1 Сызы›ты› алгебра жЩне аналитикалы› геометрия элементтері Екінші жЩне Їшінші ретті аны›тауыштар Аныктама 1 Екінші ретті аны›тауыш

формуласы ар›ылы аны›талады.

Егер екі тЇзу жЩне жалпы теЈдеулері ар›ылы берілсе, онда б±л тЇзулердіЈ б±рышты› коэффициенттері

,
формулалары ар›ылы аны›талады.

ТЇзулер йзара параллель болуы Їшін , демек шарттары орындалу керек.

ТЇзулер йзара перпендикуляр болуы Їшін
, немесе ,

демек

шарттары орындалу керек.

Егер
болса, тЇзулер параллель болады, ал
болса, онда тЇзулер беттеседі.

1.5 Векторлар

Ба“ыттал“ан кесіндіні геометриялы› вектор, ›ыс›аша вектор деп атайды. Вектор, ба“ыттал“ан кесінді ретінде, йзініЈ бас нЇктесі А мен соЈ“ы нЇктесі В ар›ылы берілсе, деп белгіленеді. Осымен ›атар, вектор, Їстіне сызы›ша ›ойыл“ан, кіші латын Щріппен немесе толыќ латын єріппен де белгіленеді, мысалы немесе а. Бас нЇктесі мен соЈ“ы нЇктесі тЇйіскен вектор нйлдік вектор деп аталады. Бір тЇзудіЈ немесе йзара параллель тЇзулердіЈ бойында жататын векторлар коллинеарлы деп аталады.

Коллинеарлы, ±зынды›тары мен ба“ыттары бірдей векторларды теЈ деп атайды.

Берілген екі вектордыЈ Щр›айсысы Їшінші вектор“а теЈ болса, онда б±л векторлар йзара теЈ болады. Сонды›тан, берілген векторына теЈ, кез келген Р нЇктесінен шы“атын, тек ›ана бір вектор бар болады. Демек, вектор йзініЈ бас нЇктесіне дейінгі дЩлдікпен аны›талады. Еркін векторлар туралы ±“ып осы ма“ынада ›олданылады.

Берілген масштабта аны›тал“ан векторыныЈ ±зынды“ы оныЈ модулі деп аталады да деп белгіленеді. Шлбетте, болса, болады. Модульдері теЈ векторлардыЈ йзара теЈ болуы міндетті емес.

Кез келген сандар йсі берілсін. векторыныЈ бас нЇктесі А мен соЈ“ы нЇктесі В-дан йсіне тЇсірілген перпендикулярдыЈ сЩйкес табандары пен болсын. Ба“ыттал“ан кесіндісініЈ шамасы векторыныЈ йсіндегі проекциясы деп аталады да деп белгіленеді.

КеЈістіктіЈ кез келген S нЇктесінен шы“ып, векторы мен µсіне параллель жЩне ба“ыттас болатын екі сЩуленіЈ арасында“ы б±рышы, векторыныЈ йсіне кйлбеулік б±рышы деп аталады. Осы б±рыш ар›ылы векторыныЈ µсіндегі проекциясы

формуласы бойынша аны›талады.

Кез келген векторыныЈ кеЈістікте аны›тал“ан координаттар жЇйесініЈ µстеріндегі проекциялары деп белгіленеді де тЇрінде жазылады. Егер берілген жЇйе тікб±рышты декартты› жЇйе болса, онда вектордыЈ декартты› координаттары деп аталады.

Егер векторы йзініЈ бас нЇктесі мен соЈ“ы нЇктесі ар›ылы берілсе, онда
, ,
формулалары бойынша есептеледі.

векторыныЈ модулі йзініЈ координаттары ар›ылы

формуласы бойынша аны›талады. Шлбетте,

.
Демек, векторыныЈ модулі оныЈ бас нЇктесі А мен соЈ“ы нЇктесі В-ныЈ ара ›ашы›ты“ына теЈ.

векторыныЈ Ох,Оу,Оz йстеріне кйлбеулік б±рыштары болсын. (1) формуласы бойынша,
, ,
болады. Б±л формулаларда“ы векторыныЈ ба“ыттаушы косинустары деп аталады.

Ба“ыттауышы косинустар

тепе-теЈдегін ›ана“аттандырады.

Векторлар арасында“ы сызы›ты› амалдар. Егер векторыныЈ бас нЇктесі векторыныЈ соЈ“ы нЇктесімен т±йіссе, онда -ныЈ бас нЇктесінен шы“ып -ныЈ соЈ“ы нЇктесінде ая›талатын вектор мен векторларыныЈ ›осындысы деп аталады да деп белгіленеді (Їшб±рыш ережесі, 16- сурет).








6 - сурет 7 - сурет
Егер мен векторлары бір нЇктеден шы›са, онда осы векторлар бойынша ›±рал“ан параллелограмныЈ диагоналі осы векторлардыЈ ›осындысына теЈ болады (параллелограмм ережесі, 17-сурет). СоЈ“ы ережеден теЈдігі туындайды.

Бірнеше векторлардыЈ ›осындысы, Їшб±рыш ережесін біртіндеп ›олдану ар›ылы аны›талады. Мысалы, векторларыныЈ ›осындысы теЈдігі бойынша орындалады (18- сурет).

8-сурет
Коллинеарлы, ±зынды›тары теЈ жЩне карама-›арсы ба“ыттал“ан екі вектор йзара карама-›арсы векторлар деп аталады. Егер берілген вектор болса, о“ан карама-›арсы вектор - деп белгіленеді.

мен векторларыныЈ айырымы деп, векторымен ›осындысы -“а теЈ болатын векторы айтылады да, деп белгілінеді. Шлбетте, , демек, мен векторларыныЈ айырымы мен -“а ›арама-›арсы вектордыЈ ›осындысына теЈ.

векторыныЈ санына кйбейтіндісі деп векторына коллинеарлы, ±зынды“ы санына теЈ, бол“анда - мен ба“ыттас болатын, бол“анда -“а ›арама-›арсы ба“ыттал“ан векторын айтады. ВекторлардыЈ проекциялары т±ралы тйменде келтірілген теоремалар орындалады:

Теорема 1 Векторлар ›осындысыныЈ ›андай болмасын бір µске проекциясы осы векторлардыЈ осы йстегі проекцияларыныЈ ›осындысына теЈ:
.
Теорема 2 Векторды сан“а кйбейткенде оныЈ проекциясы да осы сан“а кйбейтіледі:.
Б±л теоремалардан, егер
,

болса, онда

,
,

болатынын кйреміз.

Осымен ›атар, мен векторлары коллинеарлы болуы Їшін

теЈдігініњ орындалуы ›ажетті жЩне жеткілікті ( мен нйлдік векторлар емес).

Егер векторлары: 1) векторы Ох йсінде, - Оу йсінде, - Оz µсінде жатса; 2) йздері жат›ан йстермен ба“ыттас болса; 3) , , болса, онда базистік векторлар деп аталады. Б±л векторларды бірлік базистік деп те атайды. Базистік векторлар ар›ылы кез келген векторы

тЇрінде йрнектеледі.
ВекторлардыЈ скалярлы› кйбейтіндісі

Аны›тама мен векторларыныЈ скалярлы› кйбейтіндісі деп

(3)

санын айтамыз. М±нда“ы - мен векторлары арасынды“ы б±рыш. Аны›тама бойынша,

.
Б±л сан вектордыЈ скалярлы› квадраты деп аталады. Егер мен векторлары йзара перпендикуляр болса, онда .

Бірлік базистік векторлар Їшін

, , , , ,
теЈдіктері орындалады. Координаттары ар›ылы берілген жЩне векторларыныЈ скалярлы› кйбейтіндісі

(4)
формуласы ар›ылы аны›талады.
немесе
бол“анды›тан, мен векторларыныЈ скалярлы› кйбейтіндісін
немесе
тЇрінде жазу“а болады. (3) жЩне (4) формулаларынан

немесе, координаттары ар›ылы

мен векторлары арасында“ы б±рыш аны›талады.

кез келген йс, осы йс бойымен ба“ыттал“ан бірлік вектор болсын. Егер µсі координат йстерімен б±рыштарын ›±рса, онда

жЩне

болады.
1.6 КеЈістіктегі жазы›ты›тар

Декартты› координаттар бойынша бірінші дЩрежелі теЈдеу кеЈістіктегі жазы›ты›ты аны›тайды жЩне, керісінше, кез келген жазы›ты› бірінші дЩрежелі теЈдеу ар›ылы аны›талады. Б±л теЈдеу

Ах+Ву+Сz+D=0 (1)

тЇрінде жазылады да, жазы›ты›тыЈ жалпы теЈдеуі деп аталады. М±нда“ы А,В,С,D – на›ты сандар.
КеЈістікте жазы›ты›ты аны›тайтын белгілер.

1) Берілген нЇктесі ар›ылы йтетін, нормаль векторы болатын тек ›ана бір жазы›ты› бар болады. Б±л жазы›ты›тыЈ теЈдеуі

(2)
тЇрінде жазылады.

2) Бір тЇзудіЈ бойында жатпайтын , жЩне нЇктелері ар›ылы тек ›ана бір жазы›ты› жЇргізуге болады. Б±л жазы›ты›тыЈ теЈдеуі:

(3)
3) Координат йстерінен нйлге теЈ емес кесінділерін ›иып йтетін те› ›ана бір жазы›ты› бар болады. Б±л жазы›ты›тыЈ теЈдеуі

тЇрінде жазылады да, жазы›ты›тыЈ «кесінділердегі» теЈдеуі деп аталады.

Жазы›ты›тыЈ толы› емес теЈдеулері: 1) егер D=0 , болса, онда жазы›ты›тыЈ жалпы теЈдеуі тЇрінде жазылады да жазы›ты› координат басы ар›ылы йтеді; 2) егер С=0 болса, онда жазы›ты›тыњ теЈдеуі тЇрінде жазылады да, Оz осіне параллель болады; 3) егер В=0 жЩне С=0 болса, онда жазы›ты› теЈдеуі тЇрінде жазылады да, Оуz координат жазы›ты“ына параллель болады; 4) егер жалпы теЈдеудіЈ барлы› коэффициенттері нйлге теЈ болмаса, онда теЈдеу

тЇріне келтіріледі.

М±нда“ы , , сандары жазы›ты›тыЈ координат йстерінен ›иып йтетін кесінділердіЈ шамасын аны›тайды.
Жазы›ты›тардыЈ кеЈістікте йзара орналасуы: КеЈістіктегі екі жазы›ты› йздерініЈ жалпы теЈдеулері:

ар›ылы берілсін. Егер

болса, онда жазы›ты›тар йзара параллель болады, ал егер

болса, онда жазы›ты›тар беттеседі.

изара параллель болмайтын екі жаза›ты› тЇзу бойымен ›иылысады.

теЈдеуі (-на›ты параметрлер) кеЈістікте бір тЇзу ар›ылы йтетін барлы› жазы›ты›тарды аны›тайды да жазы›ты›тар шо“ыныЈ теЈдеуі деп аталады.

Коэффициенттері шартын ›ана“аттандыратын екі жазы›ты› йзара перпендикуляр болады.

Жазы›ты›тардыЈ жЩне

нормаль векторлары арасында“ы б±рыш жазы›ты›тар арасында“ы екі жа›ты б±рыш деп аталады да,

формуласы ар›ылы аны›талады.

.

1.7 КеЈістіктегі тЇзу
Берілген нЇктесі ар›ылы, берілген векторына параллель тек ›ана бір тЇзу жЇргізуге болады. Б±л тЇзудіЈ теЈдеуі

(1)

тЇрінде жазылады.

М±нда“ы тЇзудіЈ ба“ыттаушы векторы деп аталады да оныЈ координаттары тЇзудіЈ ба“ыттаушы параметрлері, ал ба“ыттауышы косинустары осы тЇзудіЈ ба“ыттаушы косинустары деп аталады. (1) теЈдеуі тЇзудіЈ канонды› теЈдеуі деп аталады.


деп алып (t-на›ты параметр), тЇзудіЈ теЈдеуін
(2)
тЇріне келтіреміз. ТеЈдеудіЈ б±л тЇрі параметрлі› теЈдеу деп аталады.

тЇзу бойында“ы а“ымда“ы нЇкте болса, онда (2) теЈдеуі

, (3)
тЇрінде жазылады. Б±л теЈдеу тЇзудіЈ векторлы› теЈдеуі деп аталады.

Егер тЇзу йзініЈ бойымен ›иылысатын екі жазы›ты›тыЈ жалпы теЈдеулері ар›ылы берілсе

(4)
онда тЇзудіЈ (4) жалпы теЈдеуі болады.
КеЈістіктегі кез келген , нЇктелері ар›ылы тек ›ана бір тЇзу жЇргізуге болады. Б±л тЇзудіЈ теЈдеуі

тЇрінде жазылады да екі нЇкте ар›ылы йтетін тЇзудіЈ теЈдеуі деп

аталады.

КеЈістікте канонды› теЈдеулері ар›ылы
,
екі тЇзу берілген. Б±л тЇзулердіЈ ба“ыттауышы векторлары
, .
Екі тЇзудіЈ параллель болу белгісі: . Екі тЇзудіЈ перпендикуляр болу белгісі: .
Екі тЇзудіЈ арасында“ы б±рыш

формуласы ар›ылы аны›талады.
ТЇзу мен жазы›ты›тыЈ йзара орналасуы.
тЇзуі жЩне жазы›ты“ы берілсін. - тЇзудіЈ ба“ыттауышы, -жазы›ты›тыЈ нормаль векторы.

Егер мен йзара перпендикуляр болса, онда тЇзу жазы›ты“ына параллель болады, ал б±л векторлар параллель болса, онда тЇзу жазы›ты››а перпндикуляр болады. Сонды›тан

ТЇзу мен жазы›ты›тыЈ параллель болу белгісі: .

ТЇзудіЈ жазы›ты››а перпендикуляр болу белгісі: .

ТЇзу мен жазы›ты›тыЈ арасында“ы б±рыш:

формуласы бойынша аны›талады.
Сызы›ты› алгебра элементтері
-ретті аны›тауышы жЩне оныЈ ›асиеттері: 1-ден -ге дейінгі натурал сандардыЈ кез келген орналасуы алмастыру деп аталады. натурал саннан алмастыру ›уру“а болады. Егер алмастыруда Їлкен сан кіші санныЈ алдында т±рса, онда б±л сандар инверсия (ретсіздік) ›±райды.

Егер алмастыру болса, онда осы алмастыруда“ы инверсия саны деп белгіленеді. Егер инверсия саны ж±п болса алмастыру ж±п, ал та› болса та› деп аталады.

Аны›тама 1 - ретті аны›тауыш деп

›осындыны айтамыз жЩне оны былай белгілейміз
(1)
М±нда“ы ›осу белгісі 1,2,3,..., сандарынан ›±рал“ан барлы› алмастырулары бойынша алынады, демек аны›тауышта ›осыл“ыш бар, олардыЈ жартысы «+», жартысы «-» таЈбасымен алынады.

Аны›тауышты белгілейтін кесте де аны›тауыш деп аталады. Б±л кесте тік жЩне жаты› жолдардан т±рады. КестеніЈ элементініЈ бірінші индексі -жаты›, ал екінші индексі тік жолыныЈ номері, - осы жолдардыЈ ›иылысуында“ы элемент.

Егер аны›тауыштыЈ екі жаты› (тік) жолыныЈ сЩйкес элементтері йзара теЈ болса б±л жолдар теЈ деп аталады.

Егер аны›тауыштыЈ екі жаты› (тік) жолдары йзара пропорционал элементтерден т±рса, демек

теЈдігі орындалса, б±л жолдар пропорционал деп аталады.

Жаты› (тік) жолдыЈ санына кйбейтіндісі деп барлы› элементтері санына кйбейтілген осы жолды айтамыз.

Аны›тауыштыЈ жаты› жолдарын, орналасу ретін са›тап, тік жолдарымен алмастыру аны›тауышты транспонирлеу деп аталады. Транспонирленген аны›тауыш элементініЈ бірінші индексі тік, екіншініЈ индексі жаты› жолыныЈ нймерін кйрсетеді.

Аны›тауыштыЈ ›асиеттері: 1) Аны›тауышты транспонирлеу оныЈ мЩнін йзгертпейді;

2) изара теЈ екі жаты› (тік) жолы бар аны›тауыш нйлге теЈ болады;

3) Егер аны›тауыштыЈ ›андай да болмасын бір жаты› (тік) жолын бір санына кйбейтсе, онда осы сан“а аны›тауышта кйбейтіледі;

4) Егер аны›тауыштыЈ жаты› (тік) жолында“ы барлы› элементтердіЈ орта› кйбейткіші болса, онда б±л кйбейткішті аны›тауыштыЈ сыртына шы“ару“а болады;

5) Егер аны›тауыштыЈ екі жаты›(тік) жолы пропорционал болса, онда б±л аны›тауыш нйлге теЈ болады;

6) Егер аны›тауыштыЈ нймірлі жаты› (тік) жолыныЈ Щрбір элементі екі санныЈ ›осындысынан т±рса, онда б±л аны›тауыш, бас›а элементтері йзгерусіз са›тал“ан, нймерлі жаты› (тік) жолы бірінші аны›тауышта ›осыл“ышыныЈ бірінші, екінші аны›тауышта екінші ›осыл“ышымен алмастырыл“ан, екі аны›тауыштыЈ ›осындысына теЈ;

7) Егер аны›тауыштыЈ кез келген жаты› (тік) жолын бір сан“а кйбейтіп бас›а бір жаты› (тік) жолына ›осса›, онда б±л тЇрлендіру аны›тауыштыЈ мЩнін йзгертпейді;

8) Егер аны›тауыштыЈ екі жаты› (тік) жолдары орындарын алмастырса, онда аны›тауыш абсолют шамасын са›тап, таЈбасын ›арама-›арсы йзгертеді.

Минорлар мен алгебралы› толы›тауыштар:
Аны›тама 2 Берілген -ретті

аны›тауышыныЈ элементініЈ миноры деп осы аны›тауыштыЈ нймерлі жаты› жолы мен нймерлі тік жолын сызып таста“аннан кейінгі ›ал“ан ретті аны›тауышты айтады.

Аны›тама 3 аны›тауышыныЈ элементініЈ алгебралы› толы›тауышы деп таЈбасымен алын“ын миноры айтылады да, деп белгіленеді: .

Егер аны›тауышыныЈ нймерлі жаты› (нймерлі тік) жолыныЈ -ден бас›а элементтері нйлге теЈ болса, онда б±л аны›тауыш -ге теЈ:

(2)
Аны›тауыш нймерлі жаты› жолыныЈ элементтері бойынша
(3)

›осындысы ретінде йрнектеледі.

Аны›тауыштыЈ кез келген нймерлі жаты› ( нймерлі тік) жолыныЈ элементтері мен осы элементтерге сЩйкес бас›а нймерлі жаты› ( нймерлі тік) жолыныЈ алгебралы› толы›тауыштары кйбейтінділерініЈ ›осындысы нйлге теЈ:

.
Матрица жЩне оныЈ рангі:
Аны›тама 4 жаты› жЩне тік жолдардан т±ратын


кестесі ретті матрица деп аталады. Шдетте, матрица бір бас Щріппен белгіленеді, мысалы М деп.
Осы матрицаныЈ кез келген жаты› жЩне тік жолдарын белгілеп алып, осы жолдардыЈ ›иылысуында“ы элементтерден, олардыЈ берілген матрицада“ы орналасу ретін са›тап ›±рыл“ан - ретті аны›тауыш - ретті минор деп аталады ( .

Егер М матрицасында нйлге теЈ емес ретті минор бар болса, ал реттері -ден жо“ары барлы› минорлар нйлге теЈ болса, онда саны осы матрицаныЈ рангі деп аталады жЩне деп белгіленеді: .

Барлы› элементтері нйлге теЈ матрица нйлдік матрица деп аталады. Келісім бойынша, нйлдік матрицаныЈ рангі нйлге теЈ.

ретті, сЩйкес элементтері йзара теЈ екі матрица теЈ матрицалар деп аталады.

Рангті есептеу Щдістері: 1) Кймкерген минорлар Щдісі. Берілген матрицаныЈ -ретті минорыныЈ кймкеруі деп осы минор енетін кез келген ретті минорын айтады.

Теорема 1 Егер берілген М матрицасыныЈ нйлге теЈ емес -ретті миноры бар болса жЩне осы минорды кймкеретін барлы› ретті минорлар нйлге теЈ болса, онда б±л матрицаныЈ рангі -ге теЈ: .
2) Рангті берілген матрицаныЈ элементтерін тЇрлендіру ар›ылы есептеу. Б±л Щдіс тймендегі теоремалар“а негізделген.
1) Жаты› жолдардыЈ орнын алмастыру;
2) Кез келген жаты› жолын нйлге теЈ емес сан“а кйбейту;
3) Кез келген жаты› жолына осы матрицаныЈ бас›а жаты› жолын бір сан“а кйбейтіп ›осу;
4) БірыЈ“ай нйлден т±ратын жолын алып тастау, матрицаныњ рангін йзгертпейді.
Бас диагоналы астында“ы элементтері нйлге теЈ матрица сатылы деп аталады. Квадратты матрицаныЈ сатылы тЇрі Їшб±рышты деп аталады.
Теорема 3 Сатылы тЇрге келтірілген матрицаныЈ рангі оныЈ бас диагонолындаѓы нйлге теЈ емес элементтерініњ санына теЈ.
Матрицалар арасында“ы амалдар:
1) Матрицаларды ›осу: ТеЈ ретті
жЩне
матрицалары берілген. љыс›аша, б±л матрицаларды , деп белгілейміз. М±нда“ы -матрицаныЈ жаты›, -тік жолдарыныЈ саны.

А жЩне В матрицаларыныЈ ›осындысы деп, элементтері , формулалары бойынша есептелетін матрицаны айтамыз. Сонымен,

2) Матрицаларды сан“а кйбейту: матрицасыныЈ санына кйбейтіндісі деп, элементтері
,
формулалары ар›ылы аны›талатын матрицасын айтамыз. Сонымен, .
3) Матрицаны матрица“а кйбейту:
ретті жЩне ретті матрицалары берілсін. А матрицасыныЈ В матрицасына кйбейтіндісі деп элементтері


формулалары бойынша аны›талатын, ретті матрицасын айтамыз. Сонымен,
.
4) Матрицаны транспонирлеу: МатрицаныЈ жаты› жолдарын, орналасу ретін са›тап, тік жолдарымен алмастыру матрицаны транспонирлеу деп аталады. Егер

болса, онда

транспонирленген матрица болады.

5) Квадрат матрица. Жаты› жолдар саны тік жолдар санына теЈ матрица квадратты деп аталады. квадратты матрицасы берілген.

Егер , демек болса, онда А симметриялы матрица деп аталады.

Квадратты А матрицаныЈ аны›тауышын деп белгілейміз. Шлбетте, . Аны›тауышы нйлге теЈ матрица ерекше деп аталады.

бірлік матрица деп аталады.

ретті А жЩне В матрицалары берілсін. Егер В матрицасы Їшін

(4)
теЈдігі орындалса, онда В матрицасы А-“а кері матрица деп аталады да деп белгіленеді. Осы белгі ар›ылы (4) теЈдігі т‰рінде жазылады.

Егер А йзгеше матрица болмаса, демек болса, онда А-“а кері бірден-бір матрица бар болады жЩне кері матрица

(5)
формуласы бойынша аны›талады.
Сызы›ты теЈдеулер жЇйесі: белгісізі бар теЈдеулер жЇйесі мына тЇрде беріледі:

(6)
М±нда“ы - белгісіз шамалар, - нймерлі теЈдеудегі нймерлі белгісіздіЈ коэффициенті, - нймерлі теЈдеудіЈ бос мЇшесі,

(6) теЈдеулер жЇйесініЈ коэффициентерінен ›±рыл“ан мына матрица

(7)
негізгі матрица деп аталады, ал мына матрица
(8)
осы жЇйеніЈ кеЈейтілген матрицасы делінеді.
Егер (6) теЈдеулер жЇйесініЈ барлы› бос мЇшелері нйлге теЈ болса, онда б±л жЇйе біртекті деп аталады.
1.2 пунктініњ 2-ші жЩне 3-ші аны›тамаларда аталѓан теЈдеулер жЇйесініЈ шешімі Їйлесімді, Їйлесімсіз, аны›тал“ан жЩне аны›талма“ан теЈдеулер жЇйесі туралы ±“ымдар йздерініЈ ма“ыналарын толы› са›тайды.

(6) теЈдеулер жЇйесініЈ белгісіздері мен бос мЇшелерінен

жЩне
матрицаларын ›±рып осы жЇйені мына матрицалы› теЈдеу тЇрінде жазамыз:

. (9)
белгісізі бар теЈдеулер жЇйесін шешу Щдістері:
1) Крамер Щдісі: Біртекті емес белгісізді теЈдеулер жЇйесі берілсін:
(10)
Осы ж‰йеніњ негізгі матрицасыныњ аныќтауышы


нйлге теЈ болмасын.

Осы аны›тауыштыЈ нймерлі тік жолыныЈ элементтерін (10) жЇйесініЈ сЩйкес бос мЇшелерімен алмастыр“анда шы››ан аны›тауышты деп белгілеік:

,
Осы аны›тауыштар бойынша (10) теЈдеулер жЇйесініЈ шешімі Крамер формулалары ар›ылы аны›талады:
.
2) Гаусс Щдісі Гаусс Щдісі матрицаныЈ рангін йзгертпейтін элементар тЇрлендірулерге негізделген. Б±л тЇрлендірулер теЈдеулер жЇйелерініЈ эквиваленттігін са›тайды. Шешімдері бірдей немесе екеуі де Їйлесімсіз болатын теЈдеулер жЇйелері эквивалентті деп аталады.

Гаусс ЩдісініЈ с±лбасы: Алдымен (10) теЈдеулер жЇйесініЈ кеЈейтілген матрицасы ›±ралады:

Элементар тЇрлендірулер ар›ылы б±л матрица Їшб±рышты тЇрге келтіріледі:
(11)
Элементар тЇрлендірулердіЈ ›асиеті бойынша, (11) теЈдеулер жЇйесі (10) жЇйесіне эквивалентті. (11) жЇйесініЈ еЈ соЈ“ы теЈдеуінен -ді, бір ›адам жо“ары кйтеріліп, келесі теЈдеуден -ді табамыз. Осылай табыл“ан белгісіздерініЈ мЩндері (10) жЇйесініЈ шешімі болады.

Ескерту: (10) теЈдеулер жЇйесіне ›ойыл“ан негізгі шарт осы жЇйеніЈ аны›тал“анды“ы, демек жЇйеніЈ аны›тауышы болуы. Сонды›тан, . Б±л шарт матрицалар Щдісінде де са›талады.
3) Матрица Щдісі. (10) теЈдеулер жЇйесін матрицалы› тЇрде жазамыз . (9 теЈдеуі)

(5) формуласы бойынша А матрицасына кері матрицасын табамыз. Енді (9) теЈдеуін сол жа“ынан -ге кйбейтіп жЩне екенін ескеріп,

тЇрінде (9) теЈдеуініЈ шешімін табамыз.

белгісізі бар теЈдеулер жЇйесін зерттеу жЩне Їйлесімді бол“ан жа“дайда шешімін табу Щдісі:

Кронекер-Капелли теоремасы. Біртекті емес (6) сызы›ты теЈдеулер жЇйесі Їйлесімді болу Їшін осы жЇйеніЈ негізгі матрицасыныЈ рангі оныЈ кеЈейтілген матрицасыныЈ рангіне теЈ болуы:
›ажетті жЩне жеткілікті.

Б±л теорема ар›ылы жЇйеніЈ Їйлесімді немесе Їйлесімсіз болатыны шешіледі.

ЖЇйе Їйлесімді бол“ан жа“дайда тймендегі екі жа“дай ›арастырылады:

1) , - белгісіздер саны, . Б±л жа“дайда теЈдеулер жЇйесі Їйлесімді жЩне аны›тал“ан. Сонды›тан жЇйеніЈ шешімі жо“арыда атал“ан Їш ЩдістіЈ біреуі ар›ылы аны›талады.

2) , - белгісіздер саны, . Б±л жа“дайда теЈдеулер жЇйесі Їйлесімді жЩне аны›талма“ан. А матрицасыныЈ кез келген -ретті нйлге теЈ емес минорын негізгі деп жариялап, осы минордыЈ элементтері коэффициенттері болатын белгісізді негізгі белгісіздер деп аламыз. Мысалы, негізгі минор:

болса, негізгі белгісіздер болады. љал“ан белгісіздер еркін параметрлер рйлін ат›арып, теЈдеулер жЇйесі мына тЇрде жазылады:


Б±л жЇйеден Крамер, Гаусс, матрица ЩдістерініЈ біреуін ›олданып белгісіздерін табамыз. БелгісіздердіЈ мЩні еркін параметрлерден тЩуелді болады.

Біртекті теЈдеулер жЇйесі осы“ан ±›сас шешіледі. Б±л жЇйе Щр›ашан Їйлесімді. Себебі, негізгі матрица“а біріЈ“ай нйлден т±ратын тік жолды ›осу оныЈ рангін йзгертпейді. Демек,

Б±л жЇйе Їшін де тймендегі екі жа“дай ›арастырылады: 1) . Б±л жа“дайда біртекті теЈдеулер жЇйесініЈ бірден-бір нйлдік (0,0,...,0) шешімі болады. Б±л шешім ай›ын деп аталады. 2) . Б±л жа“дайда біртекті теЈдеулер жЇйесініЈ параметрден тЩуелді шексіз кйп шешімі болады. Б±л шешімдер жо“арыда келтірілген с±лба бойынша аны›талады.

2 Бір айнымалы функцияны дифференциалды› есептеу
2.1 Математикалы› талдау“а кіріспе
На›ты сандар жиыны рационал жЩне иррационал сандар жиындарыныЈ біріктірілуінен т±рады. Рационал сан деп екі бЇтін санныЈ ›атнасы ретінде йрнектелетін санды айтады. Б±л сан шекті онды› бйлшек немесе периодты шексіз онды› бйлшек тЇріне келтіріледі. Иррационал сан периодты емес шексіз онды› бйлшек тЇрінде йрнектеледі. Егер сандар йсіндегі нЇктеніЈ координат басына дейінгі ›ашы›ты“ы бірлік кесіндімен (масштабпен) йлшемдес болса, онда б±л нЇкте рационал санныЈ, йлшемдес болмаса, иррационал санныЈ бейнесі болады. Рационал сандар жиыны , иррационал сандар жиыны , ал на›ты сандар жиыны Щріпімен белгіленеді жЩне болады.

Аны›тама 1 Элементтері нймірленген жЩне нймірлерініЈ йсу ретімен орналас›ан жиын тізбек деп аталады. Тізбек мына тЇрде жазылады:
(1)
немесе, ›ыс›аша .

Егер тізбек элементтері сандар болса, онда (1) сандар тізбегі деп аталады. Біз сандар тізбегін ›арастырумен шектелеміз.

Аны›тама 2 Егер кез келген кішкене оЈ саны Їшін, осы саннан тЩуелді натурал санын, теЈсіздігі, шартын ›ана“аттандыратын барлы› натурал дер Їшін ,орындалатындай етіп табу“а болса, онда саны (1) тізбегініЈ шегі деп аталады да. немесе деп белгіленеді.

Аны›тама 3 Егер (1) тізбегініЈ элементтері Їшін

теЈсіздіктері орындалса, онда б±л тізбек йспелі,

теЈсіздіктері орындалса кемімейтін,

теЈсіздіктері орындалса кемімелі,

теЈсіздіктері орындалса йспейтін тізбек деп аталады.

Осы атал“ан тізбектер тЇрін бірсарынды деп атайды. Сонымен, бірсарынды тізбек йспелі, кемімейтін, кемімелі немесе йспейтін болуы мЇмкін.

Егер (1) тізбегі Їшін теЈсіздігін ›ана“аттандыратын М саны табылса, онда б±л тізбек шенелген деп аталады.

Теорема 2 Егер (1) тізбегі жо“арыдан (тйменнен) шенелген кемімейтін (йспейтін) бірсарынды тізбек болса, онда оныЈ а›ырлы шегі болады.

Аны›тама 4 Шегі нйлге теЈ айнымалы шама а›ырсыз аз деп аталады.

Егер а›ырсыз аз шама болса, онда: 1) айнымалы шама; 2) . Егер а›ырсыз аз шама тізбегі ретінде берілсе, онда болады.

Егер болса, онда а›ырсыз аз шама болады да тізбек элементтері тЇрінде йрнектеледі.
А›ырсыз аз шаманыЈ ›асиеттері

1. 
   А›ырсыз аз шамалардыЈ алгебралы› ›осындысы а›ырсыз аз шама болады;
   
2. 
   А›ырсыз аз -ніЈ шенелген тізбегіне кйбейтіндісі а›ырсыз аз шама болады;
   
3. 
   А›ырсыз аз шаманыЈ т±ра›ты сан“а кйбейтіндісі а›ырсыз аз шама болады;
   
4. 
   А›ырсыз аз шаманыЈ а›ырсыз аз шама“а кйбейтіндісі а›ырсыз аз шама болады;
   

Аны›тама 5 Егер кез келген Їлкен саны Їшін, осы саннан тЩуелді санын, теЈсіздігі теЈсіздігін ›ана“аттандыратын барлы› натурал Їшін орындалатындай етіп табу“а болса, онда а›ырсыз Їлкен шама деп аталады да немесе деп белгіленеді. Егер а›ырсыз аз шама болса, онда а›ырсыз Їлкен шама болады.

1. Шекке кйшу ережелері. Егер жЩне , онда: 1) ; 2) ; 3) егер болса, онда

Теорема 3. , жЩне тізбектері берілсін. Егер белгілі бір нймірінен бастап барлы› Їшін теЈсіздігі орындалса жЩне , , онда тізбегініЈ шегі бар болады жЩне .

Б±л теорема тізбек шегі бар болуыныЈ бір белгісі.

1. 
   
   жүктеу/скачать 1.99 Mb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: