Аксиоматический метод
Общие понятия, связанные с аксиоматическим методом в мате
жүктеу/скачать 111 Kb.
|
| 3. Общие понятия, связанные с аксиоматическим методом в математике.
Напомним вкратце основные понятия, относящиеся к аксиоматическому методу в математике. Из логики известно, что высказывание , где —отрицание A, заведомо ложно. Далее известно, что импликация с ложной посылкой A всегда истинна. Отсюда следует, что высказывание B истинно при любом В. Значит, если из данной системы аксиом можно вывести два противоречащих друг другу высказывания A и , то из нее можно вывести и любое высказывание В. Разумеется, такая аксиоматика бессодержательна. Ее называют противоречивой. Аксиоматика Т называется непротиворечивой, если из ее аксиом нельзя вывести двух противоречивых высказываний A и . Совокупность различных утверждений, которые можно вывести из данной системы аксиом, вообще говоря, бесконечна. Поэтому невозможно доказать непротиворечивость данной системы аксиом, сделав из нее все возможные выводы и показав, что среди них нет взаимно противоречивых. Чтобы обойти эту трудность, был разработан особый метод, получивший название метода интерпретаций. Этот метод состоит в следующем. Поставим а соответствие каждому неопределяемому понятию теории некоторое множество объектов. Например, при проверке непротиворечивости аксиом инцидентности евклидовой геометрии можно поставить в соответствие понятию «точка» множество вершин тетраэдра, понятию «прямая» — множество ребер тетраэдра, а понятию «плоскость» — множество граней тетраэдра. Обычно требуют, чтобы множества, соответствующие различным понятиям, не имели общих элементов. После этого каждому отношению теории Т ставят в соответствие определенное отношение между элементами соответствующих множеств. Совокупность полученных множеств и отношений называют полем интерпретации. Всякому утверждению A теории Г можно естественным образом поставить в соответствие некоторое высказывание A* об элементах поля интерпретации. Например, утверждению «через две точки проходит одна и только одна прямая линия» при указанной выше интерпретации соответствует высказывание «через каждые две вершины тетраэдра проходит одно и только одно его ребро». Если полученное высказывание A* истинно, то говорят, что утверждение А теории Т истинно в данной интерпретации. Если же A* ложно, то А ложно в данной интерпретации. Если все аксиомы теории Т истинны в данной интерпретации, то ее называют моделью данной системы аксиом. Например, указанная выше интерпретация аксиом инцидентности является моделью этой системы аксиом. Обычно и поле интерпретации и его свойства сами являются предметом рассмотрения некоторой математической теории Т', которая, в свою очередь, может быть аксиоматической. Это позволяет доказывать с помощью метода интерпретации относительную непротиворечивость теории Т, т. е. суждение типа «если теория Т' непротиворечива, то непротиворечива и теория Т». Для этого достаточно построить модель теории Т в теории Т', т. е. так интерпретировать теорию Т в данном поле интерпретации, чтобы все аксиомы теории Т перешли при этом в истинные высказывания теории Т'. Покажем, что тогда теория Т действительно непротиворечива. Если бы это было не так, то из аксиом теории Т можно было бы вывести два противоречивых утверждения: А и . Им соответствуют высказывания А* и * теории Т', которые тоже противоречивы. Но эти высказывания можно вывести из истинных высказываний теории Т', которые соответствуют аксиомам теории Т. Значит, эти противоречивые высказывания можно вывести и из аксиом теории Т', а потому теория Т противоречива, вопреки предположению. Отсюда делаем вывод, что теория Т непротиворечива. В этом рассуждении предполагается, что логические средства, с помощью которых в теориях Т и Т' делаются заключения, подобны друг другу. Это условие практически всегда выполняется (как правило, используют классическую логику предикатов). Метод интерпретаций позволил показать, например, что аксиоматика геометрии Лобачевского непротиворечива, если непротиворечива аксиоматика геометрии Евклида, непротиворечивость же геометрии Евклида удалось свести к непротиворечивости аксиоматики действительных чисел. В свою очередь, было показано, что арифметика действительных чисел непротиворечива, если непротиворечива арифметика натуральных чисел. Тем самым вопрос о непротиворечивости большой области математики, охватывающий, во всяком случае, всю элементарную математику, был сведен к вопросу о непротиворечивости арифметики натуральных чисел (или, как мы будем в дальнейшем кратко говорить, непротиворечивости арифметики). С помощью метода интерпретации можно решать и вопросы о независимости данной системы аксиом. Напомним, что аксиома А теории Т называется независимой от остальных аксиом, если ее нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из этих аксиом. Для доказательства независимости данной аксиомы Л надо построить новую аксиоматику, заменив аксиому А ее отрицанием и сохранив остальные аксиомы. Если как данная система аксиом, так и полученная из нее указанным образом система аксиом непротиворечивы, то аксиома А не зависит от остальных аксиом. Таким путем была доказана, например, независимость аксиомы о параллельных от остальных аксиом геометрии (как евклидова геометрия, так и геометрия Лобачевского непротиворечивы). Следующим важным понятием аксиоматики является изоморфизм моделей. Для простоты предположим, что в данной аксиоматике имеется лишь одно неопределяемое понятие и лишь одно неопределяемое отношение. Пусть (X, R) и (Y, S) — две модели этой системы аксиом Т (здесь X и Y — некоторые множества, a R и S — отношения в этих множествах). Назовем эти модели изоморфными, если существует биективное отображение , такое, что x1Rx2 в том и только том случае, когда у1S у2, где . Наглядный смысл состоит в том, что две модели изоморфны, если их элементы и отношения между ними отличаются лишь названиями и свойствами, не связанными с рассматриваемыми вопросами. Система аксиом Т называется категорической, если все ее модели изоморфны друг другу. Замечательным фактом математики является то, что категоричны системы аксиом, определяющие три основных понятия: «натуральное число», «действительное число» и «трехмерное евклидово пространство». В то же время такие системы аксиом, как аксиомы группы, кольца, поля, не являются категорическими — группами являются и множество вычетов по модулю т с операцией сложения, и множество положительных действительных чисел с операцией умножения, хотя одно из этих множеств конечно, а другое бесконечно, и потому они не могут находиться в биективном соответствии. Одной из характерных черт современной математики является переход от изучения объектов, определяемых категорической системой аксиом, к изучению объектов, система аксиом для которых не категорична. Слабой стороной метода интерпретаций является то, что в вопросах непротиворечивости и независимости системы аксиом он дает результаты, носящие неизбежно лишь относительный характер. Но важным достижением этого метода стал тот факт, что с его помощью на достаточно точной основе была выявлена особая роль арифметики натуральных чисел — как такой математической теории, к вопросу о непротиворечивости которой сводится аналогичный вопрос для целого ряда других теорий. жүктеу/скачать 111 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|