Теорема 12. Для любых попарно взаимно простых чисел m1, m2, …, mn и остатков r1, r2, …, rn по модулям m1, m2, …, mn найдутся n последовательных чисел a, a+1, …, a+n-1 таких, что  ,  , …,  .
Зад13. Пятнадцать простых чисел образуют арифметическую прогрессию с разностью d. Докажите, что d > 30000.
Зад14. Докажите, что среди а) любых десяти; б) любых шестнадцати последовательных натуральных чисел найдется число, взаимно простое с остальными.
Зад15. Существует ли в сутках момент, когда расположенные на общей оси часовая, минутная и секундная стрелки правильно идущих часов образуют попарно углы в 120?
Заключительная олимпиада Довывод -
Расставьте несколько фигур на шахматной доске так, чтобы рядом с каждой фигурой было ровно три свободных поля, а рядом с каждым свободным полем – ровно одна фигура? (Примечание: рядом – значит в клетке с общей стороной).
-
На острове Рыцарей и Лжецов стоит замок. В замке 2000 комнат. В третьей по величине комнате (после тронного зала и подвала) стоит круглый стол. За этим столом сидят 16 аборигенов разного возраста и звания. На вопрос: "Не считая вас и двух ваших соседей, кто все остальные?", каждый сидящий ответил: "Все они лжецы". Сколько лжецов сидит за столом?
-
На доске написано число. Разрешается умножить или поделить его на любое простое число. Можно ли ровно за 2000 таких операций из 1 получить 2000?
-
a, b и c – целые числа. Докажите, что если a=b+c, то a4+b4+c4 есть удвоенный квадрат целого числа.
-
В выпуклом четырехугольнике соединены середины двух противоположных сторон. Оказалось, что одна диагональ делит этот отрезок пополам. Докажите, что эта диагональ делит площадь четырехугольника тоже пополам.
Вывод -
2000 яблок лежат в нескольких корзинах. Разрешается убирать корзины и вынимать яблоки из корзин. Докажите, что можно добиться того, чтобы во всех оставшихся корзинах было поровну яблок, а общее число яблок было не меньше 100.
-
На сторонах треугольника ABC вне его построены правильные треугольники ABD и BCE. Отрезки CD и AE пересекаются в точке M. Докажите, что AM+BM+CM=CD.
-
Проказница мартышка, осел, козел да косолапый мишка подружились с козой (с баяном) и затеяли сыграть квинтет. Пришли на лужок, сели в кружок, но музыка не пошла. Тогда друзья стали пересаживаться. За одну пересадку меняется местами одна пара соседей. Друзья не успокоятся, пока каждый не посидит на каждом месте. Каким наименьшим количеством пересадок они могут обойтись?
Послевывод -
Плоскость разграфлена на квадратные ячейки единичной площади. Докажите, что любой многоугольник площади меньше 1 можно расположить на этой плоскости так, чтобы внутрь него не попало ни одного узла решетки.
-
Луч разбит на отрезки длины 1. Блоха из начала луча прыжками длины  ускакала в бесконечность. Покрасим отрезки, где она побывала, а также самый первый. Докажите, что кузнечик может из начала луча ускакать в бесконечность прыжками некоторой постоянной длины C так, чтобы побывать в точности на всех неокрашенных отрезках.
Математические бои Внутренний математический бой, 7 июля -
Назовем человека необщительным, если у него не более пяти друзей. Назовем человека чудаком, если все его друзья необщительны. Докажите, что чудаков не больше, чем необщительных.
-
Первоначально на доске написано число 2. Двое играющих ходят по очереди. За один ход разрешается имеющееся число увеличить на любой его делитель, не равный самому числу. Проигрывает тот, кто первым получит число больше тысячи. Кто из игроков может выигрывать независимо от игры противника?
-
Рассматриваются все промежутки времени в июне, состоящие из целого числа дней. Найдите наибольшее возможное число промежутков, в течение каждого из которых случилось нечетное число дождливых дней.
-
Внутри квадрата ABCD найдите все такие точки X, что AX+CX = BX+DX.
-
Существует ли тупоугольный треугольник, который можно разрезать на конечное число остроугольных треугольников?
-
Что больше: 200! или 100200?
-
Найдите все решения в целых числах уравнения  .
-
Из квадрата 88 вырезана угловая клетка. На какое наименьшее возможное число равновеликих треугольников можно разрезать полученную фигуру ?
-
"Домик" ABCDE составлен из квадрата BCDE со стороной g и правильного треугольника ACB (вершина A – снаружи квадрата). Найдите радиус описанной окружности треугольника ADE.
-
В клетчатой таблице 1010 стоят числа +1 и –1. За один ход разрешается поменять знак на противоположный у одного из этих чисел и у всех чисел, стоящих с ним в одном "кресте" (объединении его строки и его столбца). Докажите, что за несколько ходов можно из любой начальной расстановки получить любую другую.
Матбой-1 Профи-7 – Не-профи 8, 12 июля -
В таблице NN, заполненной числами, все строки различны (две строки называются различными, если они отличаются хотя бы в одном элементе). Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть один столбец так, что в оставшейся таблице опять все строки будут различны.
-
На плоскости расположено несколько непрозрачных кругов и точка. Докажите, что из этой точки некоторый круг виден полностью (то есть, что другие круги его не загораживают его даже частично).
-
Трое велосипедистов ездят с различными постоянными скоростями по круглому велотреку. У них есть фляжка, которая обязательно передается от одного к другому при встрече или обгоне (ситуаций, когда все трое оказываются одновременно в одном месте, не случается). Может ли оказаться, что как бы долго они не ездили, к одному из них фляжка так и не попадет?
-
На какое количество нулей может оканчиваться число вида  при натуральных n? (Найдите все возможные ответы)
-
На сторонах AB и AC правильного треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно так, что AD=CE, и в треугольнике ADE проведена медиана AM. Докажите, что BE=2AM.
-
Брат-старшеклассник спросил сестренку-младшеклассницу: "Сколько дней тебе было ровно втрое меньше полных лет, чем мне? – "3 дня",- ответила сестренка. "А ровно в 4 раза?" – "4 дня". "А ровно в 6 раз?" Тут сестренка задумалась. Она помнила, что такие дни были, но вот сколько… Помогите ей найти ответ.
-
Для натуральных чисел a, b, c известно, что  Докажите, что  .
-
В противоположных углах клетчатой доске 78 ставятся черная и белая ладьи, остальные поля заполняются серыми пешками. Двое играющих ходят по очереди каждый своей ладьей. Каждым ходом игрок обязан что-нибудь съесть – пешку или ладью противника. Проигрывает тот, кто не сможет сделать хода. Кто из игроков может выигрывать независимо от игры противника?
Матбой-2 Профи-7 – Не-профи 8, 12 июля -
Д окажите, что из простого числа, большего 1000, можно вычеркнуть одну или две цифры так, чтобы получилось составное число.
-
К окружности провели две касательные, касающиеся ее в точках А и В и пересекающие друг друга в точке С. Доказать, что центр вписанной в треугольник АВС окружности лежит на дуге АВ.
-
Трое велосипедистов ездят с различными постоянными скоростями по круглому велотреку. У них есть фляжка, которая обязательно передается от одного к другому при встрече или обгоне (ситуаций, когда все трое оказываются одновременно в одном месте, не случается). Может ли оказаться, что как бы долго они не ездили, к одному из них фляжка так и не попадет?
-
На какое количество нулей может оканчиваться число вида  при натуральных n? (Найдите все возможные ответы)
-
На сторонах AB и AC правильного треугольника ABC отмечены точки D и E соответственно так, что AD=CE, и в треугольнике ADE проведена медиана AM. Докажите, что BE=2AM.
-
Брат-старшеклассник спросил сестренку-младшеклассницу: "Сколько дней тебе было ровно втрое меньше полных лет, чем мне? – "3 дня",- ответила сестренка. "А ровно в 4 раза?" – "4 дня". "А ровно в 6 раз?" Тут сестренка задумалась. Она помнила, что такие дни были, но вот сколько… Помогите ей найти ответ.
-
С двух сторон дороги посадили два ряда по 7777 деревьев. На каждое дерево прибили табличку, в которой указано, сколько дубов в тройке деревьев: самого этого дерева и его соседей слева и справа (у крайних деревьев — в паре из самого дерева и его единственного соседа). Странник, идущий по дороге, увидел справа и слева одинаковые последовательности чисел. Докажите, что в обоих рядах дубы растут на одних и тех же местах.
-
В противоположных углах клетчатой доске 78 ставятся черная и белая ладьи, остальные поля заполняются серыми пешками. Двое играющих ходят по очереди каждый своей ладьей. Каждым ходом игрок обязан что-нибудь съесть – пешку или ладью противника. Проигрывает тот, кто не сможет сделать хода. Кто из игроков может выигрывать независимо от игры противника?
Матбой Профи-7 – Профи 8, 17 июля -
При каких натуральных n можно числа от 1 до n разбить на две группы так, чтобы сумма чисел одной группы была равна произведению чисел другой группы? (группа может состоять и из одного числа.)
-
Можно ли разбить все действительные числа на два множества  и  так, чтобы разность любых двух чисел из первого множества была рациональна, а разность любых двух чисел из множества была бы иррациональна?
-
Существует ли такое 2000-значное составное число, которое при замене любой тройки соседних цифр на произвольную тройку цифр остается составным?
-
Можно ли разрезать квадрат на треугольники так, чтобы каждый граничил (по отрезку) ровно с четырьмя другими?
-
a и b — различные натуральные числа, большие 1, и a2+b–1 делится на b2+a–1. Докажите, что число b2+a –1 имеет хотя бы два различных простых делителя.
-
У преподавателя есть n выражений A1, A2,... An которые на самом деле равны. Каждый урок преподаватель рассказывает доказательство какого-нибудь одного неравенства вида  . Он никогда не доказывает неравенства, если оно следует из уже ранее доказанных. Какое наибольшее число уроков может занять преподаватель такими доказательствами?
-
Кровожадный султан объявил, что "переаттестация" Совета Мудрецов будет происходить так: мудрецы должны выстроиться в колонну в алфавитном порядке, после чего каждому наденут колпак одного из двух цветов - синего или желтого. Все мудрецы подслеповаты, поэтому могут видеть цвета колпаков только у семи впереди стоящих мудрецов (но никто не увидит цвета своего колпака и колпаков у тех, кто стоит сзади). Каждую минуту по удару гонга кто-нибудь один из мудрецов должен выкрикнуть один из цветов. Каждый мудрец может выкрикнуть цвет только один раз, а если кто-то выкрикнет что-то постороннее, крикнут одновременно несколько или не крикнет никто, то казнят всех. По окончании процедуры султан казнит всех мудрецов, которые выкрикнули цвет, не совпадающий с цветом своего колпака.
Накануне все 100 членов Совета Мудрецов стали договариваться, как им, не нарушая правил, передать информацию о цвете колпаков друг другу и что какой выкрик в каждой ситуации будет обозначать. Как им надо действовать, чтобы гарантированно спаслись все, кроме, быть может, троих?
-
Назовем расстоянием между клетками наименьшее число ходов короля между ними. Вначале в противоположных углах доски 88 стоят черный и белый короли. Двое играющих по очереди каждым ходом сдвигают короля на соседнее свободное поле, но так, чтобы расстояние между королями не увеличилось (однако короли могут стоять рядом). Выигрывает тот, кто первым дойдет до противоположного края. Может ли кто-нибудь из игроков выигрывать независимо от игры противника, и если да, то кто?
-
Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC. Точки E и F таковы, что середина отрезка DE лежит на отрезке AB, середина отрезка DF лежит на отрезке BC и EDA= FDC. Середина отрезка EF точка K лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что ABD=CBK.
-
На бесконечной клетчатой плоскости в виде квадрата 1010 стоят 100 фишек. Эти фишки переставили так, что соседние по стороне фишки остались соседними, причем никакие две фишки не попали в одну клетку. Докажите, что фишки вновь стоят в виде квадрата.
Математический аукцион, 22 июля
Каждая задача стоит 100 тугриков, доказательство оптимальности – еще 50 тугриков. Изначально каждая команда получает 150 тугриков.
-
Найдите как можно больше натуральных чисел, десятичная запись которых не заканчивается нулями, и которые при вычеркивании некоторой одной (но не первой) цифры уменьшаются в целое число раз.
-
Разбейте прямоугольник 13 на возможно меньшее число квадратов так, чтобы среди них не нашлось трех равных.
-
Придумайте как можно более длинную цепочку различных слов (существительных, единственного числа, именительного падежа, не имен собственных) так, чтобы первые три буквы очередного слова совпадали с последними тремя буквами предыдущего, например корОЛЬ - ОЛЬха.
-
В прямоугольной таблице строк и столбцов больше 1. В ее клетках расставлены различные натуральные числа меньше 1000 так, что суммы во всех строках одинаковы, и произведения во всех столбцах тоже одинаковы (но произведения могут быть не равны суммам). Придумайте такую таблицу с как можно большим числом клеток.
-
Двое играют в крестики-нолики на бесконечной доске. Выигрывает тот, кто первым поставит не менее n своих знаков подряд по горизонтали или вертикали. Придумайте способ, как ноликам наверняка обеспечить ничью для как можно меньшего n.
-
Расставьте на шахматной доске как можно большее число ладей так, чтобы каждая била нечетное число других.
-
На клетчатой бумаге нарисован квадрат 88 со сторонами по линиям сетки. Найдите как можно больше равнобедренных треугольников с вершинами в узлах сетки на сторонах квадрата.
-
Все члены возрастающей арифметической прогрессии – натуральные числа. Если каждое число заменить его суммой цифр, снова получится возрастающая арифметическая прогрессия. Придумайте такую прогрессию с как можно большим числом членов.
-
В каждой клетке квадрата 88 клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Проведите диагонали так, чтобы этих частей было как можно больше.
-
Посредине доски 11001 стоит столбик из 80 положенных друг на друга монет. За один ход разрешается снять с верха любого столбика k монет (где k – любое число от 1 до всех) и переставить их на k полей влево или вправо; если там уже стоит столбик, положить монеты на него. Передвиньте все монеты столбика на соседнее справа поле затратив как можно меньше ходов.
Программа зачета Разрезания и площади
Разрезания, теорема Пифагора и обратная к ней. Критерий острого и тупого угла.
Площади, их свойства. Формулы площадей параллелограмма, треугольника. Неравенства с площадями.
Теорема Фалеса. Свойства биссектрисы треугольника.
Формула Пика.
Перекройка площадей. Теорема Бойяи-Гервина. Равнодополняемость.
Подсчет углов в задачах на разрезание.
Геометрические неравенства
Неравенство треугольника. Соотношения между углами и сторонами. Периметры выпуклых многоугольников.
ГМТ и построения
Основные ГМТ.
Построения циркулем и линейкой (4 ступени). Метод ослабления условий.
Комбинаторика
Правило умножения. Формулы для размещений и сочетаний. Метод шаров и перегородок. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов (алгебраические и комбинаторные доказательства). Малая теорема Ферма. Формула включения-исключения. Задача о счастливых билетах: два решения. Число путей хромой ладьи, соединяющих два противоположных угла прямоугольной доски.
Общие методы
Индукция. Принцип узких мест.
Графы
Лемма о рукопожатиях. Связность.
Ребра, циклы, мосты, деревья, компоненты связности. Теорема о числе ребер связного графа.
Двудольные графы. Максимальное число ребер в двудольном графе, критерий двудольного графа.
Эйлеровы пути и циклы. Задача о пересечении путей короля и ладьи.
Делимость
Делимость и остатки. Сравнения по модулю. Действия с остатками. Правило сокращения. Решение уравнений вида  .
Разложение на простые множители. НОД и НОК, их связь, алгоритм Евклида. Линейное представление НОД двух чисел.
Китайская теорема об остатках (два доказательства). Функция Эйлера и ее свойства (алгебраическое и комбинаторное доказательство).
Игры
Анализ с конца. Игры на графах. Стратегия. Передача хода.
www.ashap.info/Uroki/KirovLMSH/2000/
Достарыңызбен бөлісу: |
