p-, d-, f- и g-электронов, которые могут находиться на N- и O-оболочках атома.

8. Найти кратность вырождения ²p, ³d и ⁴f состояний с максимально возможными полными механическими моментами.

9. Написать электронную формулу элемента №79 и объяснить порядок заполнения уровней.

10. Написать электронную формулу элемента № 47 и объяснить порядок заполнения уровней.

11. У какого элемента заполнены K-, L- и M-оболочки и 4s-подоболочка, а также наполовину заполнена 4p-подоболочка?

12. Найти с помощью правила Гунда полный механический момент атома в основном состоянии, если его незаполненная подоболочка содержит: а) три d-электронов, б) семь d-электронов.

13. Найти с помощью правила Гунда полный механический момент атома в основном состоянии, если его незаполненная подоболочка содержит: а) три p-электронов, б) четыре p-электронов.

14. Определить спиновый механический момент атома в состоянии D₂, если максимальное значение проекции магнитного момента в этом состоянии равно 4μ_В.

15. Найти с помощью правила Гунда магнитный момент основного состояния атома, незамкнутая подоболочка которого заполнена ровно наполовину пятью электронами.

16. Возбужденный атом имеет электронную конфигурацию 1s²2s²2p3d и находится при этом в состоянии с максимально возможным полным механическим моментом. Найти магнитный момент атома в этом состоянии.

17. Найти полный механический момент атома в состоянии с S = 3/2 и L = 2, если известно, что магнитный момент его равен 0.

18. Найти возможные значения полных механических моментов атомов, находящихся в состояниях ⁴P и ⁵D.

19. Сколько и какие значения квантового числа J может иметь атом в состоянии с квантовыми числами S и L, равными соответственно а) 2 и 3; б) 3 и 3; в) 5/2 и 2

20. На сколько подуровней расщепится в слабом магнитном поле терм: а) ³P₀; б) ²F_5/2; в) ⁴D_1/2? Привести схему уровней.

21. Атом находится в слабом магнитном поле с индукцией В = 0,25 Тл. Найти полную величину расщепления в электрон-вольтах следующих термов: а) ¹P; б) ³F₄. Привести схему уровней.

22. Атом находится в слабом магнитном поле с индукцией В = 1,0 Тл. Найти полную величину расщепления в электрон-вольтах следующих термов: а) ¹S; б) ²D_5/2. Привести схему уровней.

23. Определить максимальную энергию ΔЕ магнитного взаимодействия атома, находящегося в состоянии ¹D с магнитным полем, индукция которого а) B = 1 Тл (слабое поле), б) В = 50 Тл (сильное поле). Привести схемы уровней.

24. Атом находится в сильном магнитном поле с индукцией В = 5 Тл. Найти полную величину расщепления в электрон-вольтах следующих термов: а) ¹P; б) ³F₄. Привести схему уровней.

25. Написать спектральное обозначение терма, кратность вырождения которого равна 7, а квантовые числа L и S связаны соотношением L = 3S.

7. Рентгеновские спектры атомов
Экспериментально строение атомов изучают, исследуя спектры испускания и поглощения атомами электромагнитного излучения. Переходам валентных электронов соответствует оптический диапазон излучения,а при переходах электронов на внутренних оболочках возникает характеристическое рентгеновское излучение. Схема переходов приведена на рис.7.1.

Частоты и длины волн соответствующего излучения можно определить, используя закон Мозли:

Рис.7.1
, (7.2)

где Z – порядковый номер элемента в системе Менделеева, R и R' – постоянные Ридберга для частот и волнового числа (R = 3,2910¹⁵ c^–1 и R' = 1,1010⁷ м^–1), n₁ – главное квантовое число уровня, с которого уходит электрон, n₂ – главное квантовое число уровня, на который переходит электрон. Величина σ учитывает экранировку внутренними электронами кулоновского взаимодействия ядра и рассматриваемого электрона и называется постоянной экранирования.

При переходах атома из одного состояния в другое с поглощением или испусканием электромагнитного излучения допустимы такие перходы при которых выполняются следующие соотношения, называемые правилами отбора:

Δj = 0, ±1; Δm_j  = 0, ±1; Δℓ = ±1; Δm_ℓ = 0, ±1; Δm_s = 0

ΔJ = ±1, 0, при J_нач ≠ 0 и J_кон ≠ 0

ΔJ = ±1 при J_нач = 0 или J_кон = 0, Δm_J = ±1, 0

ΔS = 0 Δm_S = 0

ΔL = ±1, 0, при L_нач ≠ 0 и L_кон ≠ 0

ΔL = ±1 при L_нач = 0 или L_кон = 0, Δm_L = ±1, 0. (7.3)

В магнитном поле В вследствие снятия вырождения уровни расщепляются. Величина расщепления соответствующих спектральных линий в слабом поле равна

, (7.4)

где m_J1, g_Л1 и m_J2, g_Л2 – квантовые числа и факторы Ланде соответствующих энергетических уровней. При излучении вдоль магнитного поля зеемановские компоненты, обусловленные переходами m_J1 → m_J2, отсутствуют.

При наличии большого количества атомов и при Т ≠ 0 в каждый момент времени часть атомов будет находиться в возбужденных состояниях. Доля атомов, имеющих в термодинамическом равновесии энергию Е, при температуре Т определяется распределением Больцмана

, (7.5)

где g и g₀ – кратности вырождения возбужденного и основного состояний, E₀ – энергия основного состояния.

2. Определить энергию фотона К_α-линии рентгеновского спектра, излучаемого вольфрамом при бомбардировке его быстрыми электронами.

3. Найти зеемановское расщепление спектральной линии ²D_3/2 → ²P_1/2. Указать число компонент в расщепленной линии.

Дополнительная энергия этого состояния в магнитном поле .Аналогично для состояния ²P_1/2: J = 1/2, L = 1, S = 1/2;

Возможны переходы с изменением квантового числа m_J на 0,1 и –1. Рассматривая эти варианты, получим, что возможны расщепления .

4. Атомарный Li с концентрацией n = 3,6 10¹⁸ см^–3 находится при температуре Т = 1500 К. При этом мощность излучения резонансной линии λ = 671 нм (2P → 2S) в расчете на единицу объема газа Р = 0,3 Вт/см³. Найти среднее время жизни атомов лития в состоянии резонансного возбуждения.

Решение. Среднее время жизни определяется вероятностью перехода атома из резонансного состояния в основное . Вероятность перехода есть отношение среднего количества излучающих (переходящих) атомов к общему числу атомов в резонансном состоянии: w = N_2P,изл/N_2P. В резонансном состоянии находятся атомов, где g_2S = 2 и g_2P = 6 кратности вырождения основного и резонансного уровней, и hν = hc/λ. Мощность излучения складывается из количества испущенных фотонов в единицу времени N_2P,изл = P/hν. Таким образом, среднее время жизни . Подставляя численные данные, получим τ = 65 нс.

Задачи для самостоятельного решения
1. Установить, какие из ниже перечисленных переходов запрещены правилами отбора: а) ²D_3/2 → ²P_1/2, б) ³P₁ → ²S_1/2, в) ³F₃ → ³P₂, г) ⁴F_1/2 → ⁴D_5/2.

2. Установить, какие из ниже перечисленных переходов запрещены правилами отбора: а) ²S_1/2 → ²P_3/2, б) ²S_1/2 → ²D_3/2, в) ²D_5/2 → ²P_1/2, г) ²F_7/2 → ²D_3/2.

3. Какую наименьшую разность потенциалов нужно приложить к рентгеновской трубке с вольфрамовым анодом, чтобы в спектре характеристического рентгеновского излучения были все линии К-серии?

4. Вычислить с помощью закона Мозли разность энергий связи К- и L-электронов ванадия.

5. Сколько элементов содержится в ряду между теми, у которых длины волн К_α-линии равны 250 и 179 пм?

6. У какого легкого элемента в спектре поглощения разность частот К- и L-краев поглощения рентгеновских лучей составляет Δω = 6,8510¹⁸ с^–1?

7. У некоторого легкого атома длины волн К_α- и К_β-линий равны соответственно 275 и 251 пм. Что это за атом?

8. Электрон переходит в атоме молибдена с М-слоя на L-слой. Определить длину волны и энергию рентгеновского излучения. Постоянная σ = 5,6.

9. Электрон переходит в атоме циркония с М-слоя на К-слой. Определить длину волны и энергию рентгеновского излучения. Постоянная σ = 1.

10. Длина волны, соответствующей К_α-линии рентгеновского излучения, λ = 7,510^–2 нм. Определить элемент, из которого сделан антикатод. Постоянная σ = 1.

11. К рентгеновской трубке с серебряным антикатодом приложено напряжение, достаточное для возбуждения всей К-серии. Определить суммарную энергию двух квантов, соответствующих α- и β-линиям этой серии. Постоянная σ = 1.

12. При переходе электрона в атоме меди с М-слоя на L-слой испускаются лучи с длиной 1,2 нм. Вычислить постоянную экранирования в формуле Мозли.

13. Длина волны К_α-линии характеристического рентгеновского излучения равна 0,194 нм. Из какого материала сделан антикатод?

14. При исследовании характеристического спектра некоторого элемента было найдено, что длина волны К_α-линии равна 76 пм. какой это элемент?

15. Определите порядковый номер элемента в системе Менделеева, если граничная частота К-серии составляет 5,5510¹⁸ Гц. Принять σ = 1.

16. Определить энергию фотона, соответствующего линии К_α в характеристическом спектре марганца.

17. Определите постоянную экранирования для L-серии рентгеновского излучения, если при переходе электрона в атоме вольфрама с М-оболочки на L-оболочку длина волны испущенного фотона составляет 140 пм.

18. Какую наименьшую разность потенциалов надо приложить к рентгеновской трубке, антикатод которой покрыт ванадием, чтобы в спектре рентгеновского излучения появились все линии К-серии ванадия? Граница К-серии ванадия λ = 226 пм.

19. Спектральная линия, обусловленная переходом ³D₁ → ³P₀, испытывает расщепление в слабом магнитном поле. При наблюдении перпендикулярно к направлению магнитного поля интервал между соседними компонентами зеемановской структуры линии составляет Δω = 1,3210¹⁰ с^–1. Найти индукцию В магнитного поля в месте нахождения источника.

20. Определить спектральный символ синглетного терма атома, если полная ширина расщепления этого терма в слабом магнитном поле с индукцией В = 0,3 Тл составляет 104 мкэВ.

21. Длины волн дуплета желтой линии натрия (²P → ²S) равны 589,59 и 589,00 нм. Найти отношение интервалов между соседними подуровнями зеемановского расщепления термов ²P_3/2 и ²P_1/2 в слабом магнитном поле.

22. Известно, что спектральная линия λ = 612 нм атома обусловлена переходом между синглетными термами. Вычислить интервал Δλ между крайними компонентами этой линии в магнитном поле с индукцией В = 1,0 Тл.

23. Какая относительная часть атомов водорода находится в состоянии с главным квантовым числом n = 2 при T = 3000 K?

24. Определить отношение числа атомов газообразного натрия в состоянии 3Р к числу атомов в основном состоянии 3S при температуре Т = 2400 К. Известно, что переходу 3P → 3S соответствует спектральная линия с длиной волны λ = 589 нм.

25. Разреженные пары ртути, атомы которой практически все находятся в основном состоянии, осветили светом с длиной волны λ = 253,65 нм, соответствующей резонансной линии ртути. При этом оказалось, что мощность испускания данной линии парами ртути оказалась равной Р = 35 мВт. Найти число атомов в состоянии резонансного возбуждения, среднее время жизни которого τ = 0,15 мкс.

• 
  
  жүктеу/скачать 2.17 Mb.
  
  Достарыңызбен бөлісу: