7 класс Группа "профи"("Ш")
Геометрические неравенства – 2
жүктеу/скачать 471 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Выпрямление
- Уменьшение суммарной длины
- Разные задачи
- Для самостоятельного решения
- Теория чисел. Основная теорема арифметики. НОД и НОК.
- Алгоритм Евклида
Геометрические неравенства – 2Упр1. Среди всех треугольников с данными сторонами AB и AC найдите тот, у которого наибольшая площадь. Упр2. Из какой точки треугольника ABC сторона AB видна под наименьшим углом? ВыпрямлениеЗ  ад3. На биссектрисе внешнего угла C треугольника ABC взята точка M, отличная от C. Докажите, что MA+MB>CA+CB.
Зад4. а) Петя хочет пройти к киоску на другой стороне улицы. Мостовую (полосу с параллельными краями) он должен пересечь под прямым углом. Постройте для него кратчайший путь. б) То же для перекрестка (см. рисунок). Зад5. Внутри угла лежат две точки A и D. Соедините их ломаной ABCD наименьшей длины с точками B и C на разных сторонах угла. Уменьшение суммарной длиныУпр6. Докажите, что если отрезки AB и CD пересекаются, то AC+BD<AB+CD. Зад7. Дана замкнутая ломаная, причем любая другая замкнутая ломаная с теми же вершинами имеет бóльшую длину. Докажите, что эта ломаная несамопересекающаяся. Зад8. На плоскости дано n красных и n синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести n отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек. Разные задачиЗад9. Докажите, что в треугольнике а) та из двух высот меньше, которая проведена к большей стороне; б) то же для медиан. Зад10. Докажите, что любой отрезок внутри треугольника не превосходит его наибольшей стороны. Зад11. В некотором лесу расстояние между любыми двумя деревьями не превосходит разности их высот. Высота любого дерева меньше 100м. Докажите, что этот лес можно огородить забором длиной 200м. Зад12. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL. Докажите, что AB>AC LB>LC. Зад13. Докажите, что в треугольнике сумма высот меньше периметра. Для самостоятельного решенияЗад14. Внутри выпуклого четырехугольника с суммой диагоналей d расположен выпуклый четырехугольник с суммой диагоналей d'. а) Может ли оказаться d'>d ? б) Докажите, что d'<2d. Зад15. Докажите, что любой многоугольник периметра 1 можно поместить в круг радиуса ¼. Зад16. а) На плоскости отмечены 10 точек. Докажите, что на данной окружности радиуса 1 найдется точка, сумма расстояний от которой до отмеченных не меньше 10. б) На столе лежит 50 правильно идущих часов. Докажите, что в некоторый момент сумма расстояний от центра стола до концов минутных стрелок окажется больше сумм расстояний от центра стола до центров часов. Теория чисел. Основная теорема арифметики. НОД и НОК.Лемма 1. У составного числа a найдется такой простой делитель p, что p2a. Упр2. Как проверить, что числа 1997 и 1999 – простые? Упр3. Найдите НОД(99!+100!, 101!). Теорема 4. Простых чисел бесконечно много. Основные факты, следующие из единственности разложения на простые множители: 1. Если ab делится на простое число p, то одно из чисел a и b делится на p. 2. Если a делится на b и a делится на c, причем НОД(b,c)=1, то a делится на bc. 3. Если ab делится на c и НОД(a,c) =1, то b делится на c. Зад5. а) Найдутся ли 3 натуральных числа таких, что ни одно из них не делится на другое, а произведение любых двух из них делится на третье? б) Тот же вопрос про 10 чисел? Зад6. Докажите, что НОД (a,b)·НОК(a,b)=ab. Зад7. Каким может при натуральных n быть НОД чисел а) 2n-17 и n-8 ; б) 13n+8 и 8n+5? Алгоритм ЕвклидаЛемма 8. Если a=bq+r, то НОД (a,b) = НОД (b,r). Упр9. Найдите а) НОД(1998, 8991); б) НОД(7387, 82861). Зад10. Найдите а) НОД  ; б) НОД(2100-1, 2120-1); в) НОД(2m-1, 2n-1).
Зад11. На прямой сидит блоха, и прыгает всякий раз либо на 15 сантиметров вправо, либо на 21 сантиметр влево. В каких точках прямой может побывать эта блоха? Зад12. В банке 500 долларов. Разрешаются две операции: взять из банка 300 долларов или положить в него 198 долларов. Эти операции можно проводить много раз, при этом, однако, никаких денег, кроме тех, что первоначально лежат в банке, нет. Какую максимальную сумму можно извлечь из банка и как это сделать? Для самостоятельного решенияЗад13. Докажите, что  .
Зад14. При каких n можно найти n натуральных чисел, чья сумма равна их НОК? Зад15. Докажите, что в вершинах любого многогранника можно расставить натуральные числа так, чтобы числа в вершинах связанных ребром имели общий делитель больше 1, а не связанные ребром не имели. Зад16. Докажите основную теорему арифметики (ОТА): 16-1. Если r – остаток от деления a на b, то НОД(a,b) = НОД(b,r). 16-2. Если d = НОД(a,b), то найдутся такие целые m и n, что d=ma+nb. 16-3. Если a не делится на простое число p, то найдутся целые m и n, что 1=ma+np. 16-4. Если  , где p – простое, то  либо  .
16-5.(ОТА) Разложение натурального числа в произведение простых сомножителей единственно с точностью до порядка сомножителей. Зад17. Числа a, b, c – целые. Докажите, что уравнение ax+by=c имеет решение в целых числах  .
жүктеу/скачать 471 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|