Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық

Бояи-Гервин теоремасы. Венгер математигі Фаркаш Бояи (1832) және неміс офицері - математика әуесқойы - Гервин (1833) – көп-бұрыштардың қызық бір қасиетін тағайындады, осы параграфта көпбұрыштардың сол қасиетін қарастырайық.

1. 
   теорема. Тең шамалы үшбұрыштар тең құрылған болады.
   

АВС ^т/ш А^/ В^/С ^{/ екендігі берілген болсын.}
Егер бұл үшбұрыштар конгруентті болса, онда теореманың дұрыстығы айқын болады. Бұл олай емес дейік, және анық болу үшін, АВ > А¹В¹ деп алайық. В¹D¹ – А¹В¹ түзуіне параллель түзу. А¹ нүктесін центрі етіп алып, АВ радиуспен шеңбер сызамыз (40 – сурет).
40-сурет

В^/-осы шеңбердің ішкі нүктесі болғандықтан, В^/D^/ түзуі осы шеңберді екі нүктеде қиып өтеді. В^{/ /}-екі қиылысу нүктесінің бірі болсын. Сонда тең құрастырылған және тең шамалы фигуралар тақырыбындағы 2-теоремадан шығатын салдар

бойынша,
А^/ В^/С ^/
т/қ
_А/ _В // _С /
. Демек, теореманың шарты

бойынша,
АВС
т/қ
_А/ _В // _С /
екендігін табамыз. Осы

үшбұрыштардың СР және С^/Р^/ биіктіктерін жүргізсек, мынадай теңдік шығады: (АВ) (СР) (А^/В^//)(С^/Р^/).
Ал салу бойынша, АВ=A^/В^// болғандықтан, (СР) (С^/Р^/) болады демек, СР С^/Р^/.

2. 
   теорема. Əрбір көпбұрыш қандайда бір үшбұрышпен тең құрастырылған болады.
   

Қандай да бір М көпбұрышы берілген дейік. Он _{1, 2,..., п} үшбұрыштарына жіктейік. Осы үшбұрыштардың а₁, а₂, ..., а_п табандары, һ_1, һ₂, ..., һ_п биіктіктері болсын. Тағы да кез келген һ кесіндісін қарастырайық және b_i (і 1,2,...,п) кесінділерін салайық. АС-барлық b_i кесінділерінің қосындысына тең кесінді, D-осы кесіндінің нүктесі, DB перпендикуляр DC, DB һ (41 –
сурет).

41-сурет

В нүктесін b кесінділерінің ұштарымен қосамыз; сонда АВС үшбұрышы трансверсалдық түрде үшбұрышқа жіктеледі.
Мұнда a_i h_i b_ih болғандықтан b_ib_i a_ih_i b_ih болады және сондықтан _і т/ш _і^/.
Демек, алдыңғы теорема бойынша бұдан М т/қ АВС екендігі анықталады.

3. 
   теорема. Тең шамалы көпбұрыштар тең құрастырылған болады.
   

натурал n_i
және m _j сандары бар болады (мұндағы ^ _i
және  _i

берілген екі көпжақтың екі жақты бұрыштары, d –тік бұрыш, k-
бүтін сан).
Ден – Каган теоремасы деп аталатын белгілі бұл теоремадан табандары тең шамалы және биіктіктері конгруентті болып келген екі пирамида тең құрастырылған болмауы да мүмкін.
Пирамиданың көлемін анықтау үшін шек теориясын қолдануға тура келетіндігі де (математиктердің аңғармағандығынан) осыдан болып отыр, бұл жағдайда жіктеу әдісінің «жұмыс атқармайтындығы» кездейсоқ емес.