50 миллион жай сандар



жүктеу 101.71 Kb.
Дата22.02.2016
өлшемі101.71 Kb.
50 МИЛЛИОН ЖАЙ САНДАР

секция: анализ бастамалары

Ж.М.Абдрахманова

11А, №16 орта мектеп, Сәтбаев қаласы

жетекшісі:А.У.Утарова

Сонау ерте заманнан бастап қазіргі уақытқа дейін көптеген математиктердің назарын аударСонау ерте заманнан бастап қазіргі уақытқа дейін көптеген математиктердің назарын аударып, таң қалдырған өте үлкен мәселе ол – жай сандарды орналастыру мәселесі. Әрине, бәріміз білетіндей жай сандар деген өзінен және бірден басқа өзге сандарға бөлінбейтін, 1 натурал санынан басталатын барлық натурал сандар жиыны; қалай дегенмен де мұндай анықтаманы сандар теориясының мамандары берді. Шынына келетін болсақ, кейбір математиктер басқа да анықтамаларды қолдана береді. Функциялар теориясының мамандары үшін жай сандар дегеніміз – бұл аналитикалық функцияның бүтінсандық нөлі.

1-

Комбинаторика тілімен жай сандар реккуренттік формуламен анықталады[1]

pn+1=1-log2

мұнда [x] – х санының толық бөлігі. Және, ең соңында, логиктер соңғы уақыттарда жай сандарды көммүшенің дұрыс мағынасы деп анықтау үстінде.[2]


F(a, b, с, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z) =
    = {k + 2} {1 – (wz + h + jq)2 – (2n + p + q + ze)2
    – (a2y2y2 + 1 – x2)2 – ({e4 + 2e3}{a + 1}2 + 1 – o2)2
    – (16{k + 1}3{k + 2}{n + 1}2 + 1 – f 2)2
    – ({(a + u4u2a)2 – 1}{n + 4dy}2 + 1 – {x + cu}2)2
    – (ai + k + 1 – li)2
    – ({gk + 2g + k + 1}{h + j} + hz)2
    – (16r2y4{a2 – 1} + 1 – u2)2
    – (pm + l{an – 1} + b{2an + 2an2 – 2n – 2})2
    – (zpm + plap2l + t{2app2 – 1})2
    – (qx + y{ap – 1} + s{2ap + 2ap2 – 2p – 2})2
    – (a2l2l2 + 1 – m2)2 – (n + l + vy)2}.

Жай сандарды орналастыру жөнінде екі маңызды мәселе бар, және сол мәселелерді мәңгі бақи есте сақталу үшін айтқалы отырмын. Бірінші: жай сандар математикалар қарастырып отырған барлық нысандардың ішіндегі ең еркелері және қырсықтары болып табылады. Олар барлық натурал сандардың арасында ешнәрсеге бағынбай сортаң шөптер тәрізді өседі, және жай санның қашан шығатынын ешкім дөп беріп айта алмайды, ал санға қарап отырып оның жай сан екенін анық біле алмаймыз. Ал екінші факт бойынша: жай сандар нақты белгіленген заңдылыққа бағына отырып, таң қаларлық тұрақтылықты көрсетеді.

Алғашқы түсініктеменің мағынасын ашу үшін, жай және құрама сандардың 100 (таблица 1) дейінгі тізімі берілген, 2-ден басқасының барлығы тақ сандар, содан кейін 10 000 000 дейін барлық жай натурал сандардың тізімі берілген (таблица 2.).

Кесте 1. Жай және (тақ) құрама сандар


простые

составные

2
3
5
7
11
13
17

19
23
29
31
37
41
43

47
53
59
61
67
71
73

79 
83 
89 
97 

9
15
21
25
27
33
35

39
45
49
51
55
57
63

65
69
75
77
81
85
87

91 
93 
95 
99 


Кесте 2. 10 000 100 дейінгі жай сандар


 9 999 900   және   10 000 000

арасы


10 000 000   және   10 000 100

арасы


9 999 901
9 999 907
9 999 929
9 999 931
9 999 937
9 999 943
9 999 971
9 999 973
9 999 991

10 000 019
10 000 079

Кестелерге қарап отырып, біздер бір санның жай және екінші санның құрама екенін көрсететін анық себептер көрсетілмегенін көріп отырмыз. Осы кестелердің астарында аңғарлықсыз белгілі бір құпия жатқандай көрінеді.Математиктер де әлі күнге дейін бұл құпияның сырын ашқан емес, олар өздерінің зерттеулерінде ең көп жай сандарды анықтауда. Белгілі бір заңдылықпен өсетін сандар үшін, мысалы квадраттың немесе екі дәреженің көшірмесін іздестіру, әрине, ақылға қонбайтын нәрсе. Ал жай сандар үшін, керісінше, келесі жай санды табу, зор жігер салумен қатар еңбекті қажет етеді. Мысалы 1876 жылы Люка 2127 – 1 санның – жай сан екенін, және 75 жыл бойы ең үлкен жай сан болып келгенін анықтығын.


2127 – 1 = 170141183460469231731687303715884105727.
Тек 1951 жылы – электрондық есептеуіш құрылғылардың пайда болғаннан кейін – ең үлкен жай сан анықталды. 3-кестеде ең үлкен жай сандарды анықтаған рекордсмендердің тізімі берілген. Қазіргі таңда рекордсмен 219937 – 1 саны болып табылып отыр.
Кесте 3. Ең үлкен жай сандардың тізімі.

p

р-дегі сандар саны

Ашылған жылы

Кім ашты

2127 – 1

39

1876

Люка

(2148 + 1)/17

44

1951

Феррье

114(2127 – 1) + 1
180(2127 – 1)2 + 1

41
79

1951

Миллер + Уиллер + EDSAC 1

2521 – 1
2607 – 1
21279 – 1
22203 – 1
22281 – 1

157
183
386
664
687

1952

Лемер + Робинсон + SWAC

23217 – 1

969

1957

Ризель + BESK

24253 – 1
24423 – 1

1281
1332

1961

Хурвитц + Селфридж + IBM 7090

29689 – 1
29941 – 1
211213 – 1

2917
2993
3376

1963

Гиллис + ILIAC 2

219937 – 1

6002

1971

Таккермэн + IBM 360

Бірақ бәрінен де қызығы - жай сандар бағынатын заңдылықтардың анықталуында. Ең алғашқыда 1-кестеде 1-ден 100-ге дейінгі санның арасындағы жай сандардың тізімі берілген болатын. 1-суретте сол кестенің графиктік түрі берілген. π(x) функциясы, х-ке тең немесе одан кіші жай сандардың мөлшерін көрсетеді; өз кезегінде 0 ол ноль мағынасына ие, және х жай санға тең болғанда, яғни х=2, 3, 5 нүктесінде 1-ге артып отырады. Осы графикке қарап отырып, π(x) –тің өз кезегінде белгілі бір тұрақтылықпен өсетінін байқаймыз. х-тің көрсеткіштерін 50 000-ге дейін көтерсек, тұрақтылығы нақтылана түсетінін байқаймыз (2-сурет). Осы графикте көрсетілген сызығымызды математиканың таң қаларлық фактілерінің қатарына қосуға болады.



Начало формы

 2. Функция π(x), x ≤ 50000.

Конец формы






Бұның арасындағы заңдылықтың қандай екенін, біздің математиктер де анықтау үстінде. Жай сандардың өсу көрсеткішін өте жақсы сипаттайтын эмпирикалық формуланы анықтау қиын емес. 1-ден 100-ге дейін 25 жай сан бар, яғни барлық сандардың төрттен бір бөлігі; 1000-ға дейін 168 жай сан, яғни алтыдан бір бөлігі; 10 000-ға дейін 1229 жай сан, яғни сегізден бір бөлігі. 100 000, 1 000 000 дейін жалғастыра келе, әр кез барлық натурал сандар көрсеткіштерінің жай сандар көрсеткіштеріне қатынасын анықтай келе, 4-кестеде көрсетілген мәліметтерді аламыз.

Кесте 4.

x 

π(x

       x/π(x)

       

10

4

2,5




100

25

4,0




1 000

168

6,0




10 000

1 229

8,1




100 000

9 592

10,4




1 000 000

78 498

12,7




10 000 000

664 579

15,0




100 000 000

5 761 455

17,4




1 000 000 000

50 847 534

19,7




  10 000 000 000

        455 052 512

22,0



Кесетеге назар аударсақ, сандар бір сатыдан келесі сатыларға өте отырып х-тің π(x)-ке қатынасы әрдайым 2,3-ке өсіп отырғанын байқап отырмыз. 2,3 санының логарифмі 10 екенін байқадық. Қорытындысында мынандай күдік туындайды



~
~ - бұл белгі х –тің 1-ге ұмтылатындығын көрсетеді. Бұл асимптотикалық қатынас, алғаш рет 1896 жылы дәлелденіп, қазіргі таңда жай сандардың орналасуының заңдылығы деп аталуда. Ұлы математиктердің бірі Гаусс, жай сандардың таблицасын зерттей келе 15 жасында осы заңдылықты ашты.Өзінің өмірінде Гаусс жай сандарды анықтауға қызыға келе, осы мәселені шешу үшін өте үлкен көлемді есептеулер жүргізді. Гаусс Энкеге жазған хатында «1000 санының интервалын анықтау үшін бос уақытының төрттен бір бөлігін қолданғанын», үш миллионнан кіші барлық жай сандарды анықтағанша, алынған нәтижелерді анықтау формуласымен салыстырмайынша осылай болып келді деп сипаттап жазған болатын.



3-сурет.
Жай сандарды орналастыру заңдылығы π(x) функциясының x/ln x-ке асимптотика түрде тең екенін белгілейді. Дегенмен егерде біз x/ln x және π(x) функцияларын салыстыратын болсақ, онда x/ln x функциясы π(x) функциясын бейнелейтінін, бірақ π(x) функциясын түсіндеріндей нақты дәл болмайтынын көреміз. Таблицаны тағы қарайтын болсақ, x/π(x) қатынасы ln x – 1 қатынасына сәл келетінін байқаймыз. Толық және нақты есептеулерді жүргізе келе, 1808 жылы Лежандр ln x-тен 1 емес, 1,08366 санын алатын болсақ, онда ұқсастықтарын байқаймыз деп айтқан болатын.
~

Ең алғаш π(x)-ке ұқсастықты ең алғаш рет Гаусс белгілеген болатын. Оның айтуы бойынша, x санының 1/ln x санына жақынырақ екені осы белгіленген эмпирикалық дәлелден шығады. Сол үшін х-тен аспайтын жай сандардың көрсеткіші шамамен логарифмдік көрсеткішпен,



Н

емесе, интегралдық логарифммен анықталады.


4-суретте көрсетілген, Li(x) және π(x) графиктерін салыстыра келе қарастырып отырған диапозанда суреттің дәлдігіне қарап отырып олардың дәлме-дәл ұқсас екендерін байқаймыз. Лежандрдың жақындау суретін көрсетіп те керек емес, өйткені көрсетілген диапозанда х-тің мағынасы одан да күштірек.



4-сурет.

π(x) функциясына тағы да жақындаудың бар екенін көрсетіп кететін болсақ. Жай сандар туралы Риманның зерттеулері бойынша х жай сан болып табылады, 1/ln x функциясы үлкен дәлдікпен беріледі, егер тек жай сандардың ғана емес, сонымен қатар жай сандардың квадраттарын сол жай санның жартысы деп санап, үшінші дәрежесін-үшке, тс.с. есептейтін болсақ. Ол келесі бір жақындау теңдігіне ие болады.


немесе бұл тәуелділікті қайтаратын болсақ



Соңғы теңдіктің оң жағындағы функцияны R(x) (Риманың құрметіне) деп белгілейміз. 5 кестеге қарайтын болсақ, ол өз алдында π(x)-ке өте жақсы жақындауды көрсетеді.



Кесте 5.

   x 

   π(x

   R(x)

   

100 000 000

5 761 455

5 761 552




200 000 000

11 078 937

11 079 090




300 000 000

16 252 325

16 252 355




400 000 000

21 336 326

21 336 185




500 000 000

26 355 867

26 355 517




600 000 000

31 324 703

31 324 622




700 000 000

36 252 931

36 252 719




800 000 000

41 146 179

41 146 248




900 000 000

46 009 215

46 009 949




   1 000 000 000

       50 847 534

       50 847 455





R(x) – ln x –тің толық функциясы. ζ(n) – Риманның дзета-функциясы.

Сонымен, Гаусстың және Лежандрдың π(x) –ке жақындау заңдылығы тек эмипирикалық түрде ғана алынған, және R(x) функциясына теория түрде дәлелдеулер көмегімен келтірген Риманың өзі де жай сандарды орналастырудың асимптотикалық заңдылығын нақты дәлелдеген емес. Бұл заңдылық 1896 жылы Адамар мен Валле Пуссеннің дәлелдеулерінде келтірілген.

6-суретте π(x) функциясының графигінің х-тен 10 миллионға дейін өзгергендегі Лежандрдың, Гаусстың, Риманың жақындауларының салыстырмасы берілген. Бұл төрт функция да бір-бірімен өз аларында ұқсап тұр.



6 сурет. Гаусстың    , Лежандрдың     және Риманың     х-тің мағынасының жақындауларының графигі

Осы бір суреттің өзі жай сандарды зерттеген адамдардың алдындағы нәтижелері қандай болатынын көрсетеді.

Суретте көрсетілгендей, Лежандрдың жақындаулары x/(ln x – 1,08366) х Гаусстың жақындауларына қарағанда нақтырақ және жақынырақ, бірақ 5 миллионнан әлі қарай Ладжендердің жақындаулары нақтырақ болып келеді.

Пайдалан әдебиеттер:



  1. А.П. Юшкевич «История математике в средние века»

  2. и.Г.Башмакова «Энциклопедия элементарной матемтики»

  3. В.Н. Молодший «Основы учения по числе в 18-век»

  4. Журнал «Квант»





©dereksiz.org 2016
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет