5В050702 – Автоматтандыру және басқару мамандағы бойынша ОҚУ-Әдістемелік материалдар

Басқару нысаналарын математикалық сипаттағанда нысана жөніндегі барлық информация нысана жағдайын сипаттайтын, тәуелді және тәулсіз айнымалылар түрінде ұсынылады.

Уақыттың кез-келген мезетінде насана жағдайын толық сипаттайтын тәуелсіз параметрлердің минимальді саны бостандық дәрежелерінің саны деп аталады. Осылайша, мысалы, кеңістіктегі нүктенің орны үшке тең бостандық дәрежелерінің санымен сипатталады. жазықтықтағы нүкте үшін бостандық дәрежесі саны екіге тең, бір ұшынан қыздырылатын ұзын металл таяқша үшін бұл сан шексіздікке тең.

Нысаналар бостандық дәрежесіне тәуелділігі бойынша екі класқа бөлінеді, жинақталған параметрлі және таралған параметрлі.

Бостандық дәрежесінің соңғи санына ие нысаналар жинақталған параметрлі нысаналар деп аталады. Мұндай нысаналар тұрақты коэффициентті қарапайым туындыдағы дифференциалды теңдеулермен сипатталады.

Бостандық дәрежесінің шексіз санына ие нысаналар таралған параметрлі нысаналар деп аталады және жеке туындыдағы дифференциалдық теңдеулермен сипатталады.

Тәуелсіз айнымалылар нысанаға ір түрлі әсерлер, басқарушы әсерлер болуы мүмкін. Бұл айнымалыларды кіріс айнымалылары деп атайды және x(t) деп белгілейді. Кіріс айнымалыларына тәуелді айнымалыларды шығыс айнымалылары деп аталады және y(t) деп белгіленеді. Шығыс айнымалылары ретінде нысананы басқару нәтижесі жөніндегі информация болуы мүмкін.

Басқару нысаналары әр түрлі құрылымдарға ие болуы және статикалық және динамикалық жұмыс режимдерімен сипатталуы мүмкін. Сәйкесінше нысаналардың өздері бұл жағдайда статикалық және динамикалық деп аталуы мүмкін.

Статикалық деп орнатылған статикалық режимде y(t)=const кіріс айнымалысының әр мәніне шығыс айнымалысының анықталған мәні сәйкес келетін нысаналар аталады.

 (1)

Бұл тәуелділік статикалық сипаттама деп аталады, яғни бұл шығыс айнымалысының орнатылған режимдегі кіріс айнымалысына тәуелділігі.

Нысананың уақыт бойынша өзгерісін сипаттайтын нысаналар сипаттамасы динамикалық сипаттама деп аталады.

Статикалық және динамикалық сипаттамалар нысаналардың матеметикалық бейнелену негізін құрайды.

Нысаналардың математикалық бейнелеу мысалдарын қарастырайық.

1мысал. Қысымды бак, 1 суретте бейнеленген.

1 сурет. Қысымды бак

Мұнда: G - сұйықтықтың шығыны.

Еркін ағыстағы сұйықтық шығыны келесідей:

 (3)

Статикалық сипаттама теңдеуі:

2 сурет. Қысымды бак статикалық сипаттамасы

Мысал 2. Сұйықтықты қосқыш (3 сурет).

Қоқышқа С₁ концентрациялы және G₁ шығынды сұйықтық құйылады және С₂ концентрациялы және G₂ шығынды сұйықтық шығады.

Тұрақты деңгейді сақтап тұру үшін келесі теңдікті орындау керек:

 (5)

Материалдық баланс теңдеуі келесі түрде ұсынылады:

Мұндағы: V - жұмысшы көлем. (6) теңдеуі нысана динамикасының математикалық бейнеленуі болып табылады. Осы теңдеуді келесі түрге келтіруге болады:

Мұндағы:  - уақыт тұрақтысы. Бұл әсер етуші қоспаның әрбір элементарлы көлемі нысанада ұсталынатын орташа уақыт. Уақыт тұрақтысы орташа нысанада болу уақытын анықтайды және оның инерциялығын сипаттайды.

Мысал 3. Химиялық реакторды қарастырайық. Бұл 3 суретте көрсетілген аппарат. Бұның қосқыштан айырмашылығы мұнда 1 ретті химиялық реакция жүреді. 1 ретті реакция келесі теңдеумен сипатталады:

 (8)

Материалдық баланс теңдеуі келесі принцип бойынша құрылады

Химиялық реактор материалдық баланс теңдеуі:

 (9)

Бұл теңдеуді түрлендіреміз:

Мұндағы:  - уақыт тұрақтысы;

Егер статикалық режим зерттеліп жатса, онда 

.

4 сурет. Реактордың статикалық сипаттамасы

1. Түзу сызықты жүйелер. Анықтамалары және қасиеттері

Түзу сызықты деп қозғалысы түзу сызықты алгебралық және дифференциалдық теңдеулермен бейнеленетін жүйелерді атаймыз.

Бұл автаматтық басқару жүйесін жалпы түрде бейнелейтін түзу сызықты дифференциалдық теңдеу.

Қисықсызықты теңдеулер мысалдыра:

 (14)

 (15)

(1-13) теңдеуінің сол жағы жүйенің еріксіз және еркін қозғалыстарының қосындысы, яғни шығыс айнымалысының у(t) уақыт бойынша өзгеруі. Теңдеудің оң жағы кіріс сигналының өзгеруін сипаттайды және әдетте қандай да бір нақты функцияға f(t) тең. Егер f(t) = 0, яғни оң жақ нольге тең болса, онда бұл жүйенің кірісінде сигнал жоқ және жүйе еркін қозғалатынын білдіреді.

Түзу сызықты жүйеге мысал ретінде 3 мысалда 3 суретте көрсетілген арастырғышты реакторды келтіруге болады.

Түзу сызықты жұйелердің негізгі қасиеттері болып суперпозиция принципі болып табылады. Осы принципті ұстану жүйенің түзу сызықтылығын білдіреді.

Суперпозиция принципінің негізгі жағдайлары:

1) Түзу сызықты жүйелер үшін екі немесе оданда қөп әсерлерге жүйенің реакциясы қосындысы осы әсерлердің әр қайсысына реакция қосындысына тең.

2) Егер кіріс сигналын k есе үлкейтсе немесе кішірейтсе, онда шығу сигналы да сонша есе үлкейеді.

Суперпозиция принципінің түзу сызықты және қисықсызықты жұйелер үшін орындалуы 5 және 6 суреттерде қөрсетілген.

5 сурет. Түзу сызықты жүйелер үшін суперпозиция принципі

6 сурет. Қисықсызықты жүйелер үшін суперпозиция принципі

5 суретінен суперпозиция принципі (16) орындалатыны қөрініп тұр, 6 суретте қисықсызықты жүйелер үшін бүл шарт орындалмайды.

2 Түзу сызықты жүйелердің статикалық және динамикалық сипаттамалары

Статикалық сипаттама деп орнатылған режимде кіріс және шығыс айнымалылары арасындағы тәуелділік аталады. Орнатылған режим деп барлық өтпелі процестер өшетін режимді атайды.

Динамикалық сипаттама нысананың уақыт бойынша әрекетін сипаттайды, яғни шығу сигналының уақыт бойынша өзгеруі.

Динамикалық сипаттамалар үш аймақта ұсынылуы мүмкін және сәйкесіше үш бөлімге бөлінеді:

1. Уақыттық сипаттамалары;

2. Комплексті айнымалылардың жазықтықтағы сипаттамасы;

3. Жиіліктік сипаттамалары.

Уақыттық сипаттамалар деп параметрлері уақыт бойынша өзгеретін сипаттамалар аталады. Мұндай сипаттамаларға келесілер жатады:

· Дифференциальдік теңдеу;

· Өтпелі функциялар (үдеу қисығы, импульсті өтпелі функция).

Жазықтықта комплексті айнымалыларды өтпелі функция сипаттайды.

Жиіліктік сипаттамаларға келесілер жатады:

· Амплитуда-фазалық сипаттама;

· Амплитуда-жиіліктік сипаттама;

· Фазалы-жиіліктік сипаттама.

Нысаналардың динамикалық қасиеттерін зерттеу және динамикалық сипаттамаларды алу мақсатында типтік сынаушы сигналдар деп аталатын тесттік сигналдар қолданылады.

Осындай тесттік сигналдарды және нысананың осы сигналдарға әсерін қарастырайық.

1. Бірлік сатылы функция 1(t), бұл Хевисайд функциясы деп аталады.

Нысананың бірлік сатылы функцияға әсері үдеу қисығы y(t) деп аталады.

А - бірлік функция 1(t); Б - бірлік функция 1(t-τ), мұнда τ - кешігу.

7 сурет. Бірлік сатылы функциялар

В - инерциясыз нысананың үдеу қисығы; Г - кешігуі бар үдеу қисығы.

8 сурет. Үдеу қисықтыры

x(t)=1(t) жағдайындағы нысананың динамикасын сипаттайтын теңдеуді шешіп үдеу қисығы теңдеуін алуға болады. Егер (7), (12) дифференциалдық теңдеуде кіріс сигналының x(t) және шығыс сигналының y(t) үйреншікті белгіленулерін қабылдасақ, онда қарапайым нысананың динамикасының дифференциалдық теңдеуі келесі түрде ұсынылады:

Осы теңдеуді шешіп, үдеу қисығы теңдеуін аламыз (8 сурет):

Егер t®∞, онда y(t)→1 немесе y(∞)→1. Егер x(t)=k×1(t), онда үдеу қисығы теңдеуі:

Егер t®∞, онда y(t)→k немесе y(∞)→k,  - нысананың күшейу коэффициенті. k және Т мәндері үдеу қисығы теңдеуінен анықталады. Уақыт тұрақтысы - үдеу қисығының кез-келген нүктесінде абсцисса осіне жанама проекциясы (8 сурет ).

2. Дельта-функция немесе Дирак δ(t) функциясы бұл шексіз аз және шексіз көп амплитуда импульсі. Бұл функция келесідей сипатталады:

А - инерциясыз нысана үшін дельта-функция δ(t); Б - кешігуі бар нысана үшін дельта-функция δ(t-t₁).

9 сурет. Дельта-функцилар

9 (Б) суретте қөрсетілген дельта-функция δ(t-t₁), келесідей сипатталады:

Дельта-функцияның δ(t) негізгі қасиеттері келесілер:

- функция астындағы алаң бірге тең, яғни ;

- қандай да f(t) функциясының t₁ уақыт мезетінде берілген дельта функцияға δ(t-t₁) көбейтіндісінің интегралы сол уақыттағы f(t₁) функциясының мәніне тең:

Нысанының дельта-функцияға δ(t) әсері импульсті-өтпелі функция немесе салмақты функцияh(t) деп аталады.

Импульсті-өтпелі функция нысана «жадысын» сипаттайды, өйткені импульсті сигнал кірісінде шығыс қанша уақыт және қандай салмақпен әсер ететінін көрсетеді.

10 сурет. Импульсті-өтпелі функция

Импульсті-өтпелі функция h(t) теңдеуі x(t)=δ(t) жағдайында нысананың дифференциялдық теңдеуінің (1-19) шешімінен алынуы да мүмкін:

 (25)

Бірлік сатылы функция 1(t) және дельта-функция δ(t) арасындағы байланысты қарастырайық.

Бұл екі кіріс сигналдары бір-бірімен дифференциялдау операторымен байланысты, яғни

Қарастырылып жатқан нысаналар түзу сызықты, олар үшін суперпозиция принципі орынды, бұдан, шығыс сигналдары, яғни үдеу қисығы y(t) және импульсті-өтпелі функциясы h(t) да дифференциялдау операторымен байланысты:

12 сурет. Шығыс сигналдары

3. Егер түзу сызықты жүйе кірісіне еркін формадағы сигнал жіберсек, онда жүйенің осы сигналға әсері жинауыш теңдеуімен сипатталады:

 (28)

Бұл теңдеудің мәнін түсіндіру үшін, еркін формадағы кіріс сигналын дельта-функция қосындысымен аппроксимациялаймыз, яғни кіріс сигналын ені шексіз аз қарапайым импульстер қосындысы (бағаналар) түрінде ұсынамыз (1-13 сурет).

13 сурет. Еркін формадағы кіріс сигналы

Τ уақыт мезетін қарастырайық. Нысананың x(τ)-ға әсері келесі түрде жазылуы мүмкін:

t₁ уақыт мезетінде нысананың x(t₁)-ға әсері келесідей:

Суперпозиция принципі (16) бойынша, нысананың осындай бағаналардың әр қайсысына әсері осылардың әр қайсысына әсердің қосындысына тең. Дельта-функцияның (24) екінші қасиетін және суперпозиция принципін қолданып келесіні жазуға болады:

Бұл қөріністі интеграл түрінде жаза отырып, жинауыш теңдеуін аламыз (28).

Кейде жинауыш теңдеуін келесі түрде жазады:

 (32)

6-дәріс. Лаплас түрлендіруі. Негізгі түсініктемелер.
Дәріс сабағының құрылымы:

1. Фурье және Лаплас түрлендірулерінің негізгі принциптері және қасиеттері

3. Масштаб теоремасы

4. Кешігу теоремасы

5. Жинақтау теоремасы

6. Функцияның соңғы мәні туралы теорема

7. Функцияның алғашқы мәні туралы теорема

 1. Фурье және Лаплас түрлендірулерінің негізгі принциптері және қасиеттері

Басқару теориясында түзу сызықты дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешу, нысаналар динамикалық қасиеттерін зерттеу үшін операциондық есептеу атымен белгілі қолданбалы талдау теориясы қолданылады. Операциондық есептеу негізінде Лаплас және Фурье функциональдық түрлендірулері жатыр. Бұл жағдайда заттық айнымалыны комплексті айнымалы функциясына түрлендіру жүргізіледі.

Комплексті санның алгебралық жазылуы нақты және жорамал бөліктерінің қосындысы ретінде ұсынылады:

 

  (1)

1 сурет. Комплексті айнымалылар жазықтығы

Комплексті сан жазылуының тригонометриялық формасы:

 (2)

Эйлер формуласы түрінде жазылуы:

Мұнда:  -модуль,

f(t) функциясы үшін мән берейік.

2 сурет. f(t) функциясы

f(t) функциясын Cosωt бойынша Фурье қатарына жіктейік:

 (4)

f(t) әр түріне (2 сурет) өзінің а_ν коэффициенттер тібегі сәйкес келеді_.

f(t) функциясының Cosωt бойынша Фурье қатарына жіктелуіндегі коэффициенттер тізбегі

3 сурет.

а_ν коэффициенттер тізбегін келесі түрде табамыз:

f(t) функциясынв Sinωt бойынша Фурье қатарына жіктейміз:

b_ν коэффициенттері де f(t) функциясының нақты түріне тәуелді (2 сурет), оларды тізбек түрінде қөрсетейік.

4 сурет. f(t) функциясының Sinωt бойынша Фурье қатарына жіктелуіндегі коэффициенттер тізбегі

b_ν коэффициенттері келесі формуламен анықталады:

f(t) функциясын а_ν және b_ν коэффициенттеріне тәуелділігі ретінде жазайық:

Мұндағы: ω=νω₀, ω₀ - дискретті шама, ω - үздіксіз шама.

Фурьенің тікелей түрлендіру формуласы немесе функцияның комплексті спектрі:

 (9)

Фурье түрлендіруін қолдану үшін, f(t) функциясы Дирихле шарттары деп аталатын екі шартты қанағаттандыруы керек:

1. f(t) функциясы функцияның қолданылу интервалында 1 түріндегі ажыраулардың соңғы санына ие болуы қажет. 1 түріндегі ажырау функция туындысы шексіздікке тең болғанда  орын алады, 2 түріндегі ажырау егер f(t) функцисы t→0 жағдайында шексіздікке тең болса .

5 сурет. 1 түріндегі ажырау

Егер f(t) функциясы С нүктесінің оң және сол жағында соңғы шектерге ие болса, онда С нүктесі 1 түріндегі ажырау нүктесі деп аталады.

2. f(t) функциясының абсолютті интегралдану шарты. 0 және ∞ аралығындағы f(t) функциясы модулінің интегралы соңғы шамаға тең болуы керек:

Бұл айтарлықтай ауыр талап. Мысалы, келесі функцияны қарастырайық:

6 сурет.

Жаңа функция енгіземіз.

V(t) = f(t)· e^-αt (11)

Мұнда: α - өшу коэффициенті.

Бұл функция Дирихле шарттарын қанағаттандырады, өйткені t→∞ жағдайындағы өшіп бара жатқан құраушы есебіненфункция кішірейеді және нольге ұмтылады.

7 сурет. Жаңа комплексті айнымалы V(t) функциясы.

8 сурет. V(t) функциясының өшіп бара жатқан құраушысы

Ескі f(t) функциясын жаңаға ауыстырамыз:

 (12)

α өшу коэффициенті есепке алына отырып P=α+iω комплексті айнымалысы алынды. Тікелей Лапласа түрлендіруінің теңдеуін аламыз:

 

 (13)

Лаплас түрлендіруінің Фурье түрлендіруінен артықшылығы Лаплас бойынша функцияның айтарлықтай кең классын түрлендіруге болады. Басқаша айтқанда Фурье және Лаплас операторлары алынады.

Оператор - бір функция жиынының екіншісіне сәйкестігін орнататын математикалық әрекет.

Кейбір түпнұсқа функцияға f(t) оператормен әрекет ету арқылы біз басқа көрініс функциясын F(P) аламыз.

Операторлардың белгіленулері келесідей:

Тікелей Фурье операторы: F[f(t)]=F(iω)

Тікелей Лаплас операторы: L[f(t)]=F(P)

Кері Фурье операторы: F^-1[F(iω)]=f(t)

Кері Лаплас операторы: L^-1[F(P)]=f(t)

F - Фурье операторының белгісі,

L - Лаплас операторының белгісі,

f(t) - түпнұсқа,

F(P) - көрініс.

Лаплас бойынша кері түрлендіру теңдеуі:

с - f(t) функциясының үйлесімділік абсциссасы.

F(P) функциясы комплексті айнымалы функциясы болып табылады, мұндағы комплексті айнымалы Р екі айнымалының функциясы болып табылады.

 (15)

Бұл функцияны геометриялық түрде көрсету мүмкін емес. Комплексті айнымалы Р жазықтығының комплексті функция F(P) жазықтығында кескінделіу пайда болады.

9 сурет. Комплексті сан жазықтығының комплексті функция жазықтығында кескінделуі.

Практикада тікелей және кері Лаплас түрлендірулерінің интегралдық теңдеулерін шешудің орнына түпнұсқажәне қөрініс аралығындағы сәйкестіктаблицасын қолданады.

(16)