Шредингер теңдеуі. Импульс моментінің квантталуы

 _{ } ²

 
 

^i t 2m
U x, y, z,t
, (3.6)

мұндағы i  - жорамал бірлік;
m - бөлшек массасы;
 - Лаплас операторы;
U - микробөлшектің потенциалдық энергиясы.
Бұл теңдеуді қандай да бір классикалық физиканың заңдарынан қорытылып шығарылмайды. Классикалық физикада Ньютонның екінші заңы қандай рөл атқарса, релятивистік емес кванттың механикада Шредингер теңдеуі дәл сондай рөл атқарады.
Кванттық механикада микробөлшек стационар күш өрісінде орналасқан және оның потенциалдық энергиясы уақытқа тәуелді емес болатын, стационар есептер көптеп кездеседі. Бұл жағдайда Шредингердің стационар теңдеуі қолданылады


  ^2m W  U   0 . (3.7)
_ 2

Бұл теңдеудегі W параметрінің мағынасы бөлшектің толық энергиясы,

ал бұл теңдеудің ^x, y, z^ шешімі кеңістіктік координатар функциясы болып
табылады. Шредингер теңдеуі дербес туындылы теңдеу және оның шешімі үшін бастапқы және шекаралық шарттар берілуі қажет.
Берілген U ^x, y, z^ жағдайда, (3.7) теңдеуін қанағаттандыратын ^x, y, z^
функциясы меншікті функция, ал теңдеудің шешімінен шығатын W энергия мәндері меншікті мәндер деп аталады.
Кванттық механикада (3.6) Шредингер теңдеуін бас кванттық n,
орбиталдық l, және магниттік ^m_l деп аталатын үш кванттық санмен

анықталатын
^_{n,l ,m} ^{(r,, )} меншікті функциялары қанағаттандырады.

n бас кванттық сан атомдағы электронның энергетикалық деңгейлерін анықтайды және бірден бастап кез келген бүтін санды қабылдайды: n = 1,2,3,
Шредингер теңдеуінен электронның импульс моменті (механикалық орбиталды момент) квантталатыны шығады, яғни төмендегі формуламеен анықталатын дискретті мәндерді ғана қабылдайды:

L_l  
l(l 1),
(3.8)

мұндағы l – орбиталдық кванттық сан, берілген n мәнінде мына мәндерді қабылдайды: l = 0,1, …, (n – 1), яғни барлығы n мән атомдағы электронның импульс моментін анықтайды.

векторы
L_l кеңістікте оның сыртқы магнит өрісі z бағытына проекциясы
^Ll z

^ -қа еселі кванттық мәндерді қабылдайтыны шығады:


^Ll z ^{ m}l ^{, (3.9)}

мұндағы ^m_l - магниттік кванттық сан, берілген l мәнінде келесі

мәндерді қабылдайды:
m_l  0,
1,
 2, ..., l,
яғни барлығы 2l + 1 мән.

Сонымен, магниттік кванттық сан ^m_l электронның импульс моментінің
берілген бағыттағы проекциясын анықтайды, атомдағы электронның импульс моменті векторы кеңістікте 2l + 1 бағытқа ие болады. Берілген n –ге сәйкес әртүрлі күйлердің саны

тең.
n1


(2l
l0
 1)  n²

(3.10)

n, l, және ^ml кванттық сандары Бор теориясымен алынған сутегі
атомының шығару (жұтылу) спектрін толық сипаттауға мүмкіндік береді.
Спектрлік сызықтардың жіңішке құрылымын, сондай-ақ атомдық физикадағы басқа да қиыншылықтарды түсіндіру үшін американдық физиктер Д. Уленбек и С. Гаудсмит электрон электронның кеңістікте қозғалысымен байланыссыз меншікті жоғалмайтын механикалық импульс моменті – спинге ие болады деп болжады.
Электрон спині (барлық микробөлшектер үшін) – кванттық шама, оның классикалық ұқсастығы жоқ, ол заряд пен масса сияқты электронның ажырамас ішкі қасиеті.
Егер электронның меншікті механикалық импульс моменті (спин) ^L_s
болса, онда оған ^p_ms. меншікті магниттік момент сәйкес келеді. Спин мына заң

бойынша квантталады:


L_s   ,
(3.11)

мұндағы s – спиндік кванттық сан.
Орбиталдық импульс моментіне ұқсас, спиннің


^Lsz

проекциясы ^L_s

векторы 2s+1 бағыт қабылдайтындай болып квантталады. Себебі Штерн және Герлах тәжірибелерінде екі бағыт байқалған, онда 2s + 1 = 2, бұдан S=1/2. Спиннің сыртқы магнит өрісі бағытына проекциясы (3.9)-ға ұқсас өрнекпен анықталатын кванттық шама болып табылады:


^L_sz ^m_s , (3.12)

атомда
n, l, m_l , m_s
төрт кванттық саны бірдей бір электроннан артық электрон

болуы мүмкін емес,


Z (n, l, m_l , m_s )  0 немесе 1, (3.13)

мұндағы
Z (n, l, m_l , m_s )
- төрт кванттық санмен сипатталатын кванттық

күйде орналасқан электрондар саны.
Сонымен, Паули принципі бір атомда байланысқан екі электрон ең болмағанда бір кванттық санмен ғана бір-бірінен ажыратылатынын көрсетеді. Берілген кванттық санмен анықталатын күйлерде орналасқан электрондардың максимал саны


n1
Z (n)  2(2l  1)  2n² _{. (3.14)}
l 0

жүктеу/скачать 426.27 Kb.

Достарыңызбен бөлісу: