Аксиоматический метод
Формальные аксиоматические теории
жүктеу/скачать 111 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- I. Язык системы S.
- II. Аксиомы системы S.
| 4. Формальные аксиоматические теории. После сведения проблем непротиворечивости геометрии и математического анализа к вопросу о непротиворечивости арифметики натуральных чисел встал вопрос о доказательстве непротиворечивости этой последней. Более фундаментальным, чем понятие натурального числа, является лишь понятие множества, и потому была сделана попытка вывести всю арифметику натуральных чисел из теории множеств. Эта попытка удалась, однако в то же время выяснилось, что в самой теории множеств существуют противоречия, что ее основные понятия не обладают той степенью ясности, как это первоначально предполагалось.
Поэтому Д. Гильберт предпринял попытку другим путем доказать непротиворечивость арифметики, а именно свести процесс доказательства математических утверждений к цепочке формальных преобразований некоторых выражений и путем анализа возникающих цепочек доказать, что они не могут привести к противоречивому равенству типа 0=1. Это направление, явившееся вершиной аксиоматического метода, получило название метода формализма в основаниях математики. Основным является здесь понятие формальной системы. Всякая формальная система строится как точно очерченный класс выражений — формул, в котором некоторым точным образом выделяется подкласс формул, называемых теоремами данной формальной системы. При этом формулы формальной системы непосредственно не несут никакого содержательного смысла и их можно строить из произвольных, вообще говоря, значков. Общая схема построения произвольной формальной системы S такова: I. Язык системы S. а) Алфавит — перечень элементарных символов системы. б) Правила образования (синтаксис) — правила, по которым из элементарных символов строятся формулы системы S; при этом последовательность элементарных символов считается формулой тогда и только тогда, когда она может быть построена с помощью правил образования. II. Аксиомы системы S. Выделяется некоторое множество формул (обычно конечное или счетное), которые называются аксиомами системы S. жүктеу/скачать 111 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|