1 Нақты параметрі бар сызықты тізбектегі өтпелі үрделістер



жүктеу 380.31 Kb.
бет1/3
Дата07.07.2016
өлшемі380.31 Kb.
  1   2   3


Өтпелі үрдістер электр тізбегінің режимдерінің өзгеру кезінде пайда болады – тізбектерді қосқанда және ажыратқанда. Немесе оның жеке бөліктерінде, қысқа туйықталуда, сымдардың үзілуі және т.с.с. Бұл үрдістер лезде ақпайды, өйткені электр магниттік өрістердің тізбектері энергия қорларының лездік өзгеруі мүмкін емес. Қалыптаскан режімде осы өтпелі үрдістер кезінде өлшемдердің мәндері жоғары ток пен кернеу пайда болады. Осыдан, инженер-электрик қалыптасқан үрдістегі тізбектерді есептеуді ғана емес, өтпелі үрдісті есептеуді де білуі қажет.

Оқу-әдістемелік оқулықта өтпелі үрдісті классикалық және операторлық әдістермен есептеу, осы әдістер бойынша қысқаша теориялық мәліметтер, тапсырмаларды есептеуді типтік мысалдары және тесттік тапсырмалар, тәлімгерлердің өзіндік жұмысы үшін тапсырмалар берілген.



1 Нақты параметрі бар сызықты тізбектегі өтпелі үрделістер
Өтпелі үрдістер – тізбектердің барлық өзгеру режимдерінде тізбектерді қосу, ажырату және оның жеке бөліктерінде, қысқа тұйықталуда, үзілуде т.б. пайда болады. Бұл үрдістер лезде ақпайды, өйткені электрлік және магниттік өрістердің энергия қорларында лездік өзгеруі мүмкін емес.

Тізбектерде нақты параметрлерімен энергия сыйымдылықта электрлік өрістің энергиясы түрінде және индуктивтілікте магниттік өрістің энергиясы түрінде сақталады. Соңғы шамаға энергияның лезде өзгере алмайтындығынан, кернеудің секіруі болмайды.



Коммутацияның бірінші заңы: тармақтағы индуктивтік ток (магниттік ағын) коммутациядан кейін t=+0 кезінде коммутациядан бұрын t= 0 болған мәндерді сақтайды. Осы мәннен бастап өтпелі үрдістер өзгере бастайды
(1.1)
Коммутацияның екінші заңы: конденсатордағы кернеу(заряд) коммутация кезінде (t=+0) коммутациядан бұрын (t=-0) болған мәндерді сақтайды. Осы мәннен бастап өтпелі үрдістер өзгере бастайды
(1.2)
Коммутация деп тізбектегі әртүрлі өзгерістерді айтады. Сұлбада коммутация кілттер түрінде көрсетіледі, олар тізбектің коммутацияға дейінгі жағдайын көрсетеді (1.1, а, б сурет). 1.1 суретінде, а кілт тұйықталады, t=0 кезінде 1.1 суретінде, б кілт ажыратылады. Коммутация лезде өтеді.



а б


Сурет 1.1
Тәуелсіз бастапқы шарттар iL(0), Ф(0) - ток және магниттік ағын индуктивтікте t=0, коммутация кезінде uC(0), q(0) – кернеу және заряд конденсаторда коммутация кезінде жатады.

Тәуелді бастапқы шарттар ток сыйымдылықта, кернеу индуктивте, ток және кернеу резисторда коммутация кезінде iC(0), uL(0), ir(0), ur(0) жатады.

Өтпелі үрдістерді есептеу үшін тізбекте токтар және кернеулердің лездік шамалары үшін Ом және Кирхгоф заңдары бойынша дифференциалды өрнектер жүйесі құрылады. Турақты коэффициентімен сызықты дифференциалды өрнек шешімі екі шешімнің қосындысын көрсетеді
,
мұнда i(t) – өтпелі үрдіс тогы, ізделіп отырған шама;

iтур – біртекті емес дифференциалды теңдеудін дербес шешімі;

iерк – біртекті дифференциалды теңдеудің жалпы шешімі, тұрақты

интегралдау арқылы А1, А2, ... және р1, р2, ... – сипаттамалық

теңдеудің түбірі, барлық түбірлер әр түрлі болғанда

өрнектеледі.


Қалыптасқан режімдегі ток iтур турақты және мерзімді қорларда сызықты тізбектерді есептеулердің барлық әдісімен есептеледі.

iерк біртекті теңдеуді сыртқы қорлар көмегіңсіз жалпы есептеуге болатын үрдіс. iерк тогы қайсысы болсын тізбектегі өтпелі үрдістер үшін бір түрлі болады. Бұл шешім өтпелі үрдістің бос құрамы.

А1, А2, ... тұрақты интегралдау бастапқы шарттардан анықталады. i(t) өтпелі тогы қалыптасқан токқа бос ток iерк өшкенде өтеді. Теория жағынан өтпелі үрдіс шексіз болады, ал практика жүзінде өтпелі үрдіс уақыты секундтың бөлшегімен өлшенеді.
1.1 Өтпелі үрдістерді классикалық әдіспен есептеу

Өтпелі үрдісті классикалық әдіспен есептеу дифференциалды теңдеуді өтпелі үрдіс тізбегінде құралады, бастапқы шарттан тұрақты интегралдауды анықтау және шешу. Өтпелі үрдісті классикалық әдіспен есептеуді тұрақты ЭҚК қорымен тармақталған тізбектегі i2(t) өтпелі тогын есептеу мысалында қарастырамыз (1.2 сурет).



1.2 Сурет
1.1.1 Тәуелсіз бастапқы шарттарды анықтау коммутацияға дейінгі тізбектегі индуктивтіктегі ток iL(0) және сыйымдылықтағы кернеу uC(0) t= 0 кезінде жүргізіледі
iL(0)=i1(0)=iL(0)=, (1.3)

1.1.2 Сипаттамалық теңдеудің түбірлерін анықтау:

- бос құрам үшін дифференциалды теңдеу арқылы сипаттамалық теңдеу құралады;

- комплексті кедергі коммутациядан кейінгі сызбада j-ны р-ға ауыстыру арқылы өрнек құрастырылады және алынған өрнек нөлге теңестіріледі
,

=0.
Сипаттамалық теңдеуді түрлендіргеннен кейін аламыз
(1.4)
(1.4) сипаттамалық теңдеуді шешкенде р-ның түбірін табады.

Сипаттамалық теңдеудің түбірлерінің түрлері бойынша бос құрамды ізделіп отырған шама жазылады. Осыдан үш нұсқа болуы мүмкін (мұнда ток үшін жазылған, кернеу үшін де сол шешулер қолданылады).

а) ақиқат түбірлер (әрдайым теріс), тең емес: р1р2. Осы жағдайда

мұнда ркк-теңдеу түбірі (1.4);

Ак – белгілі емес тұрақтылар, тұрақты интегралдау болады, ол

біртекті дифференциалды теңдеулерді шешкенде шығады;

к=1 n=1 кезінде және к=1,2 n=2 кезінде;


б)комплексті–түйіндес түбірлер р1=-+j02=--j0.

Осы жағдайда өтпелі үрдістер токтың бос құрамын осылай анықтайды




мұнда , 0 – оң ақиқат сандар;

 – өшу коэффициенті;

0 – контурдың өзіндік тербеліс жиілігі;

А және  - белгісіз константы, әрі қарай шығару жолында

анықталады.

в) тең түбірлер (ақиқат, теріс) р1 = р2 = - а.

Онда iтур = (А1 + А2t)е-at, мұнда А1 және А2 – тұрақты белгісіз интегралдаулар.

1.1.3 Өтпелі үрдісте ізденіп отырған токтың i2(t) өрнегін анықтау




Қалыптасқан режімнің тогін i2тур өтпелі үрдістен біткеннен кейін аналізден және сұлбаны есептеуден анықтаймыз. Тізбектегі өтпелі үрдісте пайда болады, өйткені конденсатор зарядталады. Сипаттамалы теңдеудің түбірлерімен бос ток анықталады. Бұл жағдайда нақты және тең емес түбірлі бар
, . (1.5)
Өтпелі үрдістің тоғы
. (1.6)
Белгісіз А1 және А2 анықтау үшін екі теңдеуді құрастырамыз, i2(t) өтпелі үрдісте алынған өрнекті дифференциалдаймыз
(1.7)
1.1.4 Бастапқы шарттан t=0 болғанда, тұрақты интегралдау А1 және А2 келесі теңдеу жүйесінен анықтаймыз, (1.6) және (1.7) теңдеулерін қарастырғанда коммутация кезіндегі алынған
. (1.8)
(1.8) теңдеу жүйесін шешу үшін, i2 токтың мәнін және коммутация кезіндегі оның туындысы (t=0).

1.1.5 i2(0) және di2(0)/dt анықтау үшін, бірінші және екінші Кирхгоф заңдары бойынша коммутациядан кейін, қайсысы болсын уақыттын теңдеу жүйесін құрастырамыз



. (1.9)
Коммутация кезіндегі (t=0), болғанда бірінші екі теңдеу жүйесін (1.9) жазамыз
. (1.10)
(1.10) жүйеден тәуелсіз бастапқы шартын (1.3) ескеріп, i3(0) және i2(0) мәндері анықталады.

(1.9) бірінші және екінші теңдеу жүйелері диффиренцияланады, алынған теңдеу жүйесі t = 0 болғанда жазамыз


(1.11)
(1.11) жүйеден мәнін табамыз. Осымен қатар, бұл

, яғни . i3(0) мәнін (1.10) жүйеден табылған.

i2(0), di2(0)/dt табылған мәннен (1.8) жүйесіне қоямыз, осыдан тұрақты интегралдау А1 және А2 анықталады. А1, А2 мәнің қойғаннан кейін (1.6) теңдеуінде өтпелі үрдістің режимінде ізденіп отырған токты i2(t) табылады.




1.2 Өтпелі үрдісті есептеуде операторлық әдісті қолдану

Өтпелі үрдісті классикалық әдіспен есептегенде жалпы жағдайда көп рет есептеу алгебралық теңдеу жүйесін тұрақты интегралдау бастапқы шарттарда анықталады, ол осы әдісті есептегенде қиындықтар туғызады.

Теңдеуді дифференциалдағанда, өтпелі үрдісте сызықты тізбектегі өтпелі үрдісте дәлдік параметрлерін суреттейді, сызықты тұрақты коэффициент болады. Бұл теңдеудің шешімі, яғни олардың интегралдауды операторлық әдіспен өткізу мүмкін, Лапластың түрлендіруге негізделген. Лапластың түрлендіруі арқылы комплекстік айнымалылар нақты айнымалы уақытқа ауысады, осында бейнеге қатысты дифференциалдық теңдеу алгебралық түрге ауысады.

Алгебралық теңдеу жүйесін есептегенде ізденіп отырған шаманың бейнесін анықтаймыз, осыда теореманы пайдалану арқылы ізденіп отырған түпнұсқасын табамыз (t уақытындағы функция).

Сол нәтижесінде, өтпелі үрдіс тұрақты коэффициентінен дифференциалдық теңдеумен сипатталады, онда бейнесін көрсету қажет:

- f(t) түпнұсқадан туындысы


, (1.12)
мұнда F(p) – түпнұсқаның бейнесі ( f(t) функциясы);

f(0) – f(t) функцияның мәні, t=0 болғанда.


- f(t) түпнұсқадан интегралы
. (1.13)
Мысалы кернеудің индуктивтіліктегі бейнесі келесі өрнекпен анықталады
, (1.14)
мұнда I(p) – i(t) тогының бейнесі;

iL(0) – t=0 (ТБШ) кезіндегі индуктивті токтың мәні.


Егер iL(0) = 0 болса, онда
.
Кернеуді конденсатор арқылы бейнелеу
(1.15)
мұнда uC(0) ─ t=0 кезіндегі (ТБШ) кернеудің конденсатордағы мәні.
Егер uC(0) = 0 болса, онда
.
Тұрақты К бейнесі келесі тәсілмен шешіледі
. (1.16)
Тұрақты ЭҚК көзі Е түрінде жазылады.

Синусоидалық функцияның бейнесі


,

.
Кернеудің индуктивтілік және конденсатор арқылы бейнесіне индуктивтіктегі магниттік өріс, конденсатордағы электрлік өрістің энергия қорларын қолданатын тәуелсіз бастапқы шарт iL(0) және uC(0) кіреді. Бұл энергия қорлары операторлық әдіспен есептеуде ішкі ЭҚК (L iL(0)); (uC(0)/p) көмегімен есептелінеді. Сонымен қатар ішкі ЭҚК (L iL(0)) бағыты (L iL(0)) бағыты iL(0) тогінің бағытымен сәйкес келеді, ол сыйымдылықтағы ішкі ЭҚК (uC(0)/p) бағыты конденсатормен тармақтағы токтың бағытына қарсы келеді.

Операторлық есептеу сұлбалары (1.14, 1.15) өрнектеріне сәйкес келетін коммутациядан кейінгі тәртіп үшін құрылады, оған ішкі ЭҚК кіреді.

Операторлық әдіспен өтпелі үрдістің методикалық есептелуі келесі мысалда көрсетілген (1.3 сурет) өтпелі үрдісте i1(t) тогын табу керек.

1 ТБШ анықтау коммутацияға дейінгі режимдегі сұлбаны есептеуден жүргізіледі:

2 ТБШ есебімен коммутациядан кейінгі режим үшін операторлық сұлбаны (1.4 сурет) құрады. 1.4 суреттегі қарастырылған сұлбада рL – операторлық индуктивті кедергі, 1/рС – операторлық сиымдылықты кедергі, яғни операторлық кедергіні j р операторына алмастыру кезінде комплекстік кедергіден алуға болады.

3 i1(t) іздеген ток 1(р) бейнесін анықтау сызықты тізбектерді есептеу әр түрлі әдіспен жүргізіледі (контурлық токтар әдісімен, екі түйіндер, түйіндік орамды потенциалдар және т.б).

1.4 суреттегі сұлба үшін контурлық токтар әдісі
(1.17)
(1.17) теңсіздіктер жүйесін шешу арқылы i1(t) ізделінетін функциядағы I1(p) тогі бейнеленетін өрнек аламыз

мұнда (р) – р операторының ең үлкен n дәрежесі бар көпмүше;

М(р) – р операторының ең үлкен m дәрежесі бар көпмүше, осы

кезде n

4 1(р) бейненің i1(t) түпнұсқаға ауысуы құрылу теоремасы бойынша жүзеге асырыланады.

Егер түбірлері рк әр түрлі болса және теңсіздік М(р) = 0, онда құру формуласы мынадай түрге келеді
,
мұнда (рк) – рк өлшемдегі N(P) көпмүшесінің мәні;

М(рк) – рк түбірінің мәніндегі M(P) көпмүшенің мәні.


Құру формуласы екі комплексті – (комплексті­түйіндес) түбір

р1,2 = -   j0 келесі түрінде көрсетуге болады


.
М(р)=0 теңсіздігінің екі түбірі болған жағдайда рационалды бөлшек жай бөлшектер қосындысы түрінде көрсетіледі, осыдан белгісіз коэффициент анықталмаған коэффициенттер тәсілімен анықталынады.

Синусоидалық функция бейнесі қиын формуламен анықталғандықтан, өтпелі үрдісте есеп шығару операторлық әдіспен оңай, ал токты синусоидалық әдіспен оңай, коммутациядан кейінгі тұрақтанылған режимді есептеп алу керек. Операторлық сұлба есебінен ерікті ток мәнін операторлық әдіспен анықталынады.




2 Есептерді шығару мысалдары
2.1 Тәуелді және тәуелсіз бастапқы шарттарын есептеу

2.1.1 Есеп 2.1.1, а сурет тізбегінде r1 = r2 = 20 Ом, r3 = r4 = 10 Ом, ЭҚК Е = 60 В. Коммутация кезінде i1(0), i2(0) токтарының мәнін табу керек.

2.1.1 сурет
Шығару жолы. Тармақтағы i1(0) индуктивті токтің мәні тәуелсіз бастапқы шарт болып табылады, i2(0) резисторлық токтың мәні– тәуелді бастапқы шарт болады.

Тәуелсіз бастапқы шарт t= -0 кезіндегі коммутацияға дейінгі есептеу сұлбасынан анықталады. Коммутацияға дейін – тізбектегі тұрақтандырылған тұрақты ток, индуктивті кедергі тұрақты токқа қатысты нөлге тең, сондықтан 2.1.1, б сурет сұлбасынан алынады


А.
Осыдан тәуелсіз бастапқы шарт i1(0) = i1(-0) = iL(0) = 2 A.

Тәуелді бастапқы шарт t=0, коммутация кезіндегі Кирхгоф заңына үлескен теңдеулер жүйесінен анықталынады



(2.1.1)
(2.1.1) теңдеуде екі белгісіз i2(0) және i3(0) токты анықтау үшін Кирхгофтың екінші заңы бойынша екінші теңдеу құрылады. Бұл контурда индуктивтілік болмайды, коммутациядан кейінгі сұлба (2.1.2 сурет).

2.1.2 сурет
. (2.1.2)
(2.1.1), (2.1.2) теңдеулерін бір жүйеге қосамыз
(2.1.3)
(2.1.3) жүйеден тәуелсіз бастапқы шартты есептегеннен соң i1(0)=2 A, i2(0)=0,67 A токты табамыз.
2.1.2 Есеп 2.1.3, а сурет тізбегінде Е = 30 В; r1 = 5 Ом; r2=r3=3Ом; r4 = 6 Ом берілген. Коммутация кезінде i1(0), i2(0), i3(0) токтар мәнін табамыз.

Шығару жолы. Тармақтағы индуктивті токтың i2(0) мәні–тәуелсіз бастапқы шарт, басқа i1(0), i3(0) токтар – тәуелді бастапқы шарт.

Тәуелсіз бастапқы шарт i2(0) коммутацияға дейінгі режим арқылы анықталады (2.1.3, б сурет)




2.1.3 сурет
А;
В;
А;
Тәуелсіз бастапқы шарт i2(0) = i2(-0) = 4 А.

Тәуелді бастапқы шарт i1(0), i3(0) Кирхгофтың бірінші және екінші заңына үлескен екі теңдеулер жүйесінен анықталынады, бұл жүйе t=0 коммутациядан кейінгі кездегі сұлба үшін құрылады (2.1.4 сурет).


. (2.1.4)
i2(0) белгілі және 4А тең токты есептегенде (2.1.4) i1(0) және i3(0) табамыз

2.1.4 сурет
i1(0) = - 0,14 А; i3(0) = 3,86 А.
2.1.3 Есеп 2.1.5, а сурет тізбегінен i1(0), i2(0), i3(0) және коммутация кезіндегі (t=0), uc(0) кернеудің мәнің анықтау керек. Егер Е= 60 В, r = 10 Ом екені белгілі болса.

Шығару жолы. Сыйымдылықтағы uc(0) кернеу коммутация кезінде (t=0) тәуелсіз бастапқы шарт болып табылады, бұл шарт коммутацияға дейінгі сұлба есебінен анықталады. Кілт тұйықталғанға дейін сұлбада тұрақтандырылған режим болды, зарядталған сыйымдылық тұрақты токқа шексіз үлкен кедергі көрсетеді (2.1.5, б), яғни
А;

Сондықтан uc(-0) = uab(-0) = 2 r× i2(-0) = 40 В.

Осыдан, тәуелсіз бастапқы шарт uc(0) = uc(-0) = 40 В.




2.1.5 сурет


Тәуелді бастапқы шарт i1(0), i2(0), i3(0) t=0 кезінде Кирхгофтың заңдары арқылы құрылған теңдеулер жүйесінен анықталады (2.1.6 сурет).

2.1.6 сурет

(2.1.5)

(2.1.6)
(2.1.6) жүйесінен i1(0) = 2,67 А, i2(0) = 3,33 А, i3(0) = - 0,67 А тең екенін аламыз.
2.1.4 Есеп 2.1.7, а суреттегі сұлбада тәуелсіз бастапқы шартты және i1(0) тогын табу керек. ЭҚК Е = 30 В; r = 7 Ом; r1 = 12 Ом; r2 = 4 Ом.

2.1.7 сурет


Шығару жолы. Тәуелсіз бастапқы шарт i2(0) және uc(0) коммутацияға дейінгі сұлбадан анықталады (2.1.7, б сурет).

Кілт ажыратылғанға дейін тізбекте тұрақтанылған тұрақты ток болды, индуктивтілік тұрақты токқа нөлдік кедергі көрсетеді, ал конденсатор – шексіз үлкен 2.1.7, б суреттегі сұлбадан табамыз


А;
В;

А.
Осыдан, тәуелсіз бастапқы шарт i2(0) = i2(-0) = 0,75 А; uc(0) = uc( -0) = 9 В.

i1(0) тәуелді бастапқы шарттың t=0 кезінде Кирхгоф заңы бойынша құрылған (2.1.8 сурет) екі теңсіздік жүйесінен табамыз


. (2.1.7)

2.1.8 сурет
(2.1.7) жүйеден i1(0) = 1,875 А аламыз.
2.2 Тізбектің сипаттамалық теңдеуің құру

Көбінесі сипаттамалық теңдеу jw орнына р болатын коммутациядан кейінгі тізбектегі комплекстік кедергіге арналған өрнек арқылы құрылады.



2.2.1 Есеп 2.2.1, а сурет сұлбасында сипаттамалық теңдеудің түбірін табу керек, егер r = 10 Ом, L = 0,1 Гн болса.

Шығару жолы. 2.2.1, б суреттегі сұлба үшін комплексті кедергі,онда ЭҚК ішкі кедергісінің идеалды көзі нөлге тең.
. (2.2.1)

2.2.1 сурет


(2.2.1) формуладағы jw-ны р-ға ауыстырамыз, алынған өрнекті нөлге теңестіреміз
. (2.2.2)
(2.2.2) өрнегін ортақ бөлімге келтіргеннен кейін сипаттамалық теңдеуді аламыз
. (2.2.3)
Сипатамалық теңдеудің түбірі (2.2.3): р = - 166,7 с-1.
  1   2   3


©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет