Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық

V*. а түзуі мен
А а
нүктесі берілсін. Онда (А, а)

жазықтығында А нүктесінен өтіп, а түзуін қиып өтпейтін ең кем дегенде екі түзу болады.
V*. аксиомасы мен Евклид геометриясының барлық аксиомаларын (V постулаттан басқасын) пайдалана отырып, Лобачевский өзінің жазықтықтағы және кеңістіктегі геометриясын дамытады, тригонометриялық формулаларды табады және анализдің осы жаңа геометрияда қолданылуын көрсетеді. Жаңа геометрияны ғалым өзі «болжам геометрия» деп атады (ол кейін Лобачевский геометриясы немесе гиперболалық геометрия деп аталатын болды). Өзінің геометриясы еш уақытта қайшылықтарға келтірмейтіндігін дәлелдеу мақсатымен, Лобачевский бұл геометрияның аналитикалық зерттеуін келтіреді және бұл проблеманы

бұрыштарының  _ABC
қосындысы 2d-ден кем болады.

Саккери – Лежандрдың 1 – теоремасы бойынша

 _ABC  2d . Ал
^ ABC
 2d
деп ұйғарсақ, V постулат дұрыс

болып шығады, ол V* аксиомаға қайшы келеді. Сондықтан,
 _ABC  2d .
Салдар. Кез келген жай төртбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы 4d-ден кем болады.
АВСD жай төртбұрышының қосындысы
 _ABC   _ACD  2d  2d  4d . 2–теорема. Үшбұрыш бұрыштарының қосындысы тұрақты шама емес, басқаша айтқанда, ол қосынды барлық
үшбұрыштарда бірдей болмайды.
Керісінше ұйғарып, бұл қосынды тұрақты делік. және нүктелері АВС үшбұрышының [AB] және [BC] қабырғаларының ішкі нүктелері болсын (10–сурет). Ұйғаруымыз бойынша
 _ABC   _A1B1C1 , яғни

 ^/     ^/
        ^/   ^/     , (1)

(2)
 ^/    2d ,  ^/   2d    ^/   ^/      4d ,

^{(1), (2)}       
 4d
шығады, яғни