1. Модель атома Бора

8. Спектры молекул

При сближении двух атомов между ними начинают действовать как силы отталкивания, так и силы притяжения. Силы отталкивания более короткодействующие, т.е. быстрее изменяются с изменением расстояния между атомами, чем силы притяжения. Это приводит к тому, что на некотором расстоянии r₀ обе силы уравновешивают друг друга, а потенциальная энергия U принимает наименьшее значение U_min = –D (рис.8.1, кривая 1). Такая ситуация соответствует образованию молекулы с энергией связи D и возможна только при антипараллельных спинах. При параллельных спинах (рис.8.1, кривая 2) потенциальная энергия всюду положительна, показывая отсутствие выигрыша в энергии при образовании молекулы.

В пренебрежении энергией поступательного движения центра инерции молекулы и энергией ядер атомов в молекуле, энергия молекулы складывается из трех составляющих: а) энергии движения электронов в атомах молекулы, б) энергии колебательного движения ядер атомов, составляющих молекулу, в) энергии вращательного движения молекулы, как целого, вокруг некоторой оси.

U(r)
0

2
r

1

Рис.8.1

где n – колебательное квантовое число, принимающее значения 0,1,2, …, ω_кол – собственная частота колебаний молекулы. При переходах между колебательными уровнями выполняются правила отбора Δn = ±1. Энергия нулевых колебаний

• Жесткость молекулы

где m – масса электрона; α = 1/137 – постоянная тонкой структуры; ћ = h/2π, h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме.

Частота собственных колебаний

, (8.4)

где μ – приведенная масса молекулы АВ: 1/μ = 1/μ_А + 1/μ_В, μ_А и μ_В – масса атомов А и В соответственно.

Если молекул много, то количество молекул, имеющих колебательную энергию Е_i, определяется распределением Больцмана:

. (8.5)

С увеличением амплитуды колебаний проявляется отклонение колебаний от гармоничности. Энергия колебаний ангармонического осциллятора

где v – колебательное квантовое число (v = 0, 1, 2,…); γ – коэффициент ангармоничности. Правил отбора для v нет. Ангармонизм может привести к разрушению (диссоциации) молекулы. Максимальное колебательное квантовое число

Энергия вращательного движения квантована

где I – момент инерции молекулы; J – вращательное квантовое число, принимающее значения 0, 1, 2,… Расстояние между вращательными уровнями растет по мере увеличения квантового числа J:

Величина

называется вращательной постоянной. Вращательные уровни вырождены, т.е. несколько уровней имеют одинаковые энергии. Степень вырождения равна

Момент инерции молекулы

где r₀ – расстояние между атомами молекулы, μ – приведенная масса молекулы.

1. Характерную частоту вращательного движения можно оценить как

Соотношение между характерными частотами (энергиями) электронов в атомах, образующих молекулу, колебаний атомов друг относительно друга и вращательной энергии молекулы

Фотон с частотой ω₀, попадая на атом, может испытать неупругое рассеяние – комбинационное рассеяние света. Если фотон отдает молекуле часть своей энергии (стоксова линия, красный спутник), то частота рассеянного света уменьшается

₁ = ₀ – Δ. (8.15)

Если фотон отбирает энергию от молекулы (антистоксова линия, фиолетовый спутник), то частота рассеянного света увеличивается

ω₂ = ω₀ + Δω. (8.16)

Примеры решения задач
1. В основном колебательном состоянии молекулы CO собственная частота колебаний _кол = 4,0910¹⁴ с^–1, а равновесное расстояние между ядрами r₀ = 0,112 нм. Найти а) число вращательных уровней, заключенных между основным и первым возбужденным колебательными уровнями; б) отношение энергии ΔE_кол, необходимой для перевода молекулы на первый возбужденный колебательный уровень, к энергии ΔE_вр, необходимой для перевода молекулы на первый возбужденный вращательный уровень.

Решение. Колебательный спектр является эквидистантным, т.е. расстояние между энергетическими уровнями одинаково и равно ΔЕ_кол = ћω_кол. Подставляя численные значения, получим ΔE_кол = 0,27 эВ. Расстояние между вращательными уровнями растет по мере увеличения квантового числа J: ΔE_вр = E_J – E_J – 1 = ħ²J/I. Найдем момент инерции молекулы СО. Для этого определим приведенную массу молекулы: 1/μ = 1/A(C) + 1/A(O), где А – атомный вес. Отсюда . Момент инерции молекулы . Характерная энергия вращательного движения для молекулы СО равна ћ²/I = 0,4810^–3 эВ. Расстояние между вращательными энергетическими уровнями

_вр.

а) Чтобы найти число вращательных уровней, заключенных между основным и первым возбужденным колебательными уровнями сложим энергетические зазоры вращательного спектра от уровня с квантовым числом J = 1 до уровня с квантовым числом х и приравняем сумму энергетическому зазору колебательного спектра: ħ²(1 + 2 + 3 +…+ x)/I = ΔE_кол. Решая это уравнение относительно х и подставляя численные значения, получим х = 32

б) Отношение энергии ΔE_кол, необходимой для перевода молекулы на первый возбужденный колебательный уровень, к энергии ΔE_вр, необходимой для перевода молекулы на вращательный уровень с J = 1 равно ΔE_кол/ΔE_вр = 0,27/(0,4810^–3) = 553.

2. Собственная угловая частота ω колебаний молекулы HCl равна 5,6310¹⁴ с^–1, коэффициент ангармоничности γ = 0,0201. Определить максимальную колебательную энергию E_max и энергию диссоциации E_d.

Решение. Максимальную колебательную энергию найдем, если используем максимальное колебательное квантовое число v_max = 1/(2γ) – 1: . Пренебрегая γ/4 по сравнению с 1/(4γ), получим  = = 7,3810^–19 Дж = 4,61 эВ.

Энергия диссоциации есть энергия, которую необходимо затратить, чтобы отделить атомы в молекуле друг от друга и удалить их без сообщения кинетической энергии на расстояние, на котором взаимодействие атомов пренебрежимо мало. Эта энергия соответствует переходу с нулевого колебательного уровня на самый высокий, соответствующий v_max. Тогда . Подставляя численные значения, получим E_d = 4,43 эВ.

3. Найдите отношение интенсивностей фиолетового и красного спутников в колебательном спектре комбинационного рассеяния света на молекулах Cl₂ при температуре 300 К.

Решение. Интенсивность излучения с энергетического уровня пропорциональна среднему количеству молекул, имеющих соответствующую энергию. I_ф/I_кр = N_ф/N_кр. Среднее количество молекул с энергией E_i равно N_i = N₀exp(–E_i/kT). Для фиолетового и красного спутников, имеющих частоты  + Δ и ₀ – Δ соответственно (величина Δ представляет собой изменение частоты падающего излучения ₀, вызванное поглощением (излучением) кванта колебаний), получим

.

Поскольку газ находился в невозбужденном состоянии, то частота колебаний молекул была равна частоте нулевых колебаний, т.е. ω_кол/2, и Δω = ω_кол/2. Поэтому . Частоту колебаний ω_кол найдем из выражения , где m – масса электрона; μ – приведенная масса молекулы; α = 1/137 – постоянная тонкой структуры. Подставляя численные значения, для собственных колебаний молекулы хлора получим ω_кол = 1,06410¹⁴ с^–1. Теперь легко найти искомое отношение I_ф/I_кр = 0,067.

2. Расстояние между ядрами молекулы HCl r₀ = 0,127 нм. Найти угловую скорость вращения ω_r молекулы, находящейся на первом возбужденном вращательном уровне.

3. Расстояние между линиями вращательной полосы молекулы CN Δω = 7,1910¹¹ с^–1. Определить равновесное расстояние r₀ между атомами.

4. Первый потенциал возбуждения электронной оболочки молекулы СО равен 6,0. В основном электронном состоянии молекулы собственная частота колебаний ω_кол = 4,0910¹⁴ с^–1. Найти число колебательных уровней, заключенных между основным и первым возбужденным электронными уровнями.

5. Первый потенциал возбуждения электронной оболочки молекулы СО равен 6,0. В основном электронном состоянии молекулы собственная частота колебаний ω_кол = 4,0910¹⁴ с^–1. Найти отношение энергии ΔE_эл, необходимой для перевода молекулы на первый возбужденный электронный уровень, к энергии ΔE_кол, необходимой для перевода молекулы на первый возбужденный колебательный уровень.

6. Найти отношение энергий, которые необходимо затратить для возбуждения двухатомной молекулы Н₂ на первый колебательный и первый вращательный уровни. Расстояние между ядрами молекулы r₀ = 0,74110^–10 м.

7. Вычислить отношение энергий, которые необходимо затратить, для возбуждения молекулы йода I₂ на первый колебательный и первый вращательный уровни. Межъядерное расстояние r₀ = 2,710^–10 м, а длина волны, соответствующая частоте собственных колебаний λ = 215 см.

8. Найти отношение энергий, которые необходимо затратить для возбуждения двухатомной молекулы НI на первый колебательный и первый вращательный уровни. Расстояние между ядрами молекулы r₀ = 1,60410^–10 м.

9. Определить для молекулы HCl вращательные квантовые числа двух соседних уровней, разность энергий которых равна 7,8610^–3 эВ. Расстояние между ядрами молекулы r₀ = 1,27510^–10 м.

10. При комбинационном рассеянии линии ртути с длиной волны 365 нм молекулами кислорода наблюдается спутник с длиной волны 387 нм. Определить частоту собственных колебаний молекулы кислорода.

11. Найти собственную частоту колебаний ω_кол и коэффициент квазиупругой силы k молекулы S₂, если в колебательном спектре комбинационного рассеяния света длины волн красного и фиолетового спутников равны 346,6 и 330,0 нм.

12. Вычислить длины волн красного и фиолетового спутников в колебательном спектре комбинационного рассеяния молекул F₂, если длина волны падающего света λ₀ = 404,7 нм.

13. Интервал между соседними вращательными линиями вблизи середины колебательно-вращательной полосы испускания молекул HCl равен Δω = 0,7910¹³ с^–1. Вычислить расстояние между ядрами.

14. Определить угловую скорость вращения молекулы S₂, находящейся на первом возбужденном вращательном уровне.

15. Найти механический момент молекулы кислорода, вращательная энергия которой Е_вр = 2,16 мэВ.

16. Двухатомная молекула с моментом инерции I = = 1,1610^–39 гсм² находится в состоянии с вращательной энергией Е_вр = 1,8 мэВ. Найти частоту ω фотона (принадлежащего чисто вращательному спектру), который может испустить данная молекула при переходе из этого состояния.

17. Найти момент инерции и расстояние между ядрами молекулы СН, если интервалы между соседними линиями чисто вращательного спектра этих молекул Δω = 5,4710¹² с^–1.

18. Оценить сколько линий содержит чисто вращательный спектр молекул СО, момент инерции которых I = 1,4410^–39 гсм².

19. Найти для молекулы HF число вращательных уровней, расположенных между нулевым и первым возбужденным колебательными уровнями, считая вращательные состояния не зависящими от колебательных.

20. Длины волн двух соседних спектральных линий в чисто вращательном спектре молекулы HCl соответственно равны 117 и 156 мкм. Вычислить вращательную постоянную для молекулы HCl.

21. Будет ли излучение с длиной волны λ = 3 мкм возбуждать вращательные и колебательные уровни молекулы HF, находящейся в основном состоянии?

22. Найти межъядерное расстояние CH, если интервалы Δν между соседними линиями чисто вращательного спектра испускания данной молекулы равны 29 см^–1.

23. Определить угловую скорость вращения молекулы O₂, находящейся на втором возбужденном вращательном уровне.

24. Определить энергию диссоциации молекулы СО, если ее собственная частота колебаний ω_кол = 4,0810¹⁴ с^–1 и γ = 5,8310^–3.

25. Молекула NO переходит из низшего возбужденного состояния в основное. Определить длину волны испущенного при этом фотона, если собственная частота ω_кол = 3,5910¹⁴ с^–1 и γ = 8,7310^–3.

9. Статистика квантовых частиц.

Электроны в металле
Квантовые частицы в зависимости от спина s делятся на бозоны (целый спин, s = 1,2,…, фотоны, фононы) и фермионы (полуцелый спин, s = 1/2, 3/2,…, электроны). Для бозонов справедлив закон распределения Бозе-Эйнштейна: вероятность заполнения уровня с энергией Е равна

, (9.1)

где k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура; E_F – уровень Ферми, это энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна 0,5.

Для фермионов справедлив закон распределения Ферми-Дирака:

Рис.9.1

При Т = 0 К функция Ферми (9.2) обладает следующими свойствами: f(E) = 1, если E < E_F и f(E) = 0, если E > E_F. (рис.9.1). Если , то единицей в знаменателе можно пренебречь, и оба распределения переходят в

Это так называемое распределение Максвелла-Больцмана. Температура, ниже которой квантовые эффекты становятся существенными, называется температурой вырождения Тв.

Типичным представителем фермионов является совокупность электронов проводимости в металле. Энергия Ферми не зависит от объема металла, а определяется только концентрацией свободных электронов. При Т = 0 К положение уровня Ферми в металле

, (9.4)

где m_n – масса электрона в металле ("эффективная" масса), n-концентрация электронов.

Интервал между соседними уровнями энергии свободных электронов в металле

. (9.5)

Распределение свободных электронов по энергиям в металле определяется не только вероятностью заполнения уровней f(E), но и числом состояний, приходящихся на единичный интервал энергии в единице объема (плотностью состояний) N(E):

где dn – число электронов, приходящихся на энергетический интервал от E до E + dE,

При Т ≠ 0 К

Вблизи Т = 0 К:

Общую концентрацию электронов в металле можно найти путем интегрирования по всем заполненным состояниям:

Электронный газ в металлах является вырожденным, т.е. подчиняется статистике Ферми-Дирака, вплоть до температур ~10⁴ К. Вследствие этого в процессе электропроводности могут принимать участие не все свободные электроны, а только небольшая их часть, имеющая энергию, близкую к энергии Ферми. Ускоряясь электрическим полем на длине свободного пробега, эти электроны приобретают добавочную скорость направленного движения:

где τ_F – время свободного пробега; λ – длина свободного пробега; u_F – тепловая скорость быстрых электронов, обладающих энергией, близкой к E_F. С учетом этого удельная электрическая проводимость металла:

В большинстве случаев можно считать, что эффективная масса электронов в металле равна массе свободного электрона m_n = m_e.

2. Найти среднюю энергию свободных электронов в металле при Т ≈ 0 К.

Учитывая, (9.7) и (9.10), имеем

3. Рассчитать положение уровня Ферми и среднее энергетическое расстояние между разрешенными энергетическими уровнями зоны проводимости в 1 см³ серебра при температуре вблизи абсолютного нуля, полагая, что число свободных электронов равно количеству атомов серебра. Плотность серебра ρ = 10,4910³ кг/м³.

4. Вычислить длину свободного пробега электронов в меди при Т = 300 К, если ее удельное сопротивление при этой температуре равно 0,017 мкОмм.

Концентрация свободных электронов в меди , где m/V = 8,9210³ кг/м³ – плотность кристалла; N_A – число Авогадро; А – атомный (молекулярный) вес. Используя численные данные, получим n = 8,4510²⁸ м^–3. Отсюда следует, что длина свободного пробега . Подставляя численные данные, получим λ = 3,8910^–8 м.

5. Определить время, в течение которого электрон пройдет расстояние L = 1 км по медному проводу, если удельное сопротивление меди 0,017 мкОмм, а разность потенциалов на концах проводника U = 220 В. За какое время электрон пролетит это же расстояние, двигаясь без соударений, при той же разности потенциалов? Каково время передачи сигнала?

Решение. Из закона Ома следует, что удельная проводимость . Отсюда v = E/(ρen) = U/(ρenL). Используя значение концентрации, полученное в предыдущем примере, получим среднюю скорость дрейфа электронов v = 9,610^–4 м/с. Время дрейфа электрона по проводу t = L/v = 10⁶ c. При отсутствии столкновений с узлами кристаллической решетки электрон движется равноускоренно (с ускорением а) и время пролета равно . Передача энергии вдоль проводов линии осуществляется электромагнитным полем, распространяющимся со скоростью света с. Полагая, что средой, окружающей провод, является воздух, получим для времени передачи сигнала t_c = L/c = 3,3310^–6 с.

Задачи для самостоятельного решения
1. Атомарный газообразный водород находится в равновесном состоянии при Т = 610³ К. Пользуясь распределением Больцмана, найти отношение числа атомов, находящихся в состоянии с n = 2, к их числу в основном состоянии(n = 1). Учесть, что кратность вырождения состояния с квантовым числом n составляет g_n = 2n².

2. Атомарный газообразный водород находится в равновесном состоянии при Т = 610³ К. Пользуясь распределением Больцмана, найти отношение числа атомов, находящихся в состоянии n = 3, к их числу в состоянии n = 2. Учесть, что кратность вырождения состояния с квантовым числом n составляет g_n = 2n².

3. Так называемая "холодная плазма" характеризуется температурой Т = 10⁴ К и концентрацией частиц n = 10¹⁸ м^–3. Оценить температуру вырождения протонной составляющей водородной плазмы. Классической или квантовой статистикой описывается состояние частиц в этой плазме?

4. Какому условию должна удовлетворять концентрация n заряженных частиц в плазме, для того чтобы последняя могла считаться идеальным газом? Удовлетворяет ли условию идеальности так называемая "горячая плазма"?

5. Оценить температуру вырождения электронного газа в меди.

6. Оценить температуру вырождения для газа электронов с n = 10¹⁸ м^–3.

7. Определить вероятность заполнения электронами энергетического уровня в металле, расположенного на 10kT выше уровня Ферми.

8. Определить как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня, расположенного на 0,1 эВ выше уровня Ферми, если температуру металла повысить от 300 до 1000 К.

9. Определить температуру, при которой вероятность нахождения электрона с энергией E = 0,5 эВ выше уровня Ферми в металле равна 1 %.

10. Вычислить минимальную длину волны де Бройля для свободных электронов в медном проводнике, где энергия Ферми составляет 7 эВ.

11. Энергия Ферми в кристалле серебра составляет 5,5 эВ. Найти максимальную и среднюю скорости электронов проводимости при Т ≈ 0 К. При расчете принять эффективную массу электронов равной массе свободного электрона.

12. Найти максимальную и среднюю скорости теплового движения свободных электронов в металле при Т ≈ 0 К, если концентрация электронов равна 8,510¹⁸ м^–3.

13. Положению уровня Ферми для алюминия при Т ≈ 0 К соответствует энергия 11,7 эВ. Рассчитать число свободных электронов, приходящихся на один атом. Эффективную массу электронов проводимости принять равной массе свободного электрона.

14. Вычислите, какая часть электронов проводимости в металле при Т ≈ 0 К имеет кинетическую энергию, большую E_F/2.

15. Как изменится интервал между соседними уровнями энергии свободных электронов в металле, если объем кристалла уменьшить в 10 раз?

16. Вычислить удельное сопротивление проводника, имеющего плотность 970 кг/м³ и молекулярную массу 0,023 кг/моль, если известно, что средняя скорость дрейфа электронов в электрическом поле напряженностью 0,1 В/м составляет 510^–4 м/с, а на каждый атом кристаллической решетки приходится один электрон.

17. В металлическом проводнике с площадью поперечного сечения 10^–2 мм² и сопротивлением 10 Ом концентрация свободных электронов равна 8,510²⁸ м^–3. Определить среднюю скорость дрейфа электронов при напряжении 0,1 В.

18. К медной проволоке длиной 6 м и диаметром 0,56 мм приложено напряжение 0,1 В. Сколько электронов пройдет через поперечное сечение проводника за 10 с, если удельное сопротивление меди равно 0,017 мкОмм?

19. Определить концентрацию свободных электронов в металле при температуре T = 0 K. Энергию Ферми принять равной 1 эВ.

20. Электроны в металле находятся при температуре Т = 0 К. Найти относительное число свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более чем на 2 %.

21. Удельная проводимость металла равна 610³ (Омм)^–1. Вычислить среднюю длину свободного пробега электронов в металле, если концентрация n свободных электронов равна 10²³ м^–3. Среднюю скорость u хаотического движения электронов принять равной 10⁶ м/с.

22. Во сколько раз изменится при повышении температуры от 300 до 310 К электропроводность металла? Каков характер этого изменения?

23. Чему равна сумма средних чисел заполнения свободными электронами в металле уровней с энергией большей и меньшей энергии Ферми на одну и ту же величину Δε.

24. Объем металла равен 1 см³. Вычислить интервал (в эВ) между соседними уровнями энергии свободных электронов для значений энергии Е, равных: а) 0,1 эВ, б) 1 эВ, в) 3 эВ, г) 5 эВ.

25. Полагая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон, определить среднюю кинетическую энергию свободных электронов при абсолютном нуле. Какая часть свободных электронов в металле имеет при абсолютном нуле кинетическую энергию, превышающую среднюю энергию?

10. Фононы и теплоемкость
Теплоемкость твердых тел определяется энергией тепловых колебаний частиц, находящихся в узлах кристаллической решетки. В классической теории эти частицы рассматриваются как независимые частицы, колеблющиеся с одинаковой частотой. Это приводит к независимости молярной теплоемкости от температуры и природы вещества – правилу Дюлонга и Пти:

С_v = 3R ≈ 25 Дж/(мольК). (10.1)

Однако экспериментально эта зависимость не подтверждается. Качественное и количественное согласие с экспериментом достигается, если рассматривать кристалл как N атомов, упруго связанных друг с другом и обладающих 3N степенями свободы. Тогда в кристалле могут существовать 3N типов простейших коллективных колебаний – мод с энергиями

где n_i = 0,1,2…3N. Средняя энергия такого осциллятора

Каждой моде можно сопоставить квазичастицу – фонон, обладающую соответствующей энергией и квазиимпульсом:

где v_зв – скорость звука в кристалле; в случае, когда скорости поперечных волн v_ и продольных v_║ волн не равны, используют среднюю скорость. Фононы подчиняются статистике Максвелла – Больцмана.

Число фононов с частотами в интервале от ν до ν + dν

. (10.5)

Среднее число фононов с энергией ε_i в кристалле

Энергия кристаллической решетки объема V

где ω_max – максимальная (дебаевская) частота колебаний, равная

Характеристическая температура Дебая

Молярная изохорная теплоемкость кристаллической решетки

При температурах T << θ_D

При температурах T >> θ_D

где k – постоянная Больцмана. Если N = N_A, то

где N_A – число Авогадро; R – газовая постоянная.

2. Дебаевская температура кристалла равна 150 К. Определить максимальную частоту колебаний кристаллической решетки. Сколько фононов такой частоты возбуждается в среднем в кристалле при температуре 300 К?

3. Одинаковые массы свинца ²⁰⁷Pb и кремния ²⁸Si охлаждают при помощи жидкого гелия (температура кипения при нормальном давлении равна 4,2 К) от температуры Т₁ = 20 К до Т₂ = 4,2 К. Оценить отношение масс жидкого гелия, необходимых для охлаждения свинца и кремния, если известно, что дебаевские температуры равны θ_D(Pb) = 95 K, θ_D(Si) = 645 K соответственно.

где v_зв – скорость звука в кристалле, k – постоянная Больцмана. Теплота, отбираемая при охлаждении у тел, равна . Используя , где n – количество атомов в единице объема (n = 1/a³; а – постоянная решетки) и θ_D = ћω_D/k, это выражение можно записать в виде . Так как масса кристалла M = NA, где А – атомная масса, то . Подставляя численные значения, получим m_Pb/m_Si ≈ 42.

2. Вычислить удельную теплоемкость рубидия при температурах 3 и 300 К. Температура Дебая для рубидия 56 К.

3. Молярная теплоемкость селена при температуре 5 К равна 0,333 Дж/(мольК). Вычислить по значению теплоемкости дебаевскую температуру селена.

4. Удельная теплоемкость молибдена при температуре 25 К равна 3,47 Дж/(кгК). Вычислить по значению теплоемкости дебаевскую температуру молибдена.

5. Найти количество теплоты, необходимое для нагревания 50 г железа от 10 до 20 К. Температура Дебая для железа равна 470 К.

6. Какое количество теплоты необходимо для нагревания 1 моля никеля от 5 до 15 К? Температура Дебая для никеля равна 450 К.

7. Определите энергию U₀ нулевых колебаний охлажденного до затвердевания моля аргона (θ_D = 92 К).

8. Вычислить энергию нулевых колебаний, приходящуюся на один грамм меди с дебаевской температурой θ_D = 330 К.

9. Найти отношение среднего числа фононов в кристалле, имеющих энергию в два раза меньше максимальной, к среднему числу фононов с максимальной энергией при температуре 300 К. Дебаевская температура кристалла равна 150 К.

10. Определите в электронвольтах энергию Е фонона, который может возбуждаться в кристалле NaCl, характеризуемом температурой Дебая θ_D = 320 К. Фотон какой длины волны обладал бы такой энергией?

11. При давлении р = 101310² Па аргон затвердевает при T = 84 К, θ_D(Ar) = 92 К. Экспериментально установлено, что при Т₁ = 4 К молярная теплоемкость аргона С₁ = 0,174 Дж/(мольК). Определить значение молярной теплоемкости С₂ при Т₂ = 2 К.

12. Атомная масса серебра A_r = 107,9, плотность ρ = 10,5 г/см³. Исходя из этих данных, оценить максимальное значение p_m импульса фонона в серебре.

13. Какое число фононов максимальной частоты возбуждается в среднем при температуре Т = 400 К в кристалле, дебаевская температура которого θ_D = 200 К?

14. Определить θ_D для Be, если концентрация равна n = 1,2310²⁹ м^–3, v_ = 8830 м/с и v_║ = 12550 м/с.

15. Определить θ_D для Ag, если концентрация равна n = 0,58610²⁹ м^–3, v_ = 1590 м/с и v_║ = 3600 м/с.

16. Определить θ_D для Pb, если концентрация равна n = 0,32810²⁹ м^–3, v_ = 700 м/с и v_║ = 2160 м/с.

17. Определить температуру Дебая для Al, если v_ = 3130 м/с и v_║ = 6400 м/с.

18. Приняв для Ag θ_D = 208 К определить максимальное значение энергии фонона и среднее количество фононов с этой энергией при Т = 300 К.

19. В кристалле NaCl при температуре Т = 10 К теплоемкость единицы объема C_V = 83010^–4 Дж/(м³К). Оценить скорость звука в кристалле и его θ_D. Постоянная решетки NaCl равна а = 0,3 нм.

20. Определить среднюю скорость распространения акустических колебаний в алюминии, дебаевская температура которого θ_D = 396 К

21. Найти максимальную частоту ω_max собственных колебаний в железе, если при Т = 20 К его удельная теплоемкость c_V = 2,7 мДж/(кгК) и Т << θ_D.

22. Можно ли считать температуры 20 и 30 К низкими для кристалла, теплоемкость которого при этих температурах равна 0,226 и 0,760 Дж/(мольК)?

23. При нагревании кристалла меди массы m = 25 г от Т₁ = 10 К до Т₂ = 20 К ему было сообщено количество тепла Q = 0,80 Дж. Найти θ_D для меди, если θ_D >> T₁ и T₂.

24. Оценить энергию нулевых колебаний моля алюминия, если межатомное расстояние а = 0,3 нм и скорость распространения акустических колебаний v_зв = 4 км/с.

25. Оценить максимальные значения энергии и импульса фонона в меди, дебаевская температура которой равна 330 К.

11. Полупроводники и диэлектрики
Неметаллы отличаются от проводников наличием зоны запрещенных энергий E_g для электронов. Структуры энергетических зон собственного полупроводника приведена на рис.11.1 а. Состояния, лежащие выше запрещенной зоны, называются зоной проводимости СВ и при Т=0 К пусты. Состояния, лежащие ниже запрещенной зоны, называются валентной зоной VB и при T=0 K полностью заполнены. Распределение электронов по энергиям в общем случае подчиняется статистике Ферми-Дирака. Однако при комнатных температурах энергии электронов и дырок значительно отличаются от энергии Ферми E-E_F>3kT, поэтому единицей в знаменателе функции распределения можно пренебречь и перейти к статистике Максвелла-Больцмана. Таким образом, электронный газ в полупроводнике не вырожден, но при этом продолжает действовать принцип Паули.

При T>0 K существует конечная вероятность перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости, появляются свободные электроны и дырки в зонах. Однако идет и обратный процесс – возврат электронов из зоны проводимости в валентную зону и исчезновение пары электрон-дырка. Этот процесс называется рекомбинацией. В результате устанавливается динамическое равновесие. Равновесная концентрация n_i, p_i собственных свободных носителей заряда в кристалле с шириной запрещенной зоны E_g при температуре Т равна

Здесь N_c - эффективная плотность энергетических состояний в зоне проводимости

а m_p – эффективная масса дырок.

Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется температурой - при Т=0 К уровень Ферми расположен посередине запрещенной зоны, с ростом температуры смещается

. (11.4)

Подставляя в это выражение соотношения (11.2) и (11.3) получим

При введении примесей (легировании) в запрещенной зоне возникают примесные энергетические уровни, которые в зависимости от типа примеси располагаются либо вблизи дна зоны проводимости E_c (донорные уровни, рис.11.1, б), либо вблизи потолка валентной зоны E_v (акцепторные уровни, рис.11.1, в). Примеси также могут поставлять свободные носители зараяда.

В случае донорных полупроводников концентрация примесных электронов n_d определяется количеством ионизированных доноров и эффективным числом состояний в зоне проводимости N_c

. (11.6)

В случае акцептроных полупроводников концентрация примесных дырок определяется количеством ионизированных акцепторов, и эффективным числом состояний в валентной зоне N_v

Равновесная полная концентрация свободных электронов n определяется соотношением

• 
  
  жүктеу/скачать 2.17 Mb.
  
  Достарыңызбен бөлісу: