Аныљталма’ан интеграл о›у-Щдістемелік ›±рал кЇндізгі о›у формасында"ы техникалы› жЩне экономикалы› маманды›тар студенттерге арнал"ан Павлодар



Дата19.06.2016
өлшемі2.17 Mb.
#148004


љаза›стан Республикасы білім жЩне “ылым Министрлігі
С.Торай“ыров атында“ы Павлодар мемлекеттік университеті
Физика математика жЩне а›паратты› технологиялар институты

  • АНЫљТАЛМА’АН

  • ИНТЕГРАЛ

О›у-Щдістемелік ›±рал кЇндізгі о›у формасында“ы

техникалы› жЩне экономикалы› маманды›тар студенттерге арнал“ан

Павлодар


УДК 517.31

ББК 22.161.1



С. Торайыров атындаы ПМУылыми кеЈесі ±сынан
Пікірсарапшылар:

Физика математика “ылымдарыныЈ кандидаты, профессор М.Х.Хамитов

Физика математика “ылымдарыныЈ кандидаты, профессор С.Т.Сабиров

Ф.К. Баяхметова, Т.М. Бергузинова, Ж. Хырхынбай

«АНЫљТАЛМА’АН ИНТЕГРАЛ».О›у -Щдістемелік ›±рал-Павлодар, 2005ж.

Осы Щдістемелік ›±рал“а мемклекеттік тілде о›итын студенттерге арнал“ан «Аны›талма“ан интеграл» та›ырыбына жатты“у ж±мыстары жЩне олар“а Щдістемелік н±с›аулар еЈгізілген. СтуденттердіЈ йз бетімен білім меЈгеруіне арнал“ан тесттілік ж±мыстар берілген.



  • Ал“ысйз

Аны›талма“ан интегралды есептеудіЈ тЩжірбиеде ыЈ“айлы жалпы ЩдістерініЈ жо›ты“ына байланысты жЩне есептеудіЈ о›ушылар Їшін жеткілікті деЈгейде кЇрделілігіне байланысты Щр дайым есептеуде жиі кездесетін функциялардыЈ кейбір дербес кластарыныЈ интегралдау Щдістерін ›арастыру“а тура келеді.

Осы Щдістемелік ›±рал атал“ан дербес жа“дайлардыЈ бЩрін ›амты“ан. Шрбір функциялар класына мысалдар ›арастырылып, олардыЈ шешу Щдістері толы› жазыл“ан, я“ни ›±рал Їйретуді алдына ма›сат етіп ›ояды. Сонымен ›атар, жауаптарымен бірге йз бетімен шы“аруларына да жеткілікті мысалдар берілген. љ±ралдыЈ соЈында интегралды есептеуге тестілік тапсырмалар да бар.

Б±л жина› студенттерге, Щрі тЩжірбиелік саба›тар жЇргізу Їшін о›ытушылар“а да арнал“ан. љ±рал мемлекеттік тілде о›итын студенттерге бірден бір ›ажетті деп есептеледі.



  1. 1 Аны›талма“ан интеграл



1.1 Анытама
Егер интервалыныЈ кезкелген х берілген нЇктесінде функциясы дифференциалданатын болса жЩне оныЈ туындысы болса, онда фукнциясы функциясыныЈ ал“аш›ы функциясы деп аталады.
Мысал
функциясыныЈ ал“аш›ы функциясын табу керек.
Шешуі

Ал“аш›ы функцияныЈ аны›тамасы бойынша бол“анды›тан,



функциясы -тіЈ ал“аш›ы функциясы болады.
Теорема
Егер жЩне интервалында берілген функциясыныЈ

кезкелген ал“аш›ы функциялары болса, онда берілген интервалда теЈдігі орындалады, м±нда С- ›айсы бір т±ра›ты. Демек, бір функцияныЈ кезкелген ал“аш›ы функциялары тек т±ра›ты шама“а “ана айры›шаланады.

Алдында“ы кйрсетілген есепте ал“аш›ы функциялары деп мына функцияларды алу“а болады.
. Немесе жалпы тЇрде , м±нда С-

кезкелген т±ра›ты, ййткені .



1.2 Анытама
интервалында берілген функциясыныЈ интервалында берілген барлы› ал“аш›ы функциялар жиынын аны›талма“ан интеграл деп атап, былай белгілейді:

Мына белгілеуде -интеграл белгісі, - интеграл астында“ы йрнек, - интеграл астында“ы функция, -интегралдау айнымалысы.

Егер функциясы функциясыныЈ бір ал“аш›ы функциясы болса, я“ни, , онда , м±нда С-кезкелген т±ра›ты (1)

Интеграл астында“ы йрнек (1) теЈдіктіЈ оЈ жа›та“ы кез келген ал“аш›ы функцияларыныЈ дифференциалы болады.

Берілген интеграл астында“ы функция бойынша аны›талма“ан интегралды табу интегралдау амалы деп аталады. Дифференциалдау амалына ›ара“анда интегралдау ›арама-›арсы амал. (1) Аны›талма“ан интегралдыЈ геометриялы› мЩні: , С- параметр, ›исы›тар жиыны. Осы жиын“а жататын ›исы›тар интегралдау ›исы›тары деп аталады. Осы жиынныЈ кез келген ›исы“ын Оу осініЈ бойымен параллель жылжытып алу“а болады.
2 Аныталмаан интегралдыЈ ›асиеттері
2.1 Аны›талма“ан интегралдыЈ туындысы интеграл астында“ы функция“а теЈ болады, я“ни

2.2 Аны›талма“ан интегралдыЈ дифференциалы интеграл астында“ы йрнекке теЈ болады.

2.3 љайсы бір функция дифференциалыныЈ аны›талма“ан интегралы осы функция жЩне кез келген С т±ра›тысыныЈ ›осындысына теЈ болады, я“ни

2.4 Нйлге теЈ емес т±ра›ты кйбейткішті интеграл символыныЈ алдына шы“ару“а болады, я“ни

2.5 Бірнеше функцияныЈ алгебралы› ›осындысыныЈ аны›талма“ан интегралы Щрбір функцияныЈ аны›талма“ан интегралыныЈ алгебралы› ›осындысына теЈ болады, я“ни

3 Негізгі интегралдар кестесі
1) м±нда

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)
Шрбір кестелік интегралды аны›талма“ан интеграл аны›тамасы (бойынша) жЩне дифференциалдау амалы бойынша тексеруге болады.
4 Тікелей интегралдау
Негізгі интегралдар кестесін ›олданып, аны›талма“ан интегралдар ›асиеттерін пайдаланып интеграл астында“ы йрнекті тЇрлендіріп интегралда“анды тікелей интегралдау деп атайды.

№1 Интегралдарды табу керек.


а) , б)
в)
Шешуі
а) Алдымен интеграл астында“ы функцияны ы›шамдап, сосын аны›талма“ан интеграл ›асиеттерін жЩне (1) кестелік интегралды ›олданып есептейміз.


б) Аны›талма“ан интеграл ›асиеттерін жЩне (5), (8) кестелік интегралдарды ›олданып есептейміз.

в) 4, 5 ›асиеттерін жЩне (9), (10), (2) кестелік интегралдарды ›олданып, есептейміз.


№2 Интегралдарды табу керек
а) б) ,

в) г)


а) Алымында“ы жа›шаларды ашып жЩне шы››ан йрнекті бйлеміз.



б) Алымында“ы жа›шаны ашып жЩне берілген интегралды екі интегралдыЈ ›осындысы тЇрінде жазып, есептейміз.


в) Жа›шаны ашып, берілген интегралды екі интеграл ›осындысына жіктейміз.


г) Берілген интегралды кестелік интегралдар“а келтіру Їшін алымында“ы 1-діЈ орнына ›ойып екі интеграл ›осындысына жіктейміз.


№3 Интегралдарды табу керек.
а) б), в) ,

г) д) е)

ж) з)
№4 а) б) в)

г) д) , е)


5 Айнымалыны ауыстырып интегралдау (алмастыру Щдісі)

Егер таблицалы› интеграл болмаса жЩне тікелей интегралдау Щдісі бойынша табылмаса, онда кйп жа“дайларда жаЈа айнымалыны кіргізіп берілген интегралды кестелік интеграл“а келтіруге болады. Алмастыру ЩдісініЈ ма“ынасы осы болады.



интегралды жаЈа айнымалы еЈгізіп, оЈай интеграл“а келтіруге болады. Интеграл астында“ы йрнектегі айнымалыны ауыстырайы›, я“ни деп алса› м±нда“ы кері функциясы бар Їздіксіз функцияныЈ Їздіксіз туындысы. Онда жЩне мына теЈдікті аламыз.

Осы алмастыруды ›олданып интегралды есептегеннен кейін, оны ал“аш›ы берілуіндегі х айнымалысына ›айтадан оралуымыз керек. Кейбір жа“дайда алмастырудыЈ орнына алмастыруды ›олдану керек, я“ни жаЈа t айнымалыны x –ке тЩуелді функция деп ›арастырамыз.
№5 алмастыруды ›олданып интегралды табу керек.
а) , б) , в) ,

г) , д)


а) Егер t=6x+1 алмастыруды ›олданса›, онда dt=6dx жЩне .

б) Берілген интегралды кестелік интеграл“а келтіру Їшін деп алып, онда жЩне . (2) формуланы ›олданып есептейміз.



в) Берілген интегралды кестелік интеграл“а келтіру Їшін , онда . Ендеше,

г) онда .
д) , онда жЩне .
;
№6 Интегралдарды табу керек.



а) деп аламыз, онда . Ендеше,

Кейбір кезде, егер алдын ала, ›андай алмастыру интегралды кестелік интеграл“а келтіретінін кйрініп т±рса, онда жаЈа айнымалыны кіргізу керек емес. Мысал“а а) пунктін алса›, онда arcSinx – тіЈ дифференциалы екені кйрініп т±р. Сонды›тан, шешімін былай жазу“а болады:

б) деп аламыз, онда . Ендеше,


в) деп аламыз, онда . Ендеше,

;
Осы есепті шы“ар“анда жаЈа айнымалыны кіргізбей а› былай интегралдау“а болады.

г) бол“анды›тан, берілген интеграл кестелік интеграл“а келтірілді.

Алмастыру Щдісін ›олданып, келесі интегралдарды табу керек.
№7 ,

, ,

,
№8 , ,
, ,

,
№9 , ,

, ,

,
№10 , ,

, ,

,
№11 , ,

, ,

,

№12 , ,



, ,

,

  • 6 Бйліктеп интегралдау Щдісі

Егер u(x) жЩне v(x) ›айсы бір аралы›та Їздіксіз, аралы›тыЈ Щрбір ішкі нЇктесінде дифференциалданатын функциялар болып жЩне осы аралы›та бар болса, онда бар болады,



(3)

Егер берілген интеграл“а ›ара“анда Щлде›айда ›арапайым интеграл болса, (3) формуланы бйліктеп интегралдау формуласы деп атайды. Осы формуланы ›олдану“а болады,.


№13 (3) формуланы ›олданып, мына интегралдарды табу керек:

,
Шешуі
(3) формуланы ›олданамыз

б) u=x жЩне dv=Cosxdx деп аламыз. Онда


Ендеше,

(3) формуланы ›олдан“анда, u жЩне dv д±рыс таЈдап алу керек. Интеграл астында“ы йрнекті u жЩне dv кйбейткіштерге бйліктейтін жалпы ереже жо›. Біра› кейбір дербес н±с›ауларды ›олдану“а болады.


Н±сау 1
Егер интеграл астында“ы йрнек кйпмЇшелік пен кйрсеткіштік

функцияныЈ, не болмаса кйпмЇшелік пен тригонометриялы› функцияныЈ кйбейтіндісі болса,онда u деп кйпмЇшелікті белгілейміз.



Н±сау 2
Егер интеграл астында“ы йрнек кйпмЇшелік пен логаримфдік

функция, не болмаса кйпмЇшелік пен кері тригонометриялы› функцияныЈ кйбейтіндісі болса, онда u деп логарифдік функцияны, не болмаса кері тригонометриялы› функцияны алу керек.


№14 Интегралдарды табу керек.
, ,
Шешуі
Н±с›ау 2 –ні ›олданып, жЩне деп белгілейміз.

Онда . Бйлшектеп интегралдау ЩдісініЈ формуласын ›олданып, интегралды мына тЇрге келтіреміз.



жЩне dv=2xdx, онда . Бйлшектеп

интегралдау ЩдісініЈ формуласын ›олданып,




а) u=arcSinx жЩне dv=dx болсын, онда Демек,



№15 Бйліктеп интегралдау формуласын ›олданып, интегралды табу ›ажет.

, ,

, ,

, ,

, ,


№16 Бйліктеп интегралдау формуласын 2 рет ›олданып, берілген интегралдарды есептеу керек:

, ,

Н±сау 3
жЩне , м±нда Р(х) кйпмЇшелік, тЇрдегі интегралдарды табу Їшін кйпмЇшелік дЩрежесі ›анша болса, сонша рет бйліктеп интегралдау формуласын ›олдану ›ажет. Сонымен ›атар, кйбейткіш u- деп Щр кезде дЩрежелік функцияны белгілейді.

Кейбір жа“дайларда бйліктеп интегралдау формуласын бірнеше рет ›олдан“анда ізделінетін интеграл“а ›атысты теЈдеу шы“ады. М±ндай интегралдар“а мына интегралдар жатады.



№17 интегралды табу керек.


Шешуі
жЩне , онда жЩне . Осыдан (*)

(*) алын“ан интегралдыЈ оЈ жа“ын бйліктеп интегралдау Щдісімен интегралдаймыз.

Айталы› жЩне , онда , жЩне

(**)

(**)- ны (*)-“а ›ойса› ізделінді интеграл“а ›атысты формуланы аламыз.



, осыдан


№18 интегралды тап.
Шешуі
жЩне dv=dx онда v=x жЩне

.

Бйліктеп интегралдау формуласын ›олданып табамыз.

Айталы› жЩне dv=dx деп алса›

v=x жЩне . Сонымен

, б±дан


№19 Интегралды тап
Шешуі
Иррационалды›ты бйліміне жЩне берілген интегралды екі интегралдыЈ ›осындысы тЇріне келтіреміз.

Бірінші интеграл (13) кестелік интеграл болып табылады, ал екінші интегралды бйліктеп интегралдаймыз.
. десек , онда , жЩне

Сонымен,

жЩне осыдан


№20 Интегралдарды есептеЈдер

, ,
№21 Интеграл“а рекурренттік формуласын еЈгіземіз.

Шешуі
(*)
(*) алын“ан интегралды бйліктеп интегралдау формуласын пайдаланып есептейміз. жЩне десек, онда ,

Сонымен,



немесе (4)


(4) формула рекуренттік формула деп аталады. Ол мына интегралды ар›ылы йрнектеуге мЇмкіншілік береді, я“ни бйлімініЈ дЩрежесін бір дЩрежеге тймендетеді. Сонымен (4) формуланы рет ›олданса берілген интеграл кестелік тЇрге келеді.

  1. 7 жЩне тЇрдегі интегралдар

Берілген квадратты› ЇшмЇше бол“ан жа“дайда на›ты жЩне Щр тЇрлі тЇбірлері болады; D=0 бол“ан жа“дайда еселі тЇбірлері болады; D<0 комплекс тЇбірлері болады. Бірінші жа“дайда квадратты› ЇшмЇшені екі квадраттыЈ айырмасы ретінде алу“а болады, екінші жа“дайда ЇшмЇше толы› квадрат болып табылады, ал Їшінші жа“дайда ол екі квадраттыЈ ›осындысы ретінде кйрсетіледі. Сонымен, егер D>0 болса (А) тЇрдегі интеграл (11) кестелік интеграл“а келеді, егер D<0 болса, (10) кестелік интеграл“а келеді, егер D=0 болса, (1) кестелік интеграл“а келеді.

Сонымен (А) тЇрдегі интегралдарды табу Їшін квадратты› ЇшмЇшелікті тЇрлендіріп (толы› квадратты бйліп алу) жЩне (10), (11), (1) кестелік интегралдарды ›олдану керек.
№22 Интегралдарды табыЈдар
, ,
Шешуі
а)
(10) формуланы ›олданып


, сонымен



(11) формуланы пайдаланып,


№23 Интегралдарды есептеЈдер



,
Шешуі






№24 Интегралдарды есептеЈдер
,

,
№25 Интегралдарды есепте
,

,
Мынадай тЇрдегі интегралды ›арастырайы›

(В) Егер йрнек ЇшмЇшеліктіЈ туындысы болатын болса, онда (В) интеграл (2) кестелік формуламен алынады.

Егер йрнек бйлімініЈ туындысы болмаса, онда йрнекті бйлімініЈ туындысы болатындай етіп тЇрлендіру керек. Содан кейін (В) интегралын екі интегралдыЈ ›осындысы ретінде жазамыз, оныЈ біріншісі тікелей алынады ал, екіншісі (А) интеграл тЇріне келеді.


№26 Интегралды табу керек.


Шешуі
БйлімініЈ туындысы . Алымын бйлімініЈ туындысы бола алатындай етіп тЇрлендіреміз де, оны екі интеграл“а бйлеміз.

Конец формы





№27 Интегралды тап

Шешуі
БйлімініЈ туындысы . ТЇрлендіру жасап, мынаны аламыз.



№28 Интегралдарды табыЈдар
,

,
8 ИнтегралдардыЈ таы бір тЇрлері жЩне


Алдымен мына тЇрін ›арастырайы› (С)

(С) интегралы егер бол“ан жа“дайда, (13) кестелік интеграл“а келеді жЩне егер болса, онда (9) кестелік интеграл“а келеді.

№29

№30

№31




№32 Интегралдарды табыЈдар



Енді мына тЇрдегі интегралды ›арастырайы›
(D)
Егер йрнек ЇшмЇшеліктіЈ туындысы болатын болса, онда (D) интеграл (1) кестелік формуламен тікелей алынады. Егер йрнек бйлімініЈ туындысы болмаса, онда бйліміндегі йрнектіЈ туындысы бйлініп алынатындай етіп тЇрлендіру керек. Содан кейін (D) интегралды екі интегралдыЈ ›осындысы ретінде жазамыз, оныЈ біріншісі тікелей алынатын ал, екіншісі (С) интеграл тЇріне келеді.
№33




№34





№35 Интегралдарды есептеЈдер
;

;
9 Рационал бйлшектердіарапайым бйлшектерге жіктеу
Айталы› -дЩрежелі на›ты коэффициентті кйпмЇшелік болсын.

(1)

(1) кйпмЇшелігі тЇрдегі сызы›ты› жЩне тЇрдегі квадратты› кйпмЇшелікке “ана жіктеле алатыны белгілі, м±нда“ы -кйпмЇшеліктіЈ на›ты тЇбірі, ал квадратты› ЇшмЇшеліктіЈ на›ты тЇбірі жо›, бас›аша айтса› .

Берілген кйпмЇшелік жіктелетін кейбір кйбейткіштер, оныЈ жіктелуіне бірнеше рет кіруі мЇмкін . (1) кйпмЇшелігініЈ жіктелуін жалпы мына тЇрде жазу“а болады. (2)

м±нда (1) кйпмЇшеліктіЈ на›ты тЇбірі, еселіктері, ал натурал сандар кйпмЇшеліктіЈ Щрбір ›ос тЇйіндесі.

Осыдан мынадай теЈдік шы“ады.

Рационал кйпмЇшелік деп дербес екі кйпмЇшеліктен т±ратын жЩне йз аргументтерінен т±ратын кйпмЇшелікті айтамыз.



рационал бйлшек д±рыс бйлшек деп аталады, егерде -тіЈ дЩрежесі -тіЈ дЩрежесінен кіші болса, рационал бйлшектерді элементар бйлшектердіЈ ›осындысына жіктеудіЈ теоремасын былай беруге болады.
Теорема

Кез келген д±рыс рационал бйлшек , бйлімі - (2) мен жіктелетін болады. Элементар бйлшектердіЈ ›осындысынан т±ратын бір “ана а›ырлы бйлшекті келесі тЇріде кйрсете аламыз.






(3)
Белгісіз

коэффициенттерді аны›тау Їшін (*) былай жасаймыз: (3) теЈдіктіЈ оЈ жа“ында“ы бйлшектер -терді орта› бйлімге келтіріп, содан кейін алымында пайда бол“ан -кйпмЇшеліктерді теЈестіреміз. Алын“ан теЈдеулердіЈ екі жа“ы теЈ болады. х- тіЈ дЩрежесі бойынша теЈдеудіЈ екі жа“ында“ы коэффициентерді теЈестіреміз де, шы››ан жЇйені шешіп, (*) белгісіз коэффициентерін табамыз.

№36 - мына рационал бйлшекті жай бйлшектерге жікте.

Шешуі

Берілген бйлшек д±рыс бйлшек бол“анды›тан, оны (3) формула мен жіктейміз. Элементар бйлшекті орта› бйлімге келтіріп, орта› бйлімінен ›±тылып, екі жа“ын теЈестірейік.




(**)

(**) – оЈ жа“ында“ы жа›шаларды ашып жЩне х- аргументтіЈ дЩрежесініЈ тймендеу ретімен жазайы›.


(***)
(***) аргументерініЈ дЩрежесі бірдей оЈ жЩне сол жа› коэффициентерін теЈестірсек, келесі сызы›ты› жЇйені аламыз.

ЖЇйені шешіп, мЩндерді алды›. Сонымен

A, B жЩне C белгісіз коэффициентерін бас›а да жолмен табу“а болады. (*) теЈдік х-аргументініЈ кез келген мЩнінде орындалады. х-ге кез келген дербес мЩн беріп, ›ажетті сызы›ты› теЈдеулерді алу“а болады.

Мысалы x=3 болса, онда 25=5B, немесе B=5

x=-2 болса, онда –25=25C, осыдан C=-1

x=0 болса, онда -11=-6A+2B+9C немесе -11=-6A+10-9 осыдан A=2.

БйлшектіЈ бйлімі, я“ни, -тіЈ на›ты тЇбірлері болса, онда бізге екінші тЩсілді ›олдан“анымыз ыЈ“айлы.

№37 бйлшекті жай бйлшектерге жікте.



Шешуі
Бйлім -ті сызы›ты› жЩне квадратты› кйпмЇшеліктерге жіктейміз.
. Онда

жазамыз. Ал (3) формуламен элементар бйлшектердіЈ ›осындысына жіктейік.


. Орта› бйлімге келтірсек,
. Бйлімін тастап,
теЈдіктіЈ екі жа“ын х-аргументініЈ дЩрежесініЈ тймендеу ретімен жазса›,
аламыз. х-тіЈ дЩрежесі
бойынша коэффициенттерді теЈестірсек, келесі жЇйені аламыз.

ЖЇйені шешіп, белгісіздерді табамыз . Сонымен,

№38 Кйрсетілген бйлшектерді элементар бйлшектердіЈ ›осындысы тЇрінде жазыЈдар.









10 Рационал бйлшек функцияларды интегралдау
8-ші та›ырыпта“ы (3) формула кез келген рационал бйлшектерді а›ырлы элементар бйлшектердіЈ ›осындысы тЇрінде жазу“а болатын кйрсеттік.

Егер ›арастырып отыр“ан бйлшек б±рыс бйлшек болса, онда осы бйлшектіЈ бйліндісі кйпмЇшелігі мен ›алды“ы ар›ылы жазу“а болады, м±нда кйпмЇшеліктіЈ дЩрежесі -тіЈ дЩрежесінен кіші болу керек. Осы жа“дайда (1)

(1) теЈдеудегі бйлшек д±рыс болса онда оны (3) формуласымен жіктеуге болады. кйпмЇшелігінен жЩне элементар бйлшектерден алынатын интеграл элементар функциялар ар›ылы йрнектелетін бол“анды›тан, кез келген рационал бйлшектіЈ (бйлшек рационал функция) интегралы элементар функция болады деген ›орытынды“а келеміз.

№39 Интегралды тап.



Шешуі

Интеграл таЈбасы астында“ы бйлшек рационал бйлшек. Б±л бйлшекті элементар бйлшектердіЈ ›осындысы ретінде жазайы›.




х-тіЈ бірдей дЩрежесі бойынша коэффициентерді теЈестірейік. Сонда былай

болады, осыдан жЩне

Онда




№40 Интегралды тап


  1. Шешуі


Интеграл таЈбасы астында“ы бйлшек б±рыс бйлшек. Д±рыс бйлшек бйліп алу Їшін алымын бйліміне бйлеміз.



Сонымен,


Алын“ан д±рыс бйлшекті элементар д±рыс бйлшектердіЈ ›осындысына жіктеп жазамыз.

Д±рыс бйлшекті орта› бйлімге келтіріп, бйлімінен ›±тылып, келесі теЈдікті аламыз.
(*)


Сонымен,

жЩне



№41 Интегралды есепте

Шешуі

Берілген интеграл астында“ы функция 37 есепте элементар бйлшектер ›осындысы ретінде берілген.





СоЈ“ы интегралды бол“анда“ы рекурренттік формуламен аны›тайы›.


№42 Интегралдарды табыЈдар






№43 Интегралдарды табыЈдар



№44 Интегралдарды табыЈдар


11 Тригонометриялыфункцияларды интегралдау
Барлы› тригонометриялы› функциялар синус жЩне косинус функциялары ар›ылы рационалды йрнектеледі. Сонымен, кез келген тригонометриялы› функция рационалды тЩуелді болса, онда функцияныЈ жазылуы жЩне тЇрленуі тек ›ана синус жЩне косинус›а байланысты.

Алдымен бЇтін дЩрежелі тригонометриялы› функцияларды, я“ни, мына тЇрде берілген функцияларды ›арастырайы›



(А) м±нда“ы жЩне - бЇтін сандар.

  1. Н±с›ау 1

(А) интегралды табу Їшін жЩне -сандардыЈ біреуі та› жЩне оЈ болу керек. Сонда егер - та› жЩне оЈ болса жЩне егер де -та›, оЈ болса,


, алмастыруларын еЈгіземіз
№45 Интегралдарды есепте


  1. Шешуі

Біз айт›андай, функцияныЈ дЩрежесі та›, бЇтін оЈ сан, онда деп еЈгіземіз, сонда болады. Ендеше




функциясыныЈ дЩрежесі та› жЩне оЈ бЇтін, сонды›тан деп еЈгіземіз, сонда болады. Ендеше,


№46 Интегралдарды есепте





  1. Н±с›ау 2


(А) интегралды есептегенде кйрсеткіш жЩне -сандары ж±п жЩне оЈ (дербес жа“дай: біреуі нольге теЈ ) болса, онда функцияны тЇрлендіру Їшін мына белгілі формулаларды ›олдану жеткілікті.






№47 Интегралдарды есепте






№48 Интегралдарды есепте




Н±с›ау 3
(А) интегралын есептеу кезінде, егерде жЩне -сандары ж±п жЩне біреуі теріс болса, мына жЩне алмастыруды пайдаланамыз.


№50





№51 Интегралдарды есептеЈдер


ШртЇрлі аргументті синус пен косинустардыЈ кйбейтіндісін ›алай интегралдауды ›арастырайы›, бас›аша айтса›, мына тЇрде берілген.
; ; (В)
Н±сау 4
(В) интегралдарды табу Їшін синус жЩне косинустардыЈ кйбейтіндісініЈ формуласын пайдалану ›ажет, олар



№52


№53


№54 Интегралдарды табыЈдар

; ;
Н±сау 5
, м±нда функция жЩне ›ара“анда рационал функциялар бол“анды›тан алмастыруды пайдаланамыз. Б±л алмастырудан берілген интеграл айнымалы“а тЩуелді болады.
Я“ни, (*)
Шынында да,




№55 Интегралды есепте

Шешуі
, , йрнектерді (*) формулаларын пайдаланып ауыстырса›;

№56



№ 57 , алмастыру ар›ылы интегралдарды есепте.

12

тЇрдегі интегралдар
Н±с›ау 1
тЇрде берілген интеграл жЩне тікелей рационалды, сонды›тан немесе алмастыруды ›олданамыз.

Интегралды тап



Шешуі
деп алса›, онда . ИнтегралдыЈ астында“ы йрнекте жаЈа айнымалы пайда болады.

Алын“ан жауапты айнымалы х- пен йрнектесек ,



Сонымен,
Н±сау 2
тЇрде берілген интегралды есептеу Їшін алмастыруды еЈгіземіз.
№59 Интегралды тап

Шешуі
Айталы›, болса,


Ендеше, берілген х- айнымалымен йрнектесек


Сонымен,
Н±сау 3
тЇрде берілген интегралды табу Їшін немесе алмастыруын ›олданайы›.
№60 Интегралды тап


  1. Шешуі


, онда

Алын“ан жауапты берілген х-айнымалысымен йрнектесек


Сонымен,



№61 Интегралдарды есептеЈдер
, , ,




13 љарапайым иррационал йрнектерді интегралдау
Егер интеграл астында“ы функция иррационал болса, онда ол функцияны жаЈа айнымалысы бар рационал тЇрге келтіріп тЇрлендіруге болады.

Н±сау 1

Егер интеграл астында“ы рационал функция х-айнымалыдан тЩуелді жЩне бйлшек дЩрежелі болса, онда , м±нда -кйрсеткіштіЈ еЈ кіші еселігі, алмастыру еЈгізсек, интеграл астында“ы йрнек жаЈа -айнымалысы бар рационал йрнекке айналады.


№62 Интегралды тап


Шешуі

ТЇбір кйрсеткішініЈ еЈ кіші еселігі 6. алмастыру еЈгізсек, онда





№ 63 Интегралды тап

Шешуі
ТЇбір кйрсеткішініЈ еЈ кіші еселігі 12. Онда ,

болады.



Рационал функцияны -айнымалысы Їшін ›арапайым бйлшектер ›осындысына жіктеп жазса›



Бірдей дЩрежелі айнымалылардыЈ коэффициенттерін теЈестіріп,

табамыз.

Сонымен,





№64 Интегралдарды тап




14 Биномиалды дифференциалдарды интегралдау
ирнек м±нда - рационал сандар, биномиалды дифференциал деп аталады.

Ата›ты орыс математигі П.Л. Чебышев дифференциалы биномиалды дифференциал екенін дЩлелдеген, жЩне сонымен ›атар б±л йрнектен алынатын интеграл ›арапайым Їш тЇрлі функциялармен йрнектеледі.

14.1 -бЇтін сан немесе нйлге теЈ;

14.2 - бЇтін сан немесе нйлге теЈ;

14.3 - бЇтін сан немесе нйлге теЈ;

Бірінші жа“дайда -бЇтін оЈ, онда интеграл тікелей интегралданады. Ол Їшін биномды Ньютон формуласымен жіктеу жеткілікті. Егер -бЇтін теріс сан болса, онда алмастыруды еЈгіземіз, м±нда -саны жЩне сандарыныЈ еЈ кіші еселігі .

Екінші жа“дайда бЇтін сан болса, онда алмастыруды пайдаланамыз, м±нда бйлшектіЈ бйлімі.

®шінші жа“дайда бЇтін сан болса, алмастыруды пайдаланамыз, м±нда , -бйлшектіЈ бйлімі.


№65 Интегралды есепте

Шешуі
десек. Б±л жа“дайда - бЇтін емес. Ал
-бЇтін сан.

Сонымен мына алмастыруды ›олданайы› (*)

Онда жЩне


Алын“ан жауапты айнымалы х-пен йрнектесек (*) теЈдіктен мынаны
табамыз. Ендеше,
№66 Интегралды тап

Шешуі

екінші жа“дайда . деп ›ойса›, онда жЩне

Осыдан

м±нда


№67 Интегралды есепте


Шешуі


бЇтін сан емес
Їшінші жа“дай
Мына алмастыру (*)

љолданса›, онда біз жЩне табамыз.



(*) алмастырудан


Сонымен,
№68 Интегралды есепте

Шешуі

М±нда -Їшінші жа“дай.
деп ›ойса›, онда жЩне



ЕЈгізген алмастырудан

бол“анды›тан,
№69 Интегралдарды есептеЈдер

№70 Интегралдарды есептеЈдер




  1. Жауаптары

№3 ;

b) ; г)

;

; з)
№ 4 а) ; б)

в) ; г)

д) ; е)
№7 а) ; б)

в) ; г)

д) ; е)
№8 а) ; б)

в) ; г)

д) ; е)
№9 а) ; б)

в) ; г)

д) ; е)
№10 а) ; б)

в) ; г)
№11 а) ; б)

в) ; г)

д) ; е)
№12 а) ; б)

в) ; г) ;

д)
№15 а) ; б)

в) ; г)

д) ; е)

№16 а) ; б)



в)
№20 а) ; б)

в)
№24 а) ; б)

в) ; с)
№25 а) ; б)

в) ; г)
№28 а) ; б)

г) ;

г)

№32 а) ; б)



в) ; г)

№35 а) ; б)



в) ; г)

№38 а) ; б)



в) ; г)

д) ; е)

№42 а) ; б)



в) ; г)
№43 а) ;

б) ;

в)

№44 а) ;



б) ;
№46 а) ; б)

в) ; г)

д) ; е)
№48 а) ; б)

в) ; г)

д)

№51 а) ; б)



в) ; г)

д) ; е)

№54 а) ; б)



в)

№57 а) ; б)


№61 а) ; б)

в) ; г)

д) ; е)
№64 а) ; б)

в) ; г) ;

д) ; е)

№69 а) ;



б) ;

№70 а) ; б) , м±нда



;

в) , м±нда ;

г) , м±нда
изін йзі тексеру тесті
1.
A) ; B) ; C) ; D) ;

E)

2.
A) ; B) ; C) ; D)

E)


3.
A) ; B) ; C) ; D) ; E)
4.
A) ; B) ; C) ; D) ;

E)


5.
A) ; B) ; C) ; D) ;

E)


6.

A) ; B) ; C) ;

D) ; E)
7.
A) ; B) ; C) ; D) ;

E)


8.
A) ; B) ; C) ;

D) ; E)


9.
A) ; B) ; C) ; D) ;

E)


10.
A) ; B) ; C) ; D) ;

E)


11.
A) ; B) ; C) ; D) ;

E)


12.
A) ; B) ; C) ; D) ; E)
13.
A) ; B) ; C) ;

D) ; E)


14.
A) ; B) ; C) ;

D) ; E)

15.
A) ; B) ; C) ;

D) ; E)


16.
A) ; B) ; C) ; D) ;

E)


17.
A) ; B) ; C) ; D) ;

E)


18.
A) ; B) ; C) ; D) ; E)

19.


A) ; B) ; C) ; D) ;

E)


20.
A) ; B) ; C) ; D) ;

E)


21.
A) ; B) ; C) ;

D) ; E)


22.
A) ; B) ; C) ;

D) ; E)


23.
A) ; B) ; C) ; D) ;

E)


24.
A) ; B) ; C) ; D) ;

E)


25.
A) ; B) ; C) ; D)

E)



Шдебиеттер
1 Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа-М., Наука, 1975

2 Ильясов М.Н. Индивиауальные домашние задания.ч.1,2- ПГУ, 2002

3 Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике( типовые расчеты)-М, высш.шк,1983.

4 Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике-М; Наука,1987.-С

5 Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления- Т.1,2-М., Наука,1978

6 Сборник индивиауальных задании по высшей математике (в 3-х частях). Под ред А.П.Рябушка- Минск, Высш.шк, 1991.-С

7 Шипачев В.С. Основы высшей математики-М, Выс.шк,1989

  1. Мазм±ны

Ал“ысйз 3

1 Аны›талма“ан интеграл 4

2 Аны›талама“ан интегралдыЈ ›асиеттері 5

3 Негізгі интегралдар кестесі 5

4 Тікелей интегралдау 6

5 Айнымалыны ауыстырып интегралдау ( алмастыру Щдісі) 9

6 Бйліктеп интегралдау Щдісі 12

7 жЩне тЇрдегі интегралдар 17

8 ИнтегралдардыЈ та“ы бір тЇрлері жЩне



20

9 Рационал бйлшектерді ›арапайым бйлшектерге жіктеу 22

10 Рационал бйлшек функцияларды интегралдау 26

11 Тригонометриялы› функциялардан рационал тЇрде тЩуелді

болатын функцияларды интегралдау 29

12 тЇрдегі

интегралдар 34

13 љарапайым иррационал йрнектерді интегралдау 37

14 Биномиалды› дифференциалдарды интегралдау 38

15 Жауаптары 42

16 изін йзі тексеру тесті 46

Шдебиеттер 52






Достарыңызбен бөлісу:




©dereksiz.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет