А. К. Ершина, А. Шақарбекқызы, Н. Байтұрсын

1. 
   Куб
   

a  b  c  50 мм,
m_к  980 г


m3a ⁴
I _K
6 / a ²
 ¹ ma ² ,

6

T  ^{I .}

n

2. 
   параллелепипед (табаны квадрат)
   

a  50 мм
B  50 мм
c  100 мм m=1962г

   ^m  ² 

_{2  } ma ²

I _n I _zz cos ₁₂ a a ₆
Иірілмелім маятниктің көмегімен денелердің инерция моментін анықтау.

3. 
   параллелепипед (табаны төртбұрыш)
   

a  40 мм b  60 мм c  100 мм m  1884  0.1г.

4. 
   Бос рама
   

I _n 


¹ ma ²  b ² 

N	tc	 t  c	 Tk 	I n
1	23,5
2	23,6
3	23,4
4	23,5
5	23,4

12

I _P 
ma ²  Tp ²

2T ²n  T ² p  2T ^{2 .}

K
K-дене тұрған рама ілінген сымның бұрылу модулі.
2 ²ma ²

k
^{k } T ²n  T ² p  2T ²

5. 
   Иірілмелі маятниктің көмегімен дененің I инерция моментін анықтауға болады
   

p
ma ²  T ²  T ²

k
^{I } 2Tn ²  T ² p  2T ^{2 .}
№6 ЗЕРТХАНАЛЫҚ ЖҰМЫС
АЙНАЛМА МАЯТНИКТІҢ КӨМЕГІМЕН ДЕНЕЛЕРДІҢ ИНЕРЦИЯ МОМЕНТІН АНЫҚТАУ

1. 
   Жұмыстың мақсаты: Денелердің инерция моментін әртүрлі оське қатысты анықтаудың эксперименттік тәсілін меңгеру. Инерция тензоры, теориялық есептеуге қолданылатын инерция элипсоиды тәрізді ұғымдармен танысу.
   
2. 
   Қысқаша теориялық кіріспе
   
   1. 
      Инерция моменті. Қандай-да бір өське қатысты материалдық нүктенің инерция моменті деп, оның массасының сол өське дейінгі қашықтығының квадратына көбейтіндісін айтады:
      

I  mR ² . (6.1)
Қандай-да бір өске қатысты механикалық системаның инерция моменті сол өске қатысты системаны құрайтын

I  _ R ²dm  _ R ² dV
m  v 
(6.3)

Бұл жерде  - қатты дененің тығыздығы. Интегралды қатты дененің бүкіл массасы немесе бүкіл көлемі бойынша алу керек.
(6.3) Формуладан көрініп тұрғандай, механикалық
системаның инерция моментін таңдап алынған оське қатысты массаның таралуына тәуелді. Инерция моментінің физикалық мағанасы мынадай. Ол айналма қозғалыстағы дененің интерттілік қасиетін сипаттайды, яғни дененің бұрыштық үдеуі инерция моментіне тәуелді болады. Сонымен, ілгерілмелі қозғалыс кезінде масса қандай роль атқарса, айналма қозғалыс кезінде инерция моменті сондай роль атқарады.
(6.3) типтегі интегралдарды аналитикалық жолмен шешу тек геометриялық формасы дұрыс қарапайым денелер үшін ғана мүмкін. Геометриялық формасы дұрыс емес денелер үшін мұндай интегралдар сандық тәсілдер бойынша табылады.Ұқсастық және симметрия түсініктерін, Гюйгенс- Штейнер теоремасын, инерция тензоры ұғымын және т.б. қолдансақ, инерция моментін есептеу көп жағдайда жеңілденер еді.

2. 
   Инерция тензоры. Инерция тензоры ұғымын төменгі мысал бойынша түсіндіруге болады. Қандай-да бір АА осіне қарасты қатты дененің I инерция моментін есептейік (6.1- сурет).
   

Біріншіден, АА осін координаталар басынан өтеді деп
есептейік. dm массасы элементінің r радиус-векторын АА осі бойымен бағытталған құраушыға және соған перпендикуляр құраушыға жіктейік:

r  d  R .

 
(6.3) анықтамасынан инерция моментін аламыз:
I   R ²dm   r ²  d ² dm
(6.4)

S -тың АА осі бойымен бағытталған бірлік вектор екенін

ескерсек онда:
d  r.S   xS _x  yS _y   S .

Бұл жерде
S_x S _y S_z 
бірлік вектордың декарттық

1 1
координаталар бойынша компоненттері, сонымен қатар

r ²  x ²  y ²  z ²
S ²  S ²  S ²  I
осы қатынастарды, оған қоса
теңдігін есепке ала отырып, мынаны жаза

x y z


аламыз:

x
I  r ²  d ² dm   x ²  y ²  z ²  xS


 yS _y


 zS _x
² dm 

 I _xx
S ²  I
S ²  I
S ²  2I
_x S_x .S _y

• 
  2I
  

_x .S _x S _y

• 
  2I
  

yz ^S
_y S_z 

x

y

z

xx yy zz xy

yy

zz
 I cos² a  I cos²   I cos²   2I cos a cos  
 2I _x cos a cos  2I _yz cos  cos

(6.5)

Бұл жерде
a,  , 
AA осі мен декарттық
ox, oy, oz

координаталық осьтері арасындағы бұрыштары:

^I xx ^{, I} yy ^{, I} zz ^{; I} xy
 I _yx , I _xz
 I _zx , I _yz
 I _zy
-тұрақтылар, бұлар

төмендегі өрінектермен анықталады.

0
I  y ²  z ² dm,


^I xy
 I _yx

   xydm

^I yy
 x ²  z ² dm,
^I xx
 I _zx
   xzdm
(6.6)

n
I  x ²  y ² dm,



y
^I yz


 I _zy

   yzdm

Тоғыз шаманың жинақтығы
^I xx ^I xy ^I xz
I  I
xx ^I xy
^I xz ^
(6.7)

симметриялы, басқаша айтқанда
^Iij
 I _ji ij  x, y, z,

сондықтан ол өзінің алты компоненталарының берілуімен толық анықталады.
(6.5) өрнекті қарапайым және симметриялы түрде былай жазуға болады:

I  _ I  S_i  S _j i j
(6.8)

Егерде қандай-да бір координат жүйесі үшін инерция тензорының алты компоненті белгілі болса, онда O координата басы арқылы өтетін кез-келген оське қатысты дененің инерция моментін (6.5) және (6.8) формулаларының көмегімен есептеуге болады.
Мысал келтірейік. Инерция моментін анықтауға қажетті дене ретінде қабырғалары a, b, c, параллелепипед алайық, декарттық координаттар жүйесіносылай етіп аңдап алғанда оның басы параллелепипедтің массалар центрімен сәйкестенеді. Осы
системада инерция тензорының компоненттерін есептейік. (6.6)
формула бойынша мынаны аламыз:

I _xx 
_ y ²  Z ²  dm 
_ y ²  Z ² pdV  
  
y ²  Z ² dxdydz

m 


а / 2


b / 2


c / 2
v 


^{c / 2} _b3 _

P  _ dx _ dy _ dzy ²  Z ²   a _{ }

• 
  bz ² _dZ 
  

а / 2
_{ } ^b³


b / 2



с / 2
c^{3 } _  abс _

c / 2 <sup>12 


2</sup>  ²   ^m  ²  ² 


a_12 с
^b 12 ^
b c b c .


12 12

^I yy
 ^m a ²  c ² , 12
^I zz
 ^m a ²  b ² : 12

^I xy
 I _yx  I _XZ
 I _zx  I _yx  I _zy  0
(6.10)

Енді (6.5) формуланың көмегімен координата басы О арқылы өтетін кез-келген өске қатысты параллелепипедтің инерция моментін есептеп көрейік. Бұл үшін біз XYZ координаталар жүйесіне қатысты осы осьтің бағытын білуіміз
керек былай айтқанда, таңдап алған осьтің бойымен бағытталған
бірлік вектордың S  компоненттерін, немесе a,  , ,
бұрыштарының косинустарын белгілі шамалар деп есептейік. Мысалға, АА өсін параллелепипедтің диаметральді қарама- қарсы төбелері арқылы бағыттайық (6.3сурет). Сонда, төменгі қатынастарды алуға болады:

a
S_x  cos a  ,

b
S _y  cos   ,
(6.11)

C
S_  cos  .

Енді (6.5) өрінекті пайдаланып, (6.9)-(6.11) формуларының көмегімен мынаны аламыз

 ² 

²  ²  ^m  ²  ²  ^a 2 

I I _xx .S _x
^I yy ^.S y
I _zz .S _{z 12} b
^C a ²  b ²  C ²

 ^m  ²  ²  ^b 2  ^m  ²  ²  ^C 2 

12 ^{a C} a ²  b ²  C ² 12 ^{a b} a ²  b ²  C ²

 ^m a ²b ²  a ²C ²  b ²C ² 

6

I _.
a ²  b ²  C ²

(6.12)

6.3 -сурет

Осы жолмен параллелепипедтің басқа-да осьтерге қатысты инерция моменттерін есептеуге болады.

Табаны квадрат параллелепипед пен куб жоғарыда қарастырылған параллелепипедің белгілі бір қарапайым түрлері болып табылады. Осы денелердің инерция моментін есептеу

үшін
a  b және
a  b  c
шарттарын пайдаланып, жоғарыда

келтірілген формулаларды қолданамыз.

3. 
   Инерция эллипсоиды. (6.8) формуланың көрнекті геометриялық түсініктемесі бар. Координаталар басына ара
   

қашықтығы
r  1
, инерция моменті I - дің теңдігімен

анықталатын нүктелер жиынтығы болып табылатын беттің теңдеуін тауып көрейік. Бұл жерде I -координата басын беттің таңдап алынған нүктесімен қосатын оське қатысты қатты дененің инерция моменті, беттің әрбір нүктесінің радиус-

векторы r  S
өрнегімен анықталады, және ол, (6.8) теңдеудің

көмегімен, бастапқы беттің теңдеуіне алып келеді:
_ I_ij .r_i .r_I  I
i I

немесе

xx yy zz xx xz yZ
I x ²  I y ²  I Z ²  2I .xy  2I .xz  2I yz  I

(6.13)

Осы екінші дәрежелі бет эллипсоид болып табылады. Ол О нүктесіне қатысты дененің инерция эллипсоиды деп аталады. Егерде О нүктесі дененің массалары центрмен дәл келсе, осыған қатысты инерция эллипсоиды центрлік деп аталады. Центрлік инерция эллипсоидының бас осьтері сол дененің центрлік бас өстері деп аталады. Координаталар осьтерін инерция эллипсоидының бас осьтері бойымен бағыттайық, инерция тензорының диагональды емес элементтері нөлге айналады да, тензор диагональды түрге келтіріледі.

3.