8 сынып i-тур



бет3/3
Дата01.03.2024
өлшемі70.67 Kb.
#493525
1   2   3
олимпиада материалы

Жауабы: соңында қалған сан 100 саны

Шешуі: аb=а+b+а∙b деген жаңа амал енгіземіз. Сонда тікелей тексерудің арқасында (аb)∘с=a∘(b∘c) және а∘b=b а екеніне көз жеткіземіз. Бұл деген сөз санды қалай таңдадыңыз, қай жерде және қашан таңдадыңыз, нәтиже оған байланысты емес екен. Сондықтан біз амалды басынан бастап жүргіземіз. 1+ 12 + 12=2, 2+ 13 + 23=3,…, 99+ 1100 + 99100=100 Сонда ең соңғы шыққан сан 100 болды.


Жауабы: соңында қалған сан 100 саны

11 сынып І-тур



  1. Аралда 7 көк , 9 жасыл және 11 қызыл құбылғылар тұрады. Әртүрлі түстегі екі құбылғы кездескенде екеуі де үшінші түске өзгереді. Қандайда бір уақыттан кейін барлық құбылғылар бір түске боялуы мүмкін бе?

Шешуі: 8.І.3 қараңыз.

2. Келесі шартты қанағаттандыратын натурал сандардың барлық (m,n) жұбын табу керек: алғашқы m тақ натурал сандардың қосындысы алғашқы n жұп натурал сандардың қосындысынан 212-ге көп.


Шешуі:10.І.2 қараңыз.

3. [u]– u санының бүтін бөлігі, яғни u-дан аспайтын ең үлкен бүтін сан. Нақты сандар жиынында келесі теңдеуді шешіңіздер:


[x+16]+[x+36]+[x+56]=[x]+[x+26]+[x+46]

Шешуі: x=[x]+{x} болсын, мұндағы {x}- x санының бөлшек бөлігі. 0≤{x}<16 болса, онда 3[x]=3[x], яғни теңдік кез-келген x үшін орындалады. 16≤{x}<26 болса, онда 3[x]+1=3[x] болады. Мұндай х-тер табылмайды. 26≤{x}<36 болса,


онда 3[x]+1=3[x]+1 , яғни теңдеу кез-келген х үшін орындалады. 36≤{x}<46 болса, онда 3[x]+2=3[x]+1. Мұндай х-тер табылмайды. 46≤{x}<56 болса, онда
3[x]+2=3[x]+2 болады, мұнда ∀ x үшін теңдеу орындалады. 56≤x<1 болса, онда 3[x]+3=3[x]+2 мұндай х-тер табылмайды. Жауабы: {x}∈[0,16)∪[26,36)∪[46,56) болғанда теңдеудің шексіз көп шешімі бар. Ал {x}∈[16,26)∪[36,46)∪[56,1) болғанда теңдеудің шешімі жоқ.

11 сынып ІІ-тур



  1. Қос-қостан әртүрлі және (a-b)5+(b-c)5+(c-a)5=0 болатын нақты сандар бар ма?

Шешуі:
(a-b)5+(b-c)5+(c-a)5=0 болсын


(a-b)5+(b-c)5+(c-a)5=
=(a-b+b-c)((a-b)4-(a-b)3(b-c)+(a-b)2(b-c)2-(a-b)(b-c)3+(b-c)4)+
+(c-a)5=(c-a)((c-a)4-(a-b)4-(b-c)4+(a-b)3(b-c)+(a-b)(b-c)3-
-(a-b)2(b-c)2)
a, b, c нақты сандары қос-қостан тең емес болғандықтан с-a≠0
Сонда (c-a)4-(a-b)4-(b-c)4+(a-b)3(b-c)+(a-b)(b-c)3-(a-b)2(b-c)2=0
(c-a)4=((c-b)+(b-a))4=((c-b)2+(b-a)2+2(c-b)(b-a))2=
= (c-b)4+(b-a)4+4(c-b)2(b-a)2+2(c-b)2(b-a)2+4(c-b)3(b-a)+
+4(b-a)3(c-b).
Сонда
(c-b)4+(b-a)4+6(c-b)2(b-a)2+4(c-b)3(b-a)+4(b-a)3(c-b)-(a-b)4-
-(b-c)4+(a-b)3(b-c)+(a-b)(b-c)3-(a-b)2(b-c)2=5(a-b)(b-c)3+
+(b-c)(a-b)3+(b-c)2(b-a)2=
=5(a-b)(b-c)((b-c)2+(a-b)2+(a-b)(b-c))=0
a-b≠0, b-c≠0, болғандықтан
(b-c)2+(a-b)2+(a-b)(b-c)=0
b2+c2-2bc+a2+b2-2ab+ab-b2-ac+bc=
=a2+b2+c2-bc-ab-ac=12((a-b)2+(b-c)2+(c-a)2)=0
(a-b)2>0, (b-c)2>0, (c-a)2>0 болғандықтан
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2>0
Демек (a-b)5+(b-c)5+(c-a)5≠0.
Жауабы: a, b, c нақты сандары табылмайды.

2. АВС теңқабырғалы үшбұрыштың АС және АВ қабырғаларынан MCMA=NANB=2 болатындай, сәйкесінше M және N нүктелері берілген. P нүктесі ВM жәнеСN кесінділерінің қиылысы болсын. Сонда ∠ APC = 90 ̊екенін дәлелдеңіз.


Шешуі: 10.ІІ.2 қараңыз


3. Тақтада 1;12 ;13 ;…;1100 жүз сандары жазылған. Әрбір минутта келесі амал орындалады: қандай да бір а,b  сандары өшіріліп, олардың орнына а+в+а∙b саны жазылады. Бірнеше уақыттан кейін тақтада тек қана бір сан қалады. Бұл сан қандай сан?


Шешуі: 10.ІІ.3 қараңыз

Достарыңызбен бөлісу:
1   2   3




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет