40. p,qC. (!)решения уравнения x2+px+q=0 по модулю равны 1

жүктеу/скачать 287 Kb. бет 1/4 Дата 23.07.2016 өлшемі 287 Kb. #215880

N. 3 чевианы пересекаются в одной точке. Их отразили относительно биссектрис. (!)получившиеся отрезки пересекутся в одной точке. 40. p,qC. (!)решения уравнения x2+px+q=0 по модулю равны 1|p|2, |q|=1, p2/q0, R 42. Внутри выпуклого многоугольника расположено несколько непересекающихся кругов. (!)многоугольник можно разрезать на выпуклые многоугольники так, что внутри каждого из них будет лежать ровно один круг. 45. pP p>2 (a,p)=1 Докажите, что а) a(p-1)/21(mod p) б)=1a(p-1)/21(mod p) в) a(p-1)/21(mod p) =1 46. f(x)-? xR x0 x1 f(1/x)+f(1-x)=x 47. nN В записи n нет 0. Если рядом стоят две одинаковые цифры или два одинаковых двузначных числа, их можно вычеркнуть. В любое место можно вписать две одинаковые цифры или два одинаковых двузначных числа. Докажите, что, комбинируя эти операции, можно получить число <109. 48. G G={f:RR, fconst a,bR: f(x)=ax+b} Известно: 1)f,gGfgG 2)fGf -1G (f(x)=ax+b f –1(x)=(x-b)/a) 3)fG xfR: f(xf)=xf Докажите: kR: f(k)=k fG 49. a)Докажите, что в компании из 9 человек найдутся либо 4 попарно знакомых, либо 3 попарно незнакомых б)Докажите, что в компании из 18 человек найдутся либо 4 попарно знакомых, либо 4 попарно незнакомых. 50. Внутри квадрата со стороной 1 дан выпуклый n-угольник. Докажите, что можно выбрать  с вершинами на вершинах n-угольника такой, что а)S100/n2 б) S100/n3 51. Чевианы AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке O. Докажите, что O лежит внутри серединного треугольника A1B1C1 52. Во вписанном четырёхугольнике продлили противоположные стороны до пересечения и провели биссектрисы получившихся углов. Докажите, что точки пересечения биссектрис со сторонами — вершины ромба. 53. Доказать неравенство: a,b,c>0 Л B x 1. а)G-бесконечная циклическая группа. Hm> {…, a-2m, a-m, e, am, …} б)G= порядка n Hm> Л2. K-группа Клейна. Докажите, что КZ4 У p y b 1. |G|=3GZ3 Д a A m n z C Q 1. (Теорема Стюарта) p2= Д2. a)1/ra+1/rb+1/rc=1/r б)1/ha+1/hb+1/hc=1/r Д P 3. (Теорема Штейнера-Лемуса) биссектрисы равныравнобедренный (доказать геометрически) Д4. (!)ax/2R, by/2R, cz/2R — стороны педального треугольника Д5. ABC-равносторонний, BQ-чевиана. Докажите, что 1/|PA|+1/|PC|=1/|PQ| 54. p>2, pP (a,p)=1 a1k1 (mod p) 2a2k2 (mod p) … ((p-1)/2)a(p-1) /2k(p-1) /2 (mod p) i=1 1ki(p-1)/2 а)(!) k1 ,…, k(p-1)/2 — перестановка 1, … (p-1)/2 б)=12…(p-1).2 в) =(-1)[2a/ p]+[4a / p]+…+[(p-1)a/ p] г)(!) первое дополнение к закону взаимности: =(-1)(p-1)/2 д)(!) второе дополнение: е)Найти сумму: ж)Доказать: з)Доказать д) через ж) и) (Квадратичный закон взаимности): p,q-различные нечётные простые числа 55. f:[0;1][0;1] f-непрерывна. Доказать, что x[0;1]: f(x)=x 56. (!) конечным числом прожекторов нельзя осветить всю плоскость, если считать, что каждый прожектор освещает область внутри некоторой параболы. 57. Найдите сумму а) комбинаторным, б)алгебраическим способом. 58. Доказать: a) (x+1)2n+1+xn+2x2+x+1 б)1+х1111+…+х99991+…+х9 59. Рёбра К17 покрашены в 3 цвета. (!) есть одноцветный . 60. Прямая делит S и P пополам. (!) прямая проходит через центр вписанной окружности. 61. На плоскости отмечено n точек. На отрезках, соединяющих эти точки, расставлены 1. Количество отрезков с –1 равно m. (!)чётность числа треугольников, произведение чисел на сторонах которых равно –1, совпадает с чётностью числа mn. 62.  ли R\Q: Q? 63. AA1, BB1, CC1 — чевианы, пересекающиеся в О. О — точка пересечения медиан A1B1C1. (!) она является точкой пересечения медиан ABC. 64. pP a,b,c,dN a2+b2=c2+d2=p (!){a,b}={c,d} Л3. М— n-элементное множество. Сколько на нём существует отношений: а)рефлексивных, б)симметричных? У1. (!)2 левых смежных класса либо совпадают, либо не пересекаются. Д6. На стороне равностороннего как на диаметре построена окружность. (!)прямые, делящие эту сторону на 3 равные части, делят окружность на 3 равные части. Д7. О-центр описанной окружности, I-центр вписанной окружности ABC. а)(!)|OI|2=R2-2rR б)(!) R2r Д8. Х-такие точки, что |AX|/|BX|=, =const (!)ГМТ(Х)—либо окружность, либо прямая. Д9. Дан параллелограмм ABCD. a)Р лежит внутри него. BCP=BAP (!)PBC=PDC б)P лежит снаружи, PBC=PDC (!)CPD=APD. Д10. B=C=800; DBC=600; ECB=500 EDB-? Д11. На двух чевианах как на диаметрах построили окружности. (!) их радикальная ось проходит через ортоцентр. 65. (Лемма Туэ) n>1, nN (a,n)=1 (!)x,yN:xn, yn, ayx(mod n). 66. Выведите из леммы Туэ теорему Ферма: p=4k+1, pPa,bN:p=a2+b2 67. а)(!)количество делителей вида 4k+1 у любого натурального числаколичеству натуральных делителей вида 4k+3 б)Для каких чисел верно равенство? 68. Найти сумму: 1+2x+3x2+…+nxn-1 69. В графе из 2n вершин n2+1 ребро. (!)есть  70. (!)середины сторон , основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами лежат на одной окружности (Окружность 9 точек). 71. ABCD |AB|=|CD| C лежит внутри отрезка AB, серединные перпендикуляры к отрезкам AD и BC пересекаются в точке Х. (!)AXD=BXC=900. Опр: pP, -вычет по mod p,  называется корнем f(x)Z[x] mod p, если f()0 (mod p) жүктеу/скачать 287 Kb. Достарыңызбен бөлісу: