Анализ эффектов самоорганизации

2. Описание модели стачечного движения

Наряду с агитационно-пропагандистской и организационной деятельностью левых партий и рабочих организаций, на предприятиях проводилась и определенная контрагитация со стороны властей. «Зубатовские» и другие рабочие организации, санкционированные властями, стремились удержать рабочих от радикальных форм протеста; в большинстве случаев в начальной фазе стачечной волны власти стремились достигнуть компромисса с бастующими, посылая к ним фабричных инспекторов, представителей городской или губернской власти, священников или развешивая объявления фабричной администрации, распространяя листовки губернских или столичных властей.

Отметим, что стачечное движение в дореволюционной России было в реальности стачечной борьбой, поскольку стачка считалась преступлением, за участие в ней карали в уголовном и административном порядке²⁸. Материалы первого раздела данной статьи содержат убедительные примеры борьбы стачечников и властей, представленных, в частности, полицией, войсками и казачьими подразделениями. Уровень жесткости (или даже жестокости) властей в подавлении стачек влиял на их характер, продолжительность, результаты (в частности, организаторы или «зачинщики», а также активные участники стачек подвергались арестам, заключению в тюрьму, высылке и т.д., что уменьшало численность этого наиболее активного слоя рабочих).

Моделирование стачечной динамики, таким образом, не может не учитывать второго компонента социально-классового конфликта, проявлением которого являлась стачечная борьба – мы имеем в виду власти, диапазон действий которых включал как «мирные» средства контрагитации, так и жесткую политику силовых структур, осуществлявших политику подавления стачек. Этот второй компонент не следует понимать как независимый, «внешний» фактор по отношению к стачечному движению – активность репрессивных действий властей зависела, в свою очередь, в определенной мере от масштаба и характера действий стачечников.

И еще одно предварительное замечание: мы будем рассматривать, конечно, упрощенную модель с небольшим количеством переменных. Для ее построения будут использованы лишь несколько естественных предположений о взаимосвязях исследуемых величин. Но это не значит, что мы сводим реальную картину стачечного движения к предлагаемой грубой схеме: просто наша цель – показать, что и в такой, наглядной и прозрачно устроенной модели при определенном сочетании параметров возникает неустойчивое, непредсказуемое поведение – детерминированный хаос, который мы уже наблюдали на реальных исторических данных²⁹. А отсюда вытекает, что и при переходе к более точному моделированию, более детальному описанию системы детерминированный хаос как ее структурное критическое свойство должен сохраняться.

Прежде чем перейти к построению модели и ее анализу, отметим, что знакомство с этим разделом потребует от читателя определенной математической подготовки, в основном – некоторых представлений о дифференциальных уравнениях. Впрочем, задача читателя облегчается наличием обширного графического материала, дающего качественное представление о характере моделируемой динамики, а также «мягким» подходом к изложению методики моделирования, который мы избрали. Тем же, кто испытывает трудности при чтении текста, содержащего математические формулы, можно порекомендовать перейти сразу к заключительной части статьи, где обобщаются (на содержательном уровне) результаты моделирования.

Существует целый ряд элементарных динамических моделей, которые находят широкое применение в социальных науках. Они были написаны на языке дифференциальных уравнений. Именно из них, как из «кирпичиков», будет собираться предлагаемая модель стачечного движения³⁰.

Мы начнем с обсуждения «пороговой» модели развития стачки. Представление о наличии у людей определенного порога для включения в общественное движение, вообще, характерно для моделирования процессов политической жизни³¹. Интерпретации этого порога лежат в сфере мотиваций человеческих поступков – так, в среде рабочих-текстильщиков невысокой квалификации, где было много недавних выходцев из крестьян, существовали представления о послушании и терпении, которые удерживали их от проявлений протеста, и даже постоянное наличие некоторых провоцирующих факторов (плохие условия труда, завышенные нормы выработки) не приводило к непрерывному росту стачечной активности³². Однако именно в такой среде при превышении «порога терпения» протест мог принимать черты бунта.

Чтобы описать это на языке модели, мы воспользуемся линейным дифференциальным уравнением типа тех, которые рассматриваются обычно при изучении динамики роста населения:

Динамической переменной в уравнении (1) является величина Z, показывающая стачечную активность рабочих (это может быть, например, количество бастующих рабочих)³³. Положительный коэффициент b суммарно отражает вклад всех каждодневных причин, которые подталкивают рабочего к стачке, так что в отсутствие сдерживающего фактора, скорость роста стачечной активности была бы равна b. Однако, второе слагаемое в (1) как раз показывает роль этого сдерживающего фактора: пока выполнено условие c>0, нарастание стачечной активности невозможно, поскольку решения уравнения (1) имеют вид

(здесь Z₀ – начальное условие, соответствующее стачечной активности в начальный момент времени t₀). Все решения, независимо от начального условия, с течением времени монотонно сходятся к постоянной величине (b/c) (это следует из того, что exp(–c(t–t₀))→0 при t→+∞). Поэтому стачечная активность будет стремиться к постоянному и, очевидно, малому уровню, который тем меньше, чем больше коэффициент c, характеризующий вклад «сдерживающих факторов».

Даже если появляется внезапный повод к стачке (например, грубость мастера, тяжелая производственная травма рабочего и т.п.), что приведет к значительному, но кратковременному изменению коэффициента b (на математическом языке это следует записать так: новый коэффициент b’ = b + Δb∙δ(t–t₀), где математическая дельта–функция δ(t–t₀) описывает повод как единичное кратковременное событие в момент времени t₀), то на решениях это отразится только в изменении начальных условий (новое Z₀' просто сдвинется вверх и будет равным (Z₀+Δb)), а характер изменения Z(t) и предел сходимости останется прежним. Это также говорит нам об устойчивости системы, описываемой уравнением (1). Очевидно, что в такой системе невозможны не только «взрывы» стачечной борьбы, но и неустойчивое (хаотическое) поведение.

Поэтому нам необходимо ввести в уравнение (1) параметр, ответственный за снижение порога. Мы обозначим эту переменную как Y, и будем вкладывать в нее смысл фактора «агитации» рабочих в пользу стачки. Количественная величина Y, очевидно, должна быть пропорциональна числу агитаторов (так для краткости мы будем называть людей, занимавшихся агитационно-пропагандистской и организационной деятельностью) в рабочей среде. Предположение о том, что агитация снижает порог вступления в стачечную борьбу, мы запишем в явном виде, видоизменяя коэффициент c следующим образом: c = с₀ – mY, где с₀ – значение «сдерживающих факторов» в отсутствии агитации, а величина m характеризует эффективность агитации (чем больше m, тем сильнее уменьшается c при данном значении Y).

Уравнение (1) теперь приобретает следующий вид:

dZ/dt = b – (с₀ – mY)∙Z (3)

Обращает на себя внимание новое свойство этого уравнения – коэффициент при Z может теперь принимать как положительные, так и отрицательные значения, а именно, он становится отрицательным, если Y>c₀/m, т.е. если количество агитаторов превышает определенную «пороговую» величину. В таком случае семейство решений (2) уже не описывает функции, сходящиеся к постоянному пределу. При c<0 эти решения становятся расходящимися, поскольку соответствующий экспоненциальный член с ростом t стремится к бесконечности. Таким образом, в нашей модели заключено следующее естественное предположение: когда уровень агитации в рабочей среде превышает некоторый порог, стачечная активность начинает быстро набирать силу, и становятся возможными крупномасштабные акции протеста.

С другой стороны, ясно, что после превышения порога рост стачечной активности не может продолжаться до бесконечности, как предсказывают решения (2). Необходимо учесть и обратную связь, т.е. влияние стачечного движения на количество агитаторов, так же как и собственную динамику числа агитаторов в рабочей среде. Для этого величина Y получает смысл второй динамической переменной в нашей модели и для нее должны быть записаны собственные уравнения.

2. 
   Динамика численности агитаторов в рабочей среде
   

Какие самые общие предположения могут быть сделаны о динамике переменной Y?

Прежде всего, естественно считать общей тенденцией ее популяционный рост, самовоспроизводство, описываемое сходно с известной моделью Мальтуса:

dY/dt = q Y (4)

На языке анализа конкретной исторической ситуации этому соответствует очевидное утверждение о том, что некоторая часть агитируемых рабочих сама вливается в ряды агитаторов. Такое предположение подкрепляется и известным фактором роста революционных настроений среди рабочих в начале XX века.

Если бы коэффициент роста агитации q сохранялся постоянным и большим нуля, то (вспомним рост населения в модели Мальтуса) количество агитаторов росло бы экспоненциально до бесконечности. Это, конечно, не так, что подразумевает наличие другой, противодействующей силы, которая призвана подавить рост агитации в рабочей среде и, по отношению к агитаторам, выступает в роли антагониста (конкурента). В этой роли естественно видеть «мирные» меры властей, которые направлены на уменьшение влияния агитаторов среди рабочих. Учитывая наличие такой «контрагитации», мы должны прибавить к коэффициенту q в уравнении (4) дополнительное отрицательное слагаемое:

dY/dt = (q – kX)∙Y (5)

Появившаяся здесь величина X выступает как третья динамическая переменная системы. Она показывает уровень «мирного» давления властей (контрагитации) на рабочую среду – чем больше X, тем сильнее подавляется рост агитации³⁴. Заметим, что, как и предыдущие, эта переменная характеризует состояние стачечной борьбы, а тем самым и собственно рабочей среды, поэтому может использоваться при построении модели внутренней динамики стачечного движения. Правда, в отличие от прежних, она носит более качественный характер, ее сложнее измерить, но тем не менее смысл ее количественной оценки ясен из того, что давление властей может выражаться в более или менее жесткой политике по отношению к агитаторам (скажем, их ареста, высылки, дискриминации при приеме на работу), борьбе за настроения рабочих с помощью контрагитации, прямого запугивания, когда к заводам подтягивают войска и т.д.³⁵. Заметим, что коэффициент k в уравнении (5) как раз и показывает эффективность влияния на стачечную агитацию таких мер подавления.

Собственную динамику переменной X можно также получить, исходя из пороговой модели. Ясно, что при отсутствии опасности роста агитаторов давление властей падает; с другой стороны, если число агитаторов превысит определенный порог – активность власти по их подавлению должна возрасти. Это приводит нас к уравнению:

dX/dt = (rY – p)∙X (6)

где порог агитации, после которого начинается рост давления властей, равен Y₀ = p/r.

В целом, уравнения (5) и (6), рассматриваемые как система, соответствуют стандартной двухкомпонентной модели Лотки–Вольтерра, т.е. паре «хищник – добыча»³⁶. Это не удивительно, ведь мы строили их, исходя из предположения об антогонизме, конкуренции переменных X и Y, и выразили эту конкуренцию простейшей нелинейной связью типа X∙Y. Однако, симметрия уравнений (5) и (6), а также известные свойства модели Лотки–Вольтерра, выражающиеся в замкнутости фазовых траекторий и, следовательно, строгой цикличности поведения каждой переменной, заставляют усомниться в ее дальнейшей применимости без корректировки. В нашей модели необходимо учесть уже отмеченный нами факт роста революционных настроений в рабочей среде, а также разницу в динамических свойствах переменных X и Y.

Учитывая это, мы делаем последнее существенное предположение – считаем, агитаторы в рабочей среде обладают свойством самоорганизации, т.е. более эффективны и динамичны, чем политика властей. В роли такой организующей силы может выступать политическая или партийная организация – важно при этом лишь то, что рост числа агитаторов может перейти в т.н. «режим с обострением»³⁷. На уравнении (5) это скажется добавлением нелинейного члена «самодействия», пропорционального Y² (его можно интерпретировать как вклад в рост агитации попарных связей между агитаторами):

Если теперь мы рассмотрим динамику системы уравнений (6)-(7), то увидим, что решения потеряли свою цикличность (см. рис. 1).

Обратное влияние стачек на количество агитаторов мы примем отрицательным по вполне понятной причине – в ходе массовых стачек начинаются прямые аресты, высылки и увольнения агитаторов, тем более интенсивные, чем более мощными являются стачечные выступления. Это утверждение на языке модели приведет к появлению в уравнении (7) отрицательного члена, пропорционального Y∙Z:

Коэффициент n показывает эффективность репрессий. Для лучшего понимания, четко разграничим этот фактор от роли переменной X – та оказывает влияние на темп роста численности агитаторов и проявляет себя внутри рабочей среды как «мирное» воздействие властей на рабочих, тогда как только что введенная обратная связь – уровень репрессий – это прямое «изъятие» агитаторов из рабочей среды, которое происходит только при нарастании стачечной волны с последующими вызовами войск, вооруженными конфликтами, арестами рабочих.

Теперь полная система уравнений для трех динамических переменных модели выглядит следующим образом:

dX/dt = – pX + rX∙Y (9а)

dY/dt = qY – kX∙Y + aY² – nY∙Z (9б)

dZ/dt = – с₀Z + mY∙Z + b (9в)
где Z – число бастующих рабочих, Y – число агитаторов, X – индекс активности властей в подавлении стачек.

Дальнейшее изложение мы посвятим анализу решений системы (9), в том числе выявлению в ней детерминированного хаоса. Пока же еще раз опишем ее элементарные свойства (напомним, что все коэффициенты в системе (9) принимают положительные значения).

1) «самодинамика» системы, т.е. поведение переменных в отсутствие связей между ними: а) давление властей (переменная X) исчезает в отсутствие агитаторов (первый член в уравнении (9а) со знаком «минус»); б) количество агитаторов (переменная Y) без подавления увеличивается в режиме с обострением (первый и третий члены в уравнении (9б)); в) наконец, стачечная активность (переменная Z) без агитаторов спадает к близкому к нулю постоянному уровню из-за наличия «сдерживающего» порога (первый и третий члены в (9в), ср. уравнение (1)).

2) направление нелинейных связей между переменными (их в системе (9) насчитывается четыре): а) наличие агитаторов увеличивает давление властей (второе слагаемое в (9а)); б) жесткость политики властей подавляет рост агитаторов (второе слагаемое в (9б); в) агитаторы провоцируют стачечную активность (второе слагаемое в (9в)); и, наконец, г) рост количества стачек приводит к уменьшению числа агитаторов из-за их арестов (четвертое слагаемое в (9б)).

Построенная модель стачечного движения содержит большое количество коэффициентов (всего их в приведенной системе уравнений насчитывается девять), и это затрудняет ее анализ. Однако, не все они независимо влияют на поведение решений.

Во-первых, можно выделить два коэффициента p и q, роль которых сводится к тому, что они определяют временной масштаб изменения переменных X и Y соответственно. Без ограничения общности можно считать, что p = q, и тогда перейти к «нормированному времени» t’ = t∙p (т.е. просто измерять время в интервалах, обратно пропорциональных величине p). Это позволит исключить соответствующие коэффициенты из уравнений (9а) и (9б). Во-вторых, аналогичную процедуру нормировки можно провести и с самими переменными X, Y и Z. Это приведет нас к следующей системе нормированных уравнений:

dX/dt = – X + X∙Y (10а)

dY/dt = Y – X∙Y + аY² – Y∙Z (10б)

dZ/dt = b – m∙(с – Y)∙Z (10в)

Здесь параметры a, b, m принимают новые значения по сравнению с системой (9), а именно:

Такие преобразования следуют из нормировки:

(все штрихи мы затем опускаем).

Смысл этой нормировки состоит в следующем: за единицу измерения для количества агитаторов Y выбирается тот их порог, выше которого начинает расти давление властей (ср. уравнение (6)), аналогично, для нормировки переменной X за единицу выбирается такой уровень контрагитации властей, начиная с которого прекращается линейный рост количества агитаторов. Единицей измерения для Z также служит уровень стачечной активности, при котором одни аресты (в отсутствие контрагитации) прекращают линейный рост агитаторов (благодаря этому оба нелинейных члена входят в уравнение (10б) без дополнительных коэффициентов). Отметим еще, что новый параметр c = c₀/m введен в систему (10) из соображений удобства последующего анализа –оказывается, что для свойств устойчивости модели важны не столько абсолютные значения c₀ и m, сколько их соотношение между собой.

Описанная формулами (12) нормировка исходной системы уравнений не является единственно возможной, однако и она, и любая другая приводит к одному и тому же качественному портрету поведения решений в зависимости от управляющих параметров. В роли управляющих параметров выступают коэффициенты системы (10): a, b, c и m. Удобство данной нормировки состоит в том, что в широком диапазоне значений управляющих параметров значения динамических переменных модели будут располагаться вблизи единицы. Это облегчает анализ решений. Повторим, что в дальнейшем нас будет интересовать только качественное поведение модели в нормированных переменных, а если возникнет необходимость количественных оценок, то нужно будет сделать обратный переход к исходным переменным и коэффициентам согласно соотношениям (11) и (12).

Исследование решений системы (10) вычислительными методами проводилось нами с помощью программы ODE³⁸, которая позволяет получать графические представления решений системы дифференциальных уравнений, варьируя коэффициенты и начальные условия. Интересно, что практически во всем интервале, в котором задавались управляющие параметры, было обнаружено, что модель обладает аттрактором, к которому сходятся решения системы независимо от начальных условий. Этот аттрактор принадлежал к одному из трех типов: устойчивая точка (фокус), предельный цикл или странный аттрактор. Рассмотрим подробнее каждый из режимов поведения системы вместе с возможной его интерпретацией.

1) Устойчивая точка. Данный режим означает, что каждое из решений системы (10) – X(t), Y(t), Z(t) – с течением времени сходится к постоянной величине, а соответствующая фазовая траектория – к определенной точке в фазовом пространстве (см. рис.2а).

Для интерпретации такого процесса также очень подходит слово «равновесие». Можно сказать, что он описывает баланс между уровнем агитации и противодействием властей при малом (как следует из оценок при конкретных значениях параметров) уровне стачечной активности. Устойчивость этого равновесия гарантирует отсутствие в системе «революционных взрывов».

2) Предельный цикл. В данной модели это один из самых распространенных режимов, который в свою очередь можно классифицировать в зависимости от соотношения отдельных параметров.





Рис.3. а – Предельный цикл типа А в фазовом пространстве (X, Y, Z) (параметры системы a=0,2, b=0,6, c=1,6, m=30). На рисунке видно, как траектория из начальной точки, сделав «всплеск», постепенно стремится к предельной траектории.

б – зависимость стачечной активности Z от времени для той же траектории. Если первые несколько пиков решения имеют разные высоты, то затем они сравниваются, и зависимость становится периодической, что соответствует выходу на аттрактор – предельный цикл.
Тип А – предельный цикл, фазовая траектория которого в основном проходит в плоскости, параллельной координатной плоскости (X, Y) (см. рис.3а). Это означает, что значения переменных X и Y испытывают колебания относительно некоторого постоянного уровня, а переменная Z – периодические всплески (см. рис. 3б; на рис. 3а эти всплески можно увидеть таким образом, что один из краев фазовой траектории «поднят», по сравнению с остальной ее частью). Устойчивость предельного цикла как аттрактора проявляется в том, что из любой начальной точки фазового пространства траектория достаточно быстро «переходит» на этот предельный цикл и все дальнейшее движение происходит уже на нем. Можно сказать, что независимо от «прошлого» системы (ее начальных условий) «будущее» всех траекторий одинаково и описывается одним и тем же циклическим процессом.

Содержательная интерпретация этого цикла согласно нашей модели состоит в том, что антагонистическое взаимодействие стачечников и властей происходит (при тех параметрах, когда возникает этот цикл) согласованно: росту числа агитаторов соответствует рост противодействия властей, который приводит к уменьшению влияния агитации и, соответственно, последующему уменьшению давления властей. Некоторое увеличение забастовочной активности возможно только на участке, где число агитаторов растет, но и этот процесс не выходит «за рамки» обычного (максимальное значение Z меньше 1), к тому же испытывает строгую периодичность. Условно можно назвать этот тип – стачечным движением в «гражданском обществе»: оно регулируемо, предсказуемо и не выходит за выделенные пределы.

Объяснить этот режим на языке наших модельных представлений о рабочей среде можно следующим образом: параметры системы складываются так, что влияние «авторитета власти» быстро уходит из системы, т.е. власть не в состоянии справиться с агитацией «непрямыми» методами, и вся борьба со стачечным движением целиком возлагается на аресты. С той же долей условности, что и выше, этот тип описывает «полицейское государство», которое оказывается устойчивым и предсказуемым, хотя использует для своего поддержания методы прямого насилия. Интересно отметить, что один из вариантов, приводящий к этому режиму – это низкое значение «сдерживающего» порога c (подробнее см. ниже): можно сказать, что в таком случае забастовочное движение не удается подавить одним только «давлением власти». Отметим также, что максимальные значения стачечной активности Z здесь сильно превышают аналогичные пределы в цикле типа А, так что тип Б описывает хотя и регулярное, но весьма «возбужденное» состояние рабочей среды.

Исходя из структуры нашей модели, можно указать причину этих всплесков: фазовая траектория в плоскости (X, Y) совершает обороты с увеличивающимся радиусом, поэтому (и довольно быстро - в течение одного двух оборотов), значение Y превысит пороговое для роста стачечного движения (см. выше). После этого стачечная активность Z быстро увеличивается, что в свою очередь приводит к резкому уменьшению Y из-за отрицательной обратной связи («арестов»). Тогда траектория, рассматриваемая в плоскости (X, Y) переводится на более «низкую орбиту» с радиусом ниже стачечного порога, и соответственно стачечное движение вновь затихает. Важно, что апериодический характер процесса не позволяет точно предсказать время и величину следующего «всплеска» забастовок. График зависимости переменной от времени Z(t) (см. рис. 6в-г) выглядит как последовательность пиков разной высоты, чередующихся случайно, причем, как показывает точный анализ автокорреляционной функции (см. ниже), расстояние между пиками не является строго постоянным. На языке анализа исторической ситуации такое поведение отвечает непредсказуемым «взрывам» стачечной борьбы на фоне непрерывной борьбы властей с агитаторами.

Понять, как происходит блуждание траекторий на этом аттракторе, поможет описание основных фаз поведения решения. Если начальное условие Z(t=0) мало, то траектория описывает движение, напоминающее цикл модели Лотки–Вольтерра в системе, далекой от равновесия. Агитация Y растет, затем растет подавляющая ее политика власти, после чего обе переменных начинают падать и траектория оказывается вблизи начала координат. Дальше начинается вторая фаза (см. рис.7б): переменная Y по сравнению с X обладает преимуществом роста из-за наличия в уравнении «самоорганизующегося» члена Y². На этом этапе агитация Y растет так быстро, что преодолевает порог развития стачек, в то время как реакция властей X еще задерживается и остается малой. Вспыхивает стачечная борьба, растет Z(t), после чего в третьей фазе в действие вступает фактор насильственной борьбы с агитаторами. Происходит циклическое движение в плоскости (Y,Z) при все еще малом давлении властей X, т.е. повторяется ситуация предельного цикла типа Б. Этот процесс идет очень быстро, цикл даже иногда успевает повториться несколько раз, прежде чем начинает возрастать X(t), и тогда, наконец, система вновь возвращается к первой фазе. Хаотизация решения состоит в том, что траектория не может в точности повторить весь этот процесс дважды, а каждый раз получает разные амплитуды циклов, и соответственно, разные всплески Z(t) (см. рис.7в-г). Характерной особенностью этого типа странного аттрактора по сравнению с предыдущим является возможность двойного (а также и любого многократного) пика, чему соответствует два и более оборота подряд в плоскости (Y,Z). Частота появления таких пиков также непредсказуема. Если попытаться переложить полученные качественные результаты в историческую картину, то здесь мы имеем дело с чередованием довольно длительных периодов «спокойного» развития стачечного движения, успешной борьбы властей с агитаторами и внезапно возникающих «революционных» отрезков, в течение которых стачечная активность не просто может непрерывно расти, но даже испытывать два и более пиков активности, во время которых факторы «спокойного» сдерживания теряют свою роль, а все определяет насильственная борьба.

В этом параграфе мы излагаем точные математические результаты анализа системы (10), которые показывают конкретную реализацию обсуждавшихся выше качественных режимов модели.

2.5.1. Существование аттрактора. Области устойчивости. Система (10) относится к классу диссипативных систем, что обеспечивает в ней существование аттрактора. Другим важным свойством модели, доказываемым аналитически, служит то, что если при t=0 начальная точка лежит в первом октанте (X>0, Y>0, Z>0), то и в дальнейшем значения динамических переменных останутся положительными, каковыми они по смыслу и являются. Это свойство обеспечивает корректность модели. Оно доказывается тем, что траектория системы не может пересечь ни одну из граничных координатных плоскостей первого октанта (т.к. векторное поле скоростей в фазовом пространстве обращается в нуль при X=0 и Y=0 и направлено внутрь октанта при Z=0).

Приравнивая правые части уравнений (10) к нулю, мы обнаруживаем три типа особых точек системы (все они могут лежать в пределах первого октанта).

1. 
   Y_с=1, Z_с= b/m(c–1), X_с= 1 + а – b/(m(c–1));
   
2. 
   X_c=0, Z_c=b/m(c–Y_c), где Y_c является одним из корней квадратного уравнения aY_c²–(ac–1)Y_c+(b/m – c) = 0 и может, таким образом, принимать до двух значений;
   
3. 
   X_c=0, Y_c=0, Z_c=b/mc.
   

а) все особые точки первого октанта неустойчивы (это случай предельного цикла или странного аттрактора, где, например, в цикле или странном аттракторе типа А, неустойчивая особая точка 1 лежит в центре его внутренней области);

б) в первом октанте, как правило, устойчива лишь одна из особых точек; а какая именно, определяется следующими условиями:

Если с < 1+ (1/a), то при увеличении параметра b вначале устойчивой становится т.1 (что возможно при b<m(c-1)(1+a)); затем, когда в т.1 координата X_c достигает нулевого значения, то эта точка уходит из первого октанта, а устойчивой становится та из т.2, которая принадлежит первому октанту (это происходит при m(c-1)(a+1)<b<mc); наконец, когда b>mc, устойчивость переходит к т.3 (см. рис.9 а).

Если c> 1 + (1/a), то указанная выше цепочка сокращается на одно звено: при b<mc устойчивой является т.1, при b>mc устойчивость переходит к т.3.

Заметим, что по смыслу модели т.1. является точкой динамического равновесия – здесь активны все три переменных, их уровни близки к критическим, тогда как т.3 – «точкой стагнации», где две динамических переменных X и Y «выключены» (нет ни агитаторов, ни влияния властей), а Z устойчива просто в силу той пороговой модели стачки, которую мы обсуждали выше.

в) в виде исключения встречается состояние перехода устойчивости между точками, что означает существование в первом октанте двух устойчивых особых точек, у каждой из которых – своя притягивающая область. Такая ситуация возможна в узком диапазоне значений параметра b, чуть превышающих границу c∙m, при соблюдении условия c>1/a. При этом, если с<1+1/a, то переход устойчивости происходит от т.2 к т.3, а если с>1+1/а, то – от т.1 к т.3 (см. рис. 9б и в). С ростом параметра b притягивающая область «старой» точки уменьшается, а «новой» увеличивается, пока не охватит весь первый октант. Этот процесс ярко иллюстрирует, каким образом в системе происходит бифуркация по параметру: решения, выходящие из одной и той же начальной точки при двух близких значениях параметра b в итоге будут стремиться к совершенно различным предельным точкам (см. рис.10).

а) с < 1/a б) 1/a < c < 1+1/a

1< c < 1+1/a и b < m(c-1)(a+1) или

Точные границы области хаоса удается вычислить с большим трудом. Дело в том, что, как показали наши вычисления, эта граница не является непрерывной, но пронизана проходящими далеко вглубь «языками» устойчивых областей параметров, где решения периодичны, а траектория стремится к предельному циклу (в математической терминологии подобные области так и называются «языками Арнольда», по имени математика, который их впервые исследовал). Можно, по-видимому, говорить, что сама область хаоса на параметрической плоскости является фракталом.

Однако, общее представление о переходе от устойчивости к хаосу дает рассмотрение изменения качественного вида решений при изменении одного параметра. Так, на рис.12 показаны основные фазы перестройки фазового портрета при уменьшении параметра b из области устойчивости к нулю. Предельная точка, к которой первоначально стремилось решение, переходит сперва в предельный цикл типа А, который затем удваивается, и через последовательность удвоений рождается странный аттрактор типа А. Он продолжает существовать в системе при сколь угодно малых b, однако не равных нулю.










Рис.12 Переход к хаосу через удвоение периода (меняется параметр b при c = 1,6, m = 30, a = 0,2). а – предельный цикл рождается из устойчивой особой точки (b = 2,2); б – предельный цикл сформировался (b = 0,5); в – удвоение предельного цикла (b = 0,4), при этом период каждого из решений системы увеличивается в два раза; г – следующее удвоение (b = 0,2); д – странный аттрактор (b = 0,1).
Еще более интересен переход к хаосу путем изменения параметра c. Здесь странный аттрактор появляется на нескольких отрезках значений параметра c (что свидетельствует о сложной внутренней структуры области хаоса).

Так, при фиксированных параметрах a = 0,2, m = 30, b = 0,1 странный аттрактор типа А возникает путем удвоения предельного цикла и сохраняется при значениях 1,4≤ c ≤1,8 (см. рис.12д). При дальнейшем увеличении с система вновь возвращается в режим предельного цикла, но при 2,2≤ c ≤2,4 и 2,8≤ c ≤3,2 вновь возникают диапазоны хаоса (см. рис. 13а и б).

Чтобы можно было сравнивать ряд, даваемый моделью, с первичными историческими данными о стачках, мы должны проанализировать ту из переменных модели, которая описывает забастовочную активность (т.е. исследовать зависимость от времени модельной переменной Z). Соответствующий динамический ряд, рассчитанный программой ODE, содержит 4500 точек, его график (при указанных там параметрах модели) мы приводили на рис.6в. Спектр данного ряда (см. рис.15) имеет ярко выраженный падающий характер, автокорреляционная функция также спадает по абсолютной величине (см. рис.16).

Отметим для начала, что немало историков придерживаются мнения, что математические модели вряд ли вообще можно применять для изучения общественных процессов. Спорить об этом, однако, - не продуктивное занятие; каждый студент, обучающийся на факультете экономики или социологии, обязан освоить целый ряд таких моделей. Существуют серьезные научные школы, развивающие методологию и методы математического моделирования в социальных науках. Но если математические модели текущих социальных, экономических, политических процессов можно конструировать, то почему нельзя это делать для процессов прошлого, завершившихся относительно недавно или даже давно?

Но и при утвердительном ответе на поставленный вопрос может возникнуть следующий: «а надо ли?”. Если считать, что каждая стачка, каждая стачечная волна в истории рабочего движения в дореволюционной России уникальна, неповторима и не имеет общих существенных черт в своем развитии, то надо просто изучать каждую из стачек в отдельности. Мы, однако, исходим из того, что каждая стачечная волна несет в себе черты общего и особенного. Изучению должны подлежать оба аспекта. В фокусе моделирования находятся именно общие черты и закономерности изучаемых процессов.

Если согласиться с предложенной структурой модели (т.е. признать, что формализация соотношений между переменными в системе дифференциальных уравнений проведена адекватно, на основе естественных содержательных соображений), то исследование динамики модели может дать историку приращение знания об изучаемом социальном процессе. Во-первых, можно получить типологию динамических ситуаций в развитии процесса; во-вторых, можно определить те области значений параметров изучаемой системы, в которых реализуется тот или иной тип динамики. При этом особый интерес могут представлять те области, в которых процесс является неустойчивым, т.е. реакции системы на внешние возмущения становятся резко непропорциональными. Выявление такого режима в динамике изучаемого процесса существенно расширяет контекст понимания природы резких изменений в его развитии.

Анализ предложенной нами модели стачечного движения показал наличие трех типов динамики, каждому из которых соответствует свой аттрактор, к которому сходятся решения системы дифференциальных уравнений независимо от начальных условий (т.е. начальных значений численности стачечников, уровней агитационной деятельности левых партий и рабочих организаций, а также контрагитации властей).

Подчеркнем, что тип динамики определяется соотношением управляющих коэффициентов модели, которых в нашей системе дифференциальных уравнений - четыре. Эти коэффициенты (параметры модели) характеризуют скорость роста стачечной волны при отсутствии давлении властей (т.е. совокупное воздействие негативных факторов жизни рабочих, подталкивающих их к протесту); силу «сдерживающих» факторов (потенциальную или реальную угрозу со стороны властей) в отсутствии агитации; эффективность агитации и ее возрастание в результате взаимодействия агитаторов. Рис. 11 наглядно показывает те области значений параметров модели, в которых поведение модели имеет устойчивый или неустойчивый (хаотический) характер.

Итак, какие же типы динамики («сценарии» развития стачечной борьбы) возможны в поведении описанной выше модели? Дадим краткую содержательную интерпретацию (сводку) полученных результатов моделирования, обращая внимание на вид аттрактора.

1) Аттрактор – устойчивая точка (фокус). Со временем в системе устанавливаются постоянные значения всех трех переменных (численности стачечников и агитаторов, уровень давления властей). Для интерпретации такого процесса подходит слово «равновесие». Можно сказать, что он описывает баланс между уровнем агитации и противодействием властей при малом (как следует из оценок при конкретных значениях параметров) уровне стачечной активности. Устойчивость этого равновесия гарантирует отсутствие в системе «революционных взрывов».

2) Аттрактор - предельный цикл. В предложенной модели это один из наиболее вероятных режимов, который в свою очередь можно классифицировать (в зависимости от соотношения отдельных параметров) на два типа.

Тип А. Антагонистическое взаимодействие стачечников и властей происходит согласованно: росту числа агитаторов соответствует рост противодействия властей, который приводит к уменьшению влияния агитации и, соответственно, последующему уменьшению давления властей. Некоторое увеличение стачечной активности возможно только на фазе роста числа агитаторов, но и этот процесс не выходит «за рамки» обычного, к тому же испытывает строгую периодичность. Условно можно назвать этот тип – стачечным движением в «гражданском обществе»: оно регулируемо, предсказуемо и не выходит за выделенные пределы.

Тип Б. Влияние «авторитета власти» быстро падает, т.е. власть не в состоянии справиться с агитацией «непрямыми» методами, и вся борьба со стачечным движением целиком возлагается на аресты. С той же долей условности, что и выше, этот тип описывает «полицейское государство», которое оказывается устойчивым и предсказуемым, хотя использует для своего поддержания методы прямого насилия. Отметим также, что максимальные значения стачечной активности здесь сильно превышают аналогичные пределы в цикле типа А, так что тип Б описывает хотя и регулярное (циклическое), но весьма «возбужденное» состояние рабочей среды.

3) Странный аттрактор. Система уравнений (10) в определенной области значений параметров порождает непредсказуемое поведение, т.е. детерминированный хаос. Странные аттракторы, возникающие при различных сочетаниях параметров внутри этой области, можно (так же как и в случае предельных циклов) разделить на два типа.

Статистическая обработка динамического ряда, смоделированного с помощью системы (10) при значениях параметров модели, принадлежащих области странных аттракторов, подтвердила наличие хаотических режимов.

Такова качественная картина динамических процессов, порождаемых предложенной нелинейной моделью стачечного движения при различных сочетаниях ее параметров.

Интересно отметить, что в процессе работы над данной статьей авторы получили еще одно свидетельство полезности разработки и исследования нелинейных моделей стачечной динамики. В опубликованной недавно статье голландских историков С. ван дер Вельдена и П.Доорна, посвященной анализу факторов, определявших динамику стачечного движения в Голландии в 1850-1995 гг., отмечается, что регрессионный анализ, проведенный с учетом целого ряда факторов, не смог объяснить более 20% дисперсии показателя стачечной активности. При этом авторы использовали такие информативные переменные как зарплата рабочих, индекс цен, уровень безработицы, доля рабочих-членов профсоюзов и участников колдоговоров, доля голосующих за левые партии и доля представителей этих партий в составе правительства, индекс ВНП, показатель экономической конъюнктуры, наличие институциональных ограничений в проведении забастовок и др.⁴⁰. Обсуждая причины неудачи в объяснении динамики стачек в Голландии с использованием большого числа внешних факторов, С. ван дер Вельден и П.Доорн отмечают, что эти факторы слабо учитывают роль рабочих-активистов (worker activists) в организации стачек. Более существеным в контексте нашей работы является констатация ими того, что в социальных науках нелинейные модели с хаотическим поведением служат пока больше в качестве метафор, чем в качестве верифицируемых моделей, хотя именно они «могут быть адекватным моделями для описания «взрывных» процессов в динамике отдельных стачек, в которых неудовлетворенность условиями труда или политической ситуацией конкурирует со страхом потерять работу или заработок… Стачки могут распространяться как лесной пожар, и теория хаоса применялась для описания таких диффузионных процессов с успехом»⁴¹. Как нам представляется, предложенная в настоящей работе модель в определенной мере служит доказательством справедливости сказанного.

В заключение авторы выражают признательность д-ру П.Доорну и д.и.н. Ю.И.Кирьянову за полезные советы при обсуждении основных идей данной работы.

.