Самостоятельная работа – 2

Самостоятельная работа – 2

1. 
   Внутри выпуклого четырехугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
   
2. 
   На окружности отмечены 7 красных и 5 синих точек. Каких треугольников с вершинами в этих точках больше: одноцветных или разноцветных? На сколько?
   
3. 
   В классе каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка – с четырьмя мальчиками. Докажите, что число школьников в классе делится на 7.
   
4. 
   Какой остаток при делении на 23 даст число 100^100!?
   
5. 
   Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Сумма площадей треугольников ABO и CDO равна половине площади четырехугольника. Докажите, что O является серединой одной из диагоналей.
   

Формула Пика

Теорема (Формула Пика). Вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) расположены в узлах клетчатой бумаги с клетками размера 11. Внутри его лежит n узлов, а на границе m узлов. Тогда площадь этого многоугольника равна .

Упр1. Убедитесь в справедливости формулы Пика для многоугольников, изображенных на рисунке 1.

Зад2. Докажите формулу Пика, разбив доказательство на ряд шагов:

2.1. Проверьте формулу Пика для прямоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки.

2.2. Докажите формулу Пика для многоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки.

2.3. Докажите формулу Пика для прямоугольного треугольника с катетами, идущими по линиям сетки

2.4. Докажите формулу Пика для многоугольника, составленного из двух многоугольников, для которых формула Пика уже доказана.

2.5. Пусть многоугольник, для которого формула Пика уже проверена, составлен из двух многоугольников. Докажите, что если формула Пика выполняется для одного из них, то она выполняется и для другого.

2.6. Докажите формулу Пика для произвольного треугольника с вершинами в узлах сетки (см намек на рис. 2).

2.7. Докажите, что всякий выпуклый многоугольник можно разбить диагоналями на треугольники.

Теорема 2.8. Докажите, что любой (не обязательно выпуклый) многоугольник можно разбить диагоналями на треугольники.

2.9. Докажите формулу Пика для произвольного многоугольника с вершинами в узлах сетки.

Упр3. Нарисуйте треугольник площади ½ , у которого все стороны больше 5, а вершины лежат в узлах сетки.

Упр4. Замкнутая несамопересекающаяся ломаная идет по линиям сетки и проходит по одному разу через все узлы клетчатого квадрата 77. Найдите площадь фигуры, ограниченной этой ломаной.

Зад5. а) Точку M внутри треугольника соединили с его вершинами, в результате треугольник разбился на три равновеликие части. Докажите, что M – точка пересечения медиан треугольника. б) Вершины треугольника расположены в узлах клетчатой бумаги, причем на его сторонах других узлов нет, а внутри есть ровно один узел О. Докажите, что О – точка пересечения медиан треугольника.

Зад6. Пусть А и В – два узла клетчатой бумаги, из которых второй на p клеток правее и на q клеток выше первого. Чему равно расстояние от прямой АВ до ближайшего к ней узла, не лежащего на этой прямой?

Зад7. Докажите, что найдется прямая, проходящая через два узла клетчатой бумаги, и не лежащий на этой прямой узел, такой, что расстояние между ними меньше .

Зад8. Докажите, что для любого многоугольника с вершинами в узлах сетки отношение его площади к квадрату любой стороны рационально.

Зад9. Шахматный король обошел доску 88 клеток, побывав на каждом поле ровно 1 раз и последним ходом вернувшись на исходное поле. Ломаная, последовательно соединяющая центры полей, не имеет самопересечений. а) Нарисуйте такую ломаную; б) найдите площадь, ограниченную этой ломаной.

Задачи по формуле Пика для самостоятельного решения

Зад10. Найдется ли правильный треугольник с вершинами в узлах сетки?

Зад11. Найдется ли прямоугольный треугольник с целыми сторонами и вершинами в узлах сетки а) на сторонах которого нет узлов сетки кроме вершин; б) ни одна из сторон которого не проходит по линиям сетки?

Зад12. Докажите, что если вершины выпуклого n-угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а внутри и на его сторонах других узлов нет, то n<5.

Зад13. На большой шахматной доске отметили 2n клеток так, что ладья может ходить по всем отмеченным клеткам, не перепрыгивая через неотмеченные. Докажите, что фигуру из отмеченных клеток можно разрезать на n прямоугольников.

Зад14* Ладья, шагая по одной клетке, за 64 хода обошла все клетки шахматной доски и вернулась на исходную клетку. Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.

Теорема Бойяи–Гервина

Определение. Два многоугольника равносоставлены, если один из них можно перекроить в другой (то есть разрезать на части, переложив которые, можно получить другой).

Ясно, что любые два равносоставленных многоугольника равновелики.

Теорема 1 (Бойяи-Гервина) Всякие два равновеликих многоугольника равносоставлены.

1.1. Если многоугольники P и Q равносоставлены и многоугольники Q и R равносоставлены, то многоугольники P и R – тоже равносоставлены.

1.2. Всякий треугольник можно перекроить а) в параллелограмм; б) в прямоугольник.

1.3. Пусть два равновеликих параллелограмма с равными основаниями ABCD и ABEF расположены так, что точки C, E, D, F лежат на одной прямой именно в указанном порядке. Тогда эти параллелограммы равносоставлены.

1.4. Два равновеликих параллелограмма с равными основаниями равносоставлены.

1.5. Если a больше какой-нибудь стороны прямоугольника, то прямоугольник можно перекроить в параллелограмм со стороной a.

1.6. Если a больше какой-нибудь стороны прямоугольника, то прямоугольник можно перекроить в прямоугольник со стороной a.

1.7. Любые два прямоугольника равносоставлены.

1.8. Любой треугольник можно перекроить в прямоугольник со стороной 1.

1.9. Фигуру, разбиваемую на треугольники, можно перекроить в прямоугольник со стороной 1.

1.10. Любые два равновеликих многоугольника равносоставлены.

Определение. Фигуры называются равнодополняемыми, если их можно получить, отрезая от равных фигур одну или несколько равных частей.

Упр2. Докажите, что равнодополняемые фигуры равновелики.

Упр3. Докажите, что параллелограмм равнодополняем некоторому прямоугольнику.

Теорема 4. Равновеликие многоугольники равнодополняемы.

Зад5. Придумайте какой-нибудь способ перекроить прямоугольник 31 в квадрат.

Зад6. Перекроите прямоугольник 34 в квадрат, разрезав его всего на 3 части!

Зад7. Перекроите прямоугольник 31 в квадрат, разрезав его не более чем на 6 частей.

жүктеу/скачать 471 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: