Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық
жүктеу/скачать 1.26 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- ҚАЗІРГІ АКСИОМАЛАУ ӘДІСІНІҢ
| Мысал. Абельдік группалар структурасын анықтайтын
аксиомалардың жүйесі А1-А4 аксиомаларынан және А5 :a, b b, a, a, b E аксиомасынан құралады. А5 аксиомасының А1-А4 аксиомаларына тәуелсіз екендігін дәлелдейік. Ол үшін аксиомалардың ∑*={A1,A2,A3,A4, А 5} жүйесінің қайшылықсыздығын дәлелдеу жеткілікті, мұндағы А 5 аксиомасы А5 аксимасының терістеуі, атап айтқанда А5 : a, b Е | a, b b, a. Алайда ∑* жүйесінің қайшылықсыздығы коммутативті емес топтардың болуынан шығады (мысалы, реті n ≥2 болған жағдайда нақты сандардың R өрісі үстіндегі азғындамаған квадрат матрицалардың GL (n, R) мультипликативтік группасы коммутативті болмайды). Ескертпе. Егер А аксиомасы ∑ жүйесіндегі қалған аксиомаларға тәуелсіз болса, онда аксиомалардың ∑* жүйесі қайшылықсыз болады және ол Т текті структуралардан өзгеше T* текті структураларды анықтайды. Ондай жағдайлармен ІІІ тарауда, Гильберт аксиомаларының жүйесін қарастырғанда, кездесеміз. ∆1, ∆2, ..., ∆k қатынастарының қасиеттерін сипаттайтын аксиомалардың қайшылықсыз ∑ жүйесі берілсін. Төмендегі шарттарды қанағаттандыратын А аксиомасы бар делік: а) А аксиомасы жаңа қатынастар тудырмайды; b) ол ∑ жүйесінің аксиомаларына тәуелсіз; г) аксиомалардың ∑𝖴{A} жүйесіне қайшылықсыз. Осы үш шарт орындалғанда аксиомалардың ∑ жүйесі толымсыз жүйе деп аталады. Ал, егер ондай А аксиомасы болмаса, онда ∑ жүйесі аксиомалардың толық жүйесі деп аталады. Аксиомалардың ∑ жүйесі толымсыз болсын, яғни жоғарыда айтылған а), b), г) шарттарды қанағатандыратын А аксиомасы табылсын. Сонда г) шарт бойынша аксиомалардың ∑′= ∑𝖴{A} жүйесі қайшылықсыз болады, ал b) шарт бойынша А аксиомасы ∑ жүйесіндегі аксиомаларға тәуелсіз болғандықтан, аксио- малардың ∑′′=∑𝖴{ А } жүйесі де қайшылықсыз болады. ∑′ жүйесінің интерпретацияларының бірін M′ арқылы, ∑′′ жүйесінің интерпретацияларының бірін M′′ арқылы белгілейік. ∑ ⊂ ∑′ және ∑ ⊂ ∑′′ болғандықтан, M′ пен M′′ интерпре- тациялары да аксиомалардың ∑ жүйесінің интерпретациялары болып табылады. Бірақ M′ интерпретациясында А аксиомасы орындалып, M′′ интерпретациясында A аксиомасы («А емес») орындалатындықтан, ∑ жүйесі үшін M′ пен M′′ интерпретациялары изоморфты болмайды. Сонымен, аксиомалардың ∑ жүйесі толымсыз болса, онда оның өзара изоморфты болмайтын интерпретациялары болады. Сондықтан, аксиомалардың ∑ жүйесінің толық екендігін (яғни толымдылығын) дәлелдеу үшін, оның барлық интерпретацияларының өзара изоморфты екендігін дәлелдеу жеткілікті болады. мысал. Біз кітаптың 2 бөлімінде R өрісі үстіндегі барлық n - өлшемді аффиндік кеңістікке арналған Вейль аксиомаларының {1,2} жүйесі толық жүйе болады. R өрісі үстіндегі n - өлшемді евклидтік En кеңістікке арналған Вейль аксиомаларының {1,2,3} жүйесінң де толымдылық қасиеті болады. Бұл жәйт тосын адамға қисынсыз болып көрінуі мүмкін. En кеңістігі аксиомаларының жүйесі 3-аксиоманы қосу арқылы An кеңістігі аксиомаларының жүйесінен құрастырылатын еді ғой. Мәселе мынада: айтылып отырған 3-аксиома жүйеге жаңа қатынас – көрушілер кеңістігінде векторлардың ортогональдық қатынасын енгізеді. Сондықтан En кеңістігінің {1,2,3} аксиомалары анықтайтын T′ структурасының тегі An кеңістігінің {1,2} аксиомалары анықтайтын Т структурасының тегінен өзгеше болады және T′ ⊂ T болады. мысал. Группалар структурасын анықтайтын А1-А4 аксиомаларының жүйесіне жаңа қатынас енгізбейтін және алдыңғыларға тәуелсіз А5 аксиомасын қосу арқылы қайшылықсыз А1-А5 аксиомаларының жүйесін құруға болатындығы А1-А4 аксиомалары жүйесінің толымсыздығы жөнінде қорытынды жасауға мүмкіндік береді. Аксиомалардың ∑ жүйесі қайшылықсыз және Т текті структураларды анықтайтын болсын. Егер осы структуралардың бәрі изоморфты болса, онда (Т) теориясын бір мәнді теория дейді. Ал, Т текті структуралардың кейбіреулері ғана изоморфты болып, кейбіреулері изоморфты болмаса, онда (Т) теориясын көп мәнді теория дейді. Біз енді An кеңістігінің геометриясы мен En кеңістігінің геометриясы – бір мәнді теориялар, ал группалар теориясы – көп мәнді теория дей аламыз. «Көп мәнді теорияларды зерттеу – қазіргі математиканың классикалық математикадан айырмашылығын сипаттайтын ең көрнекті белгісі» (Н.Бурбаки). ҚАЗІРГІ АКСИОМАЛАУ ӘДІСІНІҢжүктеу/скачать 1.26 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|