Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық
жүктеу/скачать 1.26 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 3. ЕВКЛИД ЖҮЙЕСІН СЫНАУ
- Бақылау сұрақтары
- Практикалық сабақтар мен СӨЖ тапсырмалары
| AB кесіндісін табаны ретінде алып, AM /B/ үшбұрышына ұқсас APB салынған дейік. Сонда түзуі AP қабырғасымен, ал b түзуі BP қабырғасымен дәлме – дәл келеді, бұдан және b түзулері (P нүктесінде) қиылысатындығы анық, дәлелдеу керегі де осы еді.
Валлис дәлелдемесі берілген үшбұрышқа ұқсас үшбұрыш болады деген ұйғаруға негізделеді. Валлистің мұны білгендігі анық, алайда бұл ұйғаруды ол «Кеңістік қатынастарының ішкі мазмұнынан шығады» деп есептеді. Ол былай деді: «Қандай фигураны болса да формасын өзгертпей, оны шексіз кішірейте беруге де, үлкейте беруге де болатындығы анық». Валлистің ұйғаруы Евклидтің бесінші постулатынан гөрі тәжірибе мен интуицияға жақынырақ екен-дігімен келісуге болар еді, ал одан оның пікірі, осы есептің қойылу тұрғысынан алғанда, дәлелді бола алмайды. Швейцария математигі Луи Бертран (1731 – 1812) ұсынған дәлелдеме. Егер a және b екі түзу үшінші p түзімен қиылысқанда қосындысы 2d-ге тең ішкі тұстас және бұрыштары жасалатын болса, онда жазықтықтың өзара қиылыспайтын a және b түзулері шектеп тұрған бөлігін жазықтыққа шектеусіз көп рет салуға болады. Бұған көз жеткізу үшін қиюшы түзуінің AB кесіндісі осы түзудің бойына қанша қажет болса, сонша рет салынады және осы шыққан нүктелердің әрқайсысынан, түзуінің әрбір көршілес екі түзумен жасайтын ішкі тұстас бұрыштарының қосындысы 2d-ге тең болып отыратын етіп, c, d түзулері жүргізіледі дейік (8-сурет). Енді Евклидтің бесінші постулатын дәлелдеуге көшейік. p түзуі a мен b түзулерін ішкі тұстас және бұрыштарын жасайтындай етіп қиып өтсін, сонда болсын (9- сурет). мен түзулерінің қиылысу нүктесі О арқылы түзуін жүргіземіз, сонда түзуінің және түзулерімен жасайтын ішкі тұстас бұрыштарының қосындысы 2d - ге тең болсын. Егер b түзуі a түзуін қиып өтпесе, онда және түзулерімен жасайтын бұрышы түгелдей қиылыспайтын және түзулерінің арасындағы жолақтың ішіне орналасар еді. Бірақ бұрышы «бүкіл жазықтықта рет орналасады», ал оны сыйғызып тұрған жолақтың өзі жазықтыққа қанша қажет болса, сонша рет орналаса алады. сурет 9-сурет Бұл – қайшылық! Бертран талқылаулары – өз заманына тән шексіз аз және шексіз үлкен шамаларға амалдар қолданумен әуестенушіліктің мысалы. Оның әлсіздігі жазықтықты да, оның шексіз бөлігін де сан жағынан салыстыруға болатын шамалар деп қарастыруға болмайтындығында, оларға әдеттегі арифметикалық қатыстарды қолдануға болмайтындығында. 3. ЕВКЛИД ЖҮЙЕСІН СЫНАУБіз үшін әсіресе қажеттісі ˗ Евклид шығармасының логикалық құрылысын бағалау, енді соны баяндауға кірісейік. «Негіздердің» басты идеясы ˗ геометрияның дедуктивтік формада, яғни алдын ала келісіп алынған санаулы математикалық сөйлемдерден шығатын реттеліп алынған ойша байымдаулардың логикалық тізбегі түрінде баяндау. Бұл дәлелденбейтін негізгі қағидаларды Евклид анықтамалар, аксиомалар және постулаттар (талаптар) түрінде баяндайды, ол бұларды өзінің шығармасының негізгі текстінің алдыңғы жағында тізіп өтеді. Қандай болса да бір терминнің немесе ұғымның мағынасын тағайындайтын сөйлемдер анықтамалар деп аталатыны белгілі. Евклидтің беріп отырған анықтамаларының көпшілігі бізге геометрияның мектепте өтілетін курсынан мәлім. Мұндай анықтамаларға мыналар жатады: тік бұрыш пен перпендикулярдың, доғал және сүйір бұрыштардың, шеңбердің, параллель түзулердің т.б. анықтамалары. Алайда Евклид анықтамаларының көпшілігі, қазіргі кезде оқылмайтындықтан, бізге өзгеше болып көрінеді. Тек 7 және 9 – шы аксиомаларға ғана геометриялық сипатта берілген: 7. Дәл беттесетіндердің бәрі де өзара тең болады. 9. Екі түзу кеңістікті шектей алмайды. Ол алғашқы қадамдарынан бастап˗ақ және кейінгі кездерде де аксиомалар мен олардан шыққан логикалық салдарларынан басқа интуицияны да, яғни көрнектілік түсінікті де, пайдаланып келеді. Баяндаудың мұндай сипаты мектепте оқыту жағдайларында мүмкін болатын және қазіргі кезге дейін кең түрде пайдаланылатын бірден˗бір сипат болып табылады. Алайда мұндай баяндауды дедуктивтік жолмен баяндау деп атауға, әрине болмайды. Евклид «Негіздерінің» бұл ерекшелігін мысалмен келтіру үшін, мәселен, оның аксиомалардан кейінгі тікелей берілген бірінші сөйлемін алайық; ол сөйлем анықтамалар мен аксиомаларға ғана сүйеніп алынған болуы керек, мұның алдында ешқандай сөйлем айтылмаған, сондықтан да бұлайша талқылаудың логикалық құрылысы әсіресе айқын. Фигуралардың теңдігі жөніндегі ілімді Евклид қозғалыс жөніндегі ұғымға негіздеген: үшбұрыштардың теңдігін ол беттестіру жолымен дәлелдейді (қазіргі мектепте өтілетін геометрия курсында да осы әдіс жиі қолданылады). Бірақ аксиомаларда қозғалыс ұғымы анықталмайды, оның қасиеттері ашылмайды. Евклид бұл ұғым жөнінде ешнәрсе айтпастан, оны геометрияға механикадан алып енгізген. Қозғалыстың геометриялық ұғымы мен механикалық (сондай-ақ философиялық) ұғымының арасында елеулі айырмашылығы болатыны жөнінде айтпағанның өзінде, бұл мәселеге бұлайша қарау геометрия құрылысының дедуктивтік принципін бұзады. Евклид қабылдаған аксиомалар жүйесінен басқа да көптеген кемшіліктерді көруге болады. Мысалы, оның аксиомаларының ішінде геометрияда үлкен роль атқаратын және оны логикалық жолмен баяндау үшін дәл анықтама беруді қажет ететін «арасында», «бір жағына карай» «ішінде» т.с.с. қатынастарды сипаттайтын аксиомалар жоқ. Бұларсыз нүктелердің түзудің бойында орналасу тәртібімен, жазықтықты түзумен бөлумен, бұрыштың немесе көпбұрыштың т.с.с. ішкі және сыртқы облыстарын анықтаумен байланысты мәселелерді қарастырған. *Яғни центрі А нүктесінде болатын, радиусы АВ-ге тең шеңбер. **Үздіксіздіктің аксиомалық анықтамасы XIX ғасырда ғана табылған кезде логикалық жолмен баяндаудан гөрі әр жолы интуиция арқылы сызбамен көрнекілікке шешуші мән беріледі*. Геометрияны логикалық жағынан дәлелдеу үшін Евклид аксиомаларының жеткіліксіздігі оның шығармаларының дедуктивтік әдіс тұрғысынан алғандағы негізгі кемістігі болып табылады. Көне заманда өмір сүрген екінші бір ұлы математик және инженер Архимед (б.з. дейінгі 287 – 212 жылдар) «Шар мен цилиндр жөнінде» деген өзінің әйгілі шығармасында Евклид аксиомаларын тағы да бес аксиомамен толықтырады. Архимед аксиомаларынан біз үшін ең негізгілері біріншісі мен бесіншісі: 1. Түзу сызық дегеніміз – екі нүктенің ең жақын арасы. 5. Тең емес екі кесіндінің кішісін жеткілікті рет қайталап алғанда үлкенінен артып кетеді. Евклид шығармасының аксиомалар жүйесінің толық еместігімен қатар логикалық жағынан кемшіліктері бар екенін атап өтуге болады. «Негіздердің» әлсіз жерінің бірі ондағы берілген анықтамалар болып табылады. Евклид анықтамалары көбінесе тиімді емес: олардың бір қатарын (мысалы, жоғарыда келтірілген 1, 2, 4-анықтамаларды қараңыз) әрі қарай қорытынды шығару үшін пайдалануға болмайды, өйткені олардың мағынасы көмескі. Кейбір жағдайда (мысалы 4- анықтама) біз бір терминнің (шекара) екінші бір терминмен (шет) алмастырылғанын байқаймыз. Бұл түсінік беру үшін жарамды және мұндай анықтаманың едәуір білімдік немесе методикалық жағынан бағалы болуы да мүмкін, дегенмен логикалық жағынан олар мазмұнсыз болып табылады. Евклид анықтамалары жүйесінің осалдығы тағы бір жағдаймен де байланысты. Бір ұғымды анықтау дегеніміз – оны бұрыннан белгілі басқа ұғымдар арқылы түсіндіру. Бірақ мұндай процестің, яғни бір ұғымды екінші ұғымға келтіру процесінің тұйық та, шексіз болуы мүмкін емес. Сондықтан кез келген ғылыми жүйені құрастырған кезде кейбір анықталмайтын, алғашқы негізгі ұғымдар қажетті түрде пайда болады. Логикалық ғылыми жүйеде мұндай ұғымдарды тиянақты түрде анықтап атау қажет. Ал «Негіздерде» бұл орындалмаған. Евклидтің төртінші постулаты теорема болып шықты және кейін ол дәлелденді (1889 жылы Д. Гильберт дәлелдеді). Сөйтіп, Евклид геометрияны тап-таза логикалық ілім деп санағанымен, оны логикалық жағынан мінсіз етіп баяндай алмады. Екінші жағынан, жоғарыда айтылғандай, Евклид практика үшін маңызды бір қатар геометриялық есептерді, мысалы, шеңбердің ұзындығын, дөңгелектің ауданын өлшеу, шардың бетін және көлемін табу сияқты есептерді ескерусіз қалдырды. Бұл олқылықтардың орнын едәуір дәрежеде толтырған Архимед болды. Кемістіктеріне қарамастан, Евклид шығармасы өз заманы үшін ерекше терең де айқын еңбек болды. Бұл шығарманы ондаған ұрпақ оқып, өсіп жетілді. Евклид «Негіздері» зор екпінмен дамыған адамзат тарихының көптеген ғасырларын басынан кешірді. Бұл кітап осы күнге дейін зерттеуші үшін де, педагог үшін де өз маңызын жоғалтқан жоқ. Қазіргі геометрия оқулықтарының бәрінен де ғылыми ойдың осы ғажап шығармасының ізі байқалады. «Негіздер» қазіргі кезде дүние жүзіндегі барлық тілдерде дерлік жарық көрді және 1428 жылдан бастап бес жүз реттен де көбірек қайта басылды. Бақылау сұрақтары:Евклид «Негіздер» еңбегінің тарихи мағынасы. «Абсолюттік» және «Евклидтік» сөйлемдер дегенді қалай түсінуге болады. Евклидтің 5 постулаты қалай оқылады? Оның геометрияның даму тарихындағы ролі. Практикалық сабақтар мен СӨЖ тапсырмалары:жүктеу/скачать 1.26 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|