7 классический метод расчёта пп
ПП в цепях с одним накопителем
жүктеу/скачать 0.66 Mb.
|
| 7.1.2. ПП в цепях с одним накопителем
ЗАДАЧА 7.1. В схеме рис. 7.1 рассчитать напряжение на конденсаторе и токи переходного процесса. Параметры цепи: U = 100 В, r1 = 60 Ом, r2 = 40 Ом, С = 10 мкФ. Построить график напряже-ния на конденсаторе. Решение В послекоммутационном режиме цепь описывается следующей системой уравнений по законам Кирхгофа относительно мгновенных значений токов и напряжения на конденсаторе: i1 – i2 – iC = 0, i1r1 + uC = U, i2r2 – uC = 0. Дополнительное уравнение – уравнение связи между током и напряже- нием конденсатора: iC = С . Систему уравнений решаем способом подстановки – все токи выража-ем через напряжение на конденсаторе и подставляем в первое уравнение сис-темы. В результате система уравнений сводится к одному линейному неодно-родному дифференциальному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами. В скобках отметим, что порядок уравнения определяется количеством накопителей энергии в цепи. В данном случае есть только один накопитель – конденсатор, поэтому и уравнение оказалось первого порядка. i1 = ; i2 = ; iC = С ; – – С = 0. + uC = . Решение уравнения uС(t) находится в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения. Отметим, что в курсе ТОЭ они называются, соответственно, принуждённой (или установившейся) и свободной составляющими: uС(t) = uCпр(t) + uCсв(t). Такой метод расчёта переходных процессов называется классическим. Вид принуждённой составляющей определяется видом правой части уравнения, то есть характером источника. В данном случае, поскольку источник постоянный, принуждённая составляющая напряжения на конденсаторе также будет постоянной, а = 0: uCпр = = U = 100 = 40 В. Вид свободной составляющей зависит от числа и вида корней характеристического уравнения. Поэтому составим и решим характеристическое уравнение. При составлении его по имеющемуся дифференциальному уравнению производная от uC заменяется на р, сама величина uC – на 1, правая часть принимается равной нулю: р + = 0. Решение уравнения: р = - = - = -4167 с –1. При одном, обязательно отрицательном, корне характеристического уравнения свободная составляющая имеет вид: uCсв(t) = Ае рt. Постоянную интегрирования А находим, используя начальные условия. Напряжение на конденсаторе до коммутации: uC(0-) = U = 100 В. Согласно второму закону коммутации, uC(0+) = uC(0-) = 100 В. Таким образом, постоянная интегрирова-ния А = uCсв(0) = uC(0) – uCпр(0) = 100 – 40 = 60 В. Окончательно получаем: uC(t) = 40 + 60е -4167t В. Токи в ветвях: i1(t) = = = 1 – 1е -4167t А, i2(t) = = = 1 + 1,5е -4167t А, iC(t) = i1(t) – i2(t) = -2,5е -4167t А. Для построения графика uC(t) дополнительно вычислим: постоянная времени цепи = 1/|p| = 1/4167 c = 0,24 мс, п рактическая длительность переходного процесса Тпп = (35) = 4 = 0,96 мс. График uC(t) строим по составляющим: отдельно показываем принуждённую и свободную составляющие, а затем их графически суммируем. График представлен на рис. 7.2. Задача 7.2. Рассчитать ток катушки и напряжение на индуктивности (рис. 7.3), если u = 200 В, rк = 10 Ом, L = 25 мГн. Построить графики i(t) и uL(t). Комментарии и ответы. 1. Независимое начальное условие: i(0+) = i(0-) = 0. 2. Расчёт принуждённого режима по схеме рис. 7.4: iпр = 20 А; uLпр = 0. 3. Характеристическое уравнение и его корень: rк + рL = 0, р = -400 с –1. 4. Свободные составляющие: iсв = Аеpt; uLсв = Bеpt. 5. Начальные условия: iсв(0+) = i(0+) – iпр = -20 А; uLсв(0+) = uL(0+) = u – rкi(0+) = 200 B. 6 . Постоянные интегрирования А = iсв(0+) = -20; B = uLсв(0+) = 200. 7. Полные величины: i(t) = 20 – 20е -400t А; uL(t) = 200е -400t B. 8. Постоянная времени цепи и практическая длительность ПП = = = 2,5·10 -3 с; ТПП = 4· = 0,01 с. Графики i(t), uL(t) на рис. 7.5. жүктеу/скачать 0.66 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|