Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық
жүктеу/скачать 1.26 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- ГИЛЬБЕРТТІҢ АКСИОМАЛАР ЖҮЙЕСІНІҢ ҚАЙШЫЛЫҚСЫЗДЫҒЫ
- Бақылау сұрақтары
- Практикалық сабақтар мен СӨЖ тапсырмалары
| Аксиоманың екінші тобы: реттілік аксиомалары.
Бұл топтағы аксиомалар «аралық» ұғымы мен байланысты және осы ұғым арқылы кеңістіктегі жазықтықтың, нүктелердің, түзулердің реттілігінің негізін қалайды. II1. Егер В нүктесі А және С нүктелерінің аралығында жатса, онда А,В,С нүктелері бір түзудің бойында және В нүктесі С және А нүктелерінің аралығында жатады. II2. Кез келген А және С нүктелері бір түзудің бойында жатады. А,С нүктелерімен қатар сол түзуге кем дегенде бір В нүктесі тиісті және С нүктесі А және В нүктелерінің аралығында жатады. II3. Бір түзудің бойында жататын үш нүктенің кем дегенде біреуі екі нүктенің арасында жатады. II4. Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте А,В,С және осы нүктелерден құралған АВС жазықтығын а түзуі қиып өтсін, осы нүктелердің ешқайсысы а түзуінде жатпайды. а түзуі АВ кесіндісін қию үшін АС немесе ВС кесіндісін қиып өтеді. Аксиоманың үшінші тобы: конгруенттілік аксиомалары. Бұл топтағы аксиомалар конгруенттілік ұғымына және сол сияқты қозғалыс ұғымына байланысты. III1. Егер А,В нүктелері а түзуіне тиісті және сол сияқты А| нүктесі а| түзуіне тиісті болсын, онда а| түзуінен әрқашанда В| нүктесі табылады. Сондықтан АВ кесіндісі А| В| кесіндісіне конг-руентті немесе тең АВ А/ В / III2. Егер А| В| кесіндісі және А|| В|| кесіндісі АВ кесіндісіне конгруентті болса, онда А|В| кесіндісі А||В|| кесіндісіне конгруентті болады, яғни, егер екі кесінді үшінші кесіндіге конгруентті болса, онда олар бір-біріне конгруентті. III3. Егер АВ және ВС а түзуіндегі ортақ нүктесі жоқ кесінділер және А| В| пен В|С| а| түзуіндегі ортақ нүктесі жоқ кесінділер болсын; егер осыдан АВ А/ В / және ВС В/С / , онда АС А/С / III4. α жазықтығында (h, k) бұрышы мен сол жазықтықта немесе басқа бір α/ жазықтығында һ/ түзуі, сондай-ақ һ/ түзуіне қарағанда α/ жазықтығының белгілі бір жарты жазықтығы берілген болсын. h| - һ/ түзуінің О нүктесінен шығатын сәуле болсын. Сонда α/ жазықтығында О/ нүктесінен шығатын және <(h, k) <(h, k ) болатындай бірден – бір к/ сәулесі болады, мұнда h| , к / бұрышының барлық ішкі нүктесі α/ жазықтығының берілген жарты жазықтығында жатады. Əрқашанда әрбір бұрыш өз-өзіне конгруентті <(h, k) <(h, k ). III5. Егер екі үшбұрыш АВС және А|В|С| бір-біріне конгруентті болса АВ А/ В / , АС А/С / В АС В / А/С / онда конгруентті АВС А/ В /С / . Аксиоманың төртінші тобы: параллелдік аксиомалары. а түзуі бар дейік, түзуге тиісті емес нүкте берілген, олар жазықтықта анықталған болсын. а түзуімен қиылыспайтын А нүктесі арқылы көптеген түзулер жүргізуге болады және олардың біреуі а түзуіне параллель болады. Аксиомасының бесінші тобы: үзліссіздік аксиомалары. V1. (Архимед аксиомасы ). Егер қандайда бір АВ және СD кесінділері бар болсын; онда түзудегі АВ кесіндісі А1, А2, А3,…,Аn нүктелерді қабылдайды, сондай-ақ, сол нүктелерден құралған кесінділер АА1, А1 А2, А2 А3 ,…, Аn-1 Аn конгруентті СD кесіндісіне және В нүктесі А және Аn нүктелерінің арасында жатады. V2. Түзудегі нүктелерден жүйе құралады, сызықтық реттілігі сақталған, бірінші конгруенттілік аксиомаларына және Архимед аксиомаларына ешқандай рұқсат етілмеген, осы нүктелер жүйесіне тағы да осылай нүктелер енгізу, себебі, жүйе бастапқы және енгізілген нүктелер толық, барлық аксиомаларға тиісті. ГИЛЬБЕРТТІҢ АКСИОМАЛАР ЖҮЙЕСІНІҢ ҚАЙШЫЛЫҚСЫЗДЫҒЫа түзуі мен А а нүктесі берілсін. Онда (А,а) жазықтығында жатып, а нүктесінен өтіп, а түзуімен қиылыспайтын түзулердің саны бірден аспайды. Ондай ( А нүктесінен өтіп, а түзуіне параллель болатын) түзудің болатындығы жоғарыда дәлелденген. ескертпе. Гильберттің аксиоматикасын біз оқу құралдарында айтылып жүргеніндей етіп баяндадық. Гильберттің «Геометрия негіздемелерінде» IV топтың аксиомасы, ал V топтың аксиомалары ретінде үздіксіздік аксиомалары алынған, мұнда Гильберт Кантор аксиомасының орнына басқа аксиома алып, оны сызықтық толымдылықтың аксиомасы деп атаған. Бұл аксиоманың тұжырымдауы тым шұбалаңқы, сондықтан біз оны келтірмейміз. ескертпе. Үздіксіздік аксиомаларын пайдаланып, нақты сандардың R жиыны үстінде түзу нүктелері жиынының ретін сақтайтын биекция болатындығын дәлелдеуге болады. Сонымен, түзудің бойындағы нүктелер, R жиынындағы сандардай, үздіксіз, біріне – бірі иін тіресе орналасады. 2. Үш өлшемді нақты евклидтік кеңістікке арналған Вейль аксиомаларының жүйесін деп, ал Гильберттің I–V аксио- маларының жүйесін деп белгілейік. Егер теоремасында жүйесінің барлық сөйлемдері дұрыс болса, ал теориясында пен жүйелері өзара эквивалент жүйелер деп аталады. Бұл жағдайда біз бір ғана теорияға келеміз: және принциптік жағынан алғанда аксиомалардың пен жүйелерінің қайсысын негізгісі деп есептесе де бәрібір. Алайда бұл тек принциптік жағынан ғана солай. Ал практикада аксиомалар жүйесінің (аксиомалардың өзара эквивалент жүйелері жиынынан) сәтті түрде таңдалып алынуы теорияның жасалуын айтарлықтай оңайтылуы мүмкін. Аксиомалардың W және H жүйесінің біріне – бірі эквивалент екендігін дәлелдеуге болады. Ескертпе. Е3 евклидтік кеңістіктің структурасын анықтағанда Гильберт те Евклидте болған E, F, G жиындарының базасын алады және Гильберт негізгі қатынастарды атап көрсетеді (Евклид бұл қатынастарды атап көрсетпеген, Евклид заманындағы математика жағдайында оларды ешкімнің де атап көрсетуі мүмкін емес еді), осы қатнастардың қасиеттерін сипаттайтын аксиомалардың тізімін береді. Сонымен, Гильберттің аксиоматикасы Е3 кеңістігінің геометриясын «Евклидтің өз рухында» жасауға бейімделген. Жоғарыда айтылғанындай, осы күнгі аксиоматикалық әдіс те, қазіргі мағынадағы математикалық структуралардың теориясы да Гильберттің «Геометрия негіздемелерінен» басталды. Сондықтан Гильберттің бұл кітабы математика тарихында берік орын алды. Алайда қазіргі ғылым тұрғысынан алғанда Гильберттің аксиоматикасы тым күрделі және қажеттен тыс шұбалаңқы болып табылады (мұның солай екендігі белгілі алгебралық структуралардың, мәселен, группаның, сақинаның, өрістің, аксиоматикаларымен салыстырғанда айқын көрінеді). Бұл аксиоматика арқылы геометрияның түйінді теоремаларына жеткенше, оған дейінгі аралықтағы сан алуан леммалардың, теоремалардың және салдарлардың шытырманынан өткенше, шыдамдылықпен көп күш жұмсау керек. Гильберт аксиоматикасының тағы да бір кемшілігі оның векторлық кеңістік ұғымымен ішкі байланысының жоқтығы болып табылады, ал қазір бұл кеңістік математикада аса маңызды роль атқарады. Неміс математигі Герман Вейль 1918 жылы кеңістіктің өзі құрасиырған аксиоматикасын ұсынды, онда векторлық кеңістік ұғымы кең түрде қолданылады. Вейль ұсынған аксиомалардың тізімінде 15 аксиома бар. Онда алдымен 1–2 аксиомалар келтіріледі, олар осы кітапта пайдаланылып отыр. Одан кейін векторлық кеңістіктің 8 аксиомасы, «өлшемділік аксиомасы» делінетін (көшірулердің V кеңістігінің өлшемділігін тағайындайтын) бір аксиома және V векторлық кеңістігі үстінде берілген g бисызықтық форманың қасиеттерін тағайындайтын төрт аксиома бар. Қазір векторлық кеңістіктің теориясы математиканың барлық салаларын кеулеп кеткен жағдайда және алгебра курсында жан – жақты айтылатын жағдайда евклидтік кеңістік структурасын анықтауда векторлық кеңістіктің структурасын әбден мәлім деп есептеу қолайлы болады. Евклидтік кеңістік структурасын анықтаудың басқаша жолдарын неміс математигі Ф. Бахман мен француз математигі Г. Шоке ұсынады. Ф. Бахман өзінің теориясының негізіне осьтік және центрлік симметрияларды алады да, геометрияны өзінше бір «симметриялар есептемесі» ретінде дамытады. Г.Шокенің аксиоматикасы параллельдік, перпенди-кулярлық және ара қашықтық ұғымдарына негізделген, бұл теория да белгілі бір мағынада Вейль мен Бахман аксиоматикаларының аралығынан орын алады деуге болады. Бақылау сұрақтары:Гильберт аксиомалар жүйесінің математикалық структурасы. Гильберт аксиомаларының қайшылықсыздығы. Гильберт аксиоматикасының негізгі объектілері және негізгі қатынастары. Қандай теорияны абсолюттік геометрия деп атайды?. Гильберт аксиоматикасын құрайтын қандай аксиомалар топтарынан тұрады. Практикалық сабақтар мен СӨЖ тапсырмалары:Гильберттің I-ші топ аксиомаларын пайдаланып, әрбір жазықтыққа бір түзудің бойында жатпайтын кемінде үш нүкте тиісті болатынын дәлелдеңіз. I-ші және II-ші топ аксиомаларын пайдаланып кесіндінің ішкі нүктелер жиыны бос емес екендігін дәлелдеңіз. Кез келген тең қабырғалы үшбұрышты оның орта сызықтары бойымен бүктеп және оның қабырғаларының сәйкес бөліктерін желімдеп, тетраэдр алуға болатыны белгілі. Осы әдіспен кез келген үшбұрышты тетраэдр алу үшін үшбұрыштың бұрыштары қандай шартты қанағаттандыруы тиіс? Айқас екі түзудің арасындағы бұрышы 900. Ұштары осы түзулерде жататын d ұзындығы берілген кесінділердің орта нүктелерінің жиыны қандай фигура болады? Тетраэдрдің қарсы жатқан екі қыры квадраттарының қосындысы қалған қарсы жатқан қырларының орталарын қосатын кесінділердің ұзындықтары квадраттарының қосындысынан екі есе артық болатынын дәлелдеңіз. Дұрыс төртбұрышты пирамида табанының қабырғасы а – ға тең, ал төбесіндегі жазық бұрышы –ға тең. Бұл пирамида төбесінен өтетін және табан қабырғасына параллель түзуден айналдырылған. Пайда болған дененің көлемін есептеңіз. Шарға конус сырттай сызылған. Конустың осьтік қимасының төбесіндегі бұрышы . -ның қандай мәнінде конустың көлемі ең кіші мән қабылдайды? мен жазықтықтары АВ түзуінің бойымен қиылысады. а түзуі жазықтығына да, жазықтығына да параллель. а мен АВ түзулері параллель болатынын дәлелдеңіз. жазықтығы АВС үшбұрышының ВС қабырғасына параллель және АВ қабырғасының ортасы арқылы өтеді. жазықтығы АС қабырғасының да ортасы арқылы өтетінін дәлелдеңіз. С нүктесі АВ кесіндісінде жатыр, АВ:ВС = 4:3. В нүктесі арқылы өтетін жазықтығына параллель СD кесіндісі 12 см-ге тең. AD түзуі жазықтығын қайсыбір Е нүктесінде қиятынын дәлелдеңіз және ВЕ кесіндісін табыңыз. жүктеу/скачать 1.26 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|