7 класс Группа "профи"("Ш")

Графы – 1

1. 
   В деревне Вишкиль 9 домов. Известно, что у Петра соседи Иван и Антон, Максим сосед Ивану и Сергею, Виктор – Диме и Никите, а также по соседству живут Евгений с Никитой, Иван с Сергеем, Евгений с Димой, Сергей с Антоном и больше соседей в означенной деревне нет (соседними считаются дворы, у которых есть общий участок забора). Может ли Петр огородами пробраться к Никите за яблоками?
   
2. 
   В трех вершинах правильного пятиугольника расположили по фишке. Разрешается двигать их по диагонали на свободное место. Можно ли такими действиями добиться, чтобы одна из фишек вернулась на первоначальное место, а две другие поменялись местами?
   
3. 
   Из доски 44 вырезаны все угловые клетки. Может ли шахматный конь обойти всю доску и вернуться на исходную клетку, побывав в каждой клетке ровно один раз?
   
4. 
   Петр, пробираясь огородами до Никиты, сделал себе москитную сетку, в которой ровно 100 узелков, и любые два узелка соединены ниточкой. Сколько ниточек потратил Петр на это бесполезное занятие?
   
5. 
   В городе проводилось совещание врачей. От каждой поликлиники на совещание было приглашено по пять врачей. Оказалось, что каждый из приглашенных работал в двух поликлиниках, поэтому на совещании представлял обе поликлиники. Кроме того, для любых двух поликлиник города среди участников совещания найдется врач, который в них работает. Сколько в городе поликлиник и сколько врачей принимало участие в совещании?
   
6. 
   В деревне Вишкиль 9 домов. Из каждого дома тянется четыре шланга к четырем другим домам и каждый из этих шлангов имеет длину 178 метров 25 сантиметров. Найти общую длину шлангов в деревне Вишкиль.
   
7. 
   Петр, пробираясь огородами до Никиты, решил прибрать несколько шлангов. В процессе расследования участковый записал в протоколе, что теперь из каждого дома выходит по 3 шланга длиной 150 метров. Чему равен «убыток», если метр шланга стоит 12 рублей?
   
8. 
   В доме отдыха Вишкиль 57 корпусов. Пьяный электрик Вася решил соединить телефонными проводами каждый корпус ровно с пятью другими. Сможет ли он это сделать?
   
9. 
   Докажите, что число людей, когда либо живших на земле и сделавших нечетное число рукопожатий – четно!
   

Для самостоятельного решения

10. 
    В верхних углах доски 33 стоят черные кони, а в нижних – белые. Как разместить коней одного цвета в противоположных клетках доски и сколько ходов для этого необходимо?
    
11. 
    Можно ли на окружности расположить числа 0, 1, 2, …, 9 так, чтобы любые два соседних числа отличались на 3, 4 или 5?
    
12. 
    Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит 3 дороги, быть ровно 100 дорог?
    
13. 
    Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?
    
14. 
    В графе каждая вершина покрашена в синий или зеленый цвет. При этом каждая синяя вершина связана с пятью синими и десятью зелеными, а каждая зеленая с девятью синими и шестью зелеными. Каких вершин больше – синих или зеленых?
    
15. 
    На листе бумаги отмечена 2001 точка. Двое играют в следующую игру: каждый своим ходом соединяет две отмеченные точки линией. Запрещается соединять пару точек повторно. Проигрывает тот, после хода которого из любой точки можно пройти в любую другую, двигаясь от вершины к вершине по проведенным линиям. Кто выигрывает при правильной игре?
    
16. 
    Докажите, что среди девяти человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо четверо попарно незнакомых.
    
17. 
    На плоскости отметили 5 точек. Можно ли соединить их непересекающимися линиями так, чтобы любые две точки были соединены ровно одной линией?
    

Задачи на разрезание – 1

0. 
   а) МЛР (можно ли разрезать) трехклеточный уголок на 4 равные части;
   б) квадрат 44 на 5 равных частей?
   
1. 
   МЛР (можно ли разрезать) квадрат 88 на прямоугольники 31?
   
2. 
   МЛР шахматную доску без двух противоположных углов на двуклеточные домино?
   
3. 
   МЛР квадрат 1010 на прямоугольники 41?
   
4. 
   МЛР произвольный треугольник на
   

а) 4 равных треугольника;

б) 4 прямоугольных треугольника;

в) 3 трапеции;

г) 4 равнобедренных треугольника?

0. 
   МЛР квадрат на
   

а) 33-угольник и 3 десятиугольника;

б) тысячеугольник и 199 пятиугольников?

0. 
   МЛР квадрат на треугольники так, чтобы каждый граничил (по отрезку) ровно с тремя другими?
   
1. 
   МЛР квадрат на равносторонние треугольники?
   
2. 
   МЛР квадрат на два многоугольника, чтобы отношение площадей было больше 2, а отношение периметров – меньше ½?
   
3. 
   Семиклассник разрезал квадрат на прямоугольники периметра 7, а восьмиклассник – на прямоугольники периметра 8. Могло ли у восьмиклассника получиться больше прямоугольников?
   
4. 
   Докажите, что из любого выпуклого четырехугольника можно вырезать параллелограмм, две стороны которого совпадут со сторонами четырехугольника.
   

жүктеу/скачать 471 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: