Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық
жүктеу/скачать 1.26 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Бақылау сұрақтары
- Практикалық сабақтар мен СӨЖ тапсырмалары
| ПАЙДА БОЛУЫ
XIX-ғасырда геометрия мәселелері қарқынды түрде зерттеле бастады, оның ішінде геометрия негіздері, дифференциалдық геометрия, проективтік геометриялар айрықша дамыды. Басында мақсаттары, әдістері әртүрлі болғанмен ғасыр аяғында олар тығыз жақындасып, кейбір мәселелерді қарастыруда бірігіп кетті. Бұл үлкен табыстарға жеткізді, жаңа проблемалар туғызды, олар осы күнге дейін зерттелуде. Геометрия негіздерінің екі басты мақсаты бар. Геометрияны мүмкіндігінше аз санды аксиомаларға сүйеніп логикалық түрде құру. Геометрия сөйлемдерінің арасындағы логикалық тәуел- ділікті тексеру. Бұл мақсаттарды жүзеге асыруды Евклид бастап, оның комментаторлары жалғастырған болатын. 5- постулат проблемасын шешуге арналған зерттеулер осы постулаттың басқаларынан тәуелділігі туралы болған еді, сондықтан бұлар геометрия негіздеріне жатқызылады. Лобачевский 5-постулаттың қалғандарынан тәуелсіздігін дәлелдеп, геометрия негіздерінің іргелі мәселесінің бәрін шешті және геометрия мағынасын түсінуді кеңейтіп, оны негіздеу мақсаттарын жаңартып қойды. Бұл бағытта маңызы күшті келесі жұмыстың авторы Б.Риман болды. Ол өзінің 1854ж. басылған «Геометрия негіздерінің болжамдары туралы» деген еңбегінде геометрияның аналитикалық принциптерін дамыта отырып, Евклид, Лобачевский геометрияларынан басқа жаңа геометриялық теория жасады. Бұл геометрияда түзуде жатпайтын нүкте арқылы сол түзуге паралель болатын бірде-бір тузу жүргізуге болмайды, үшбұрыш бұрыштарының қосындысы екі тік бұрыштан артық болады. Сөйтіп, Риман абсолют геометрия аксиомалар жүйесін өзгертіп жіберді. Сонымен, XIX-ғасырдың ортасында геометрия негіздерін құру бағытында елеулі жұмыстар істеліп жарияланды. Бірақ, элементар геометрияның толық аксиомалар жүйесі әлі де болса құрылмаған еді. Бұл жұмыспен көптеген ғалымдар, атап айтқанда Паш, Пеано, Пьери, Гильберт, Вейль, Бахман, т.б. айналысқан. Олардың ішінде ерекше орын алатын Д.Гильберттің «Геометрия негіздері» (1899ж) деген еңбегі. Бұл еңбектің авторы 1903 жылы халықаралық Лобачевский атындағы сыйлықтың лауреаты болды. Гильберт бұл кітабында Евклид геометриясының толық аксиомалар жүйесін айқындап, геометрияны логикалық жолмен құруды бірінші рет мүлтіксіз орындады және ол ұсынылған аксиомалардың тәуелсіз екенін дәлелдеп көрсетті. Гильберттен кейін де геометрия аксиомалар жүйесін құру жұмысымен айналысқан адамдар болды, олардың ішінде елеулілері деп Вейль мен Бахманды атауға болады. Қазіргі кездегі аксиомалау әдісінің Евклид «Бастамаларынан» түбірлі өзгешелігі бар. Негізгі геометриялық ұғымдардың сипаттамасы немесе анықтамасы болмайды, тек сондай тетіктер жиыны бар деп есептеледі. Мысалы, Гильберт аксиомалар жүйесінде «нүктелер», «түзулер», «жазықтықтар» жиындары құр емес деп жарияланады. Олар айқын тағайындалған шарттарды қанағаттандыруы керек. Ондай шарттар мыналар: Нүктелер, түзулер, жазықтықтар, олардың кейбір ішкі жиындары (кесінділер, бұрыштар) үшін "тиісті", "арасында", "тең" деген қатынастар тағайындалған. Бұл тетіктер, қатынастар қабылдаған аксиомаларды қанағаттандыруы керек. Таңдалған негізгі ұғымдар, қатынастар, аксиомалардың түпкі тамыры тәжірибеден шығады, бірақ осыларға сүйеніп геометриялық теория құру үшін олардың аксиомаларда тағайындалған логикалық қатынастан басқа қасиеттері, мысалы, түр-түсі көрнекілігі керек емес, ондай қасиеттер аксиомаларда еске алынбайды. Сондықтан "нүкте", "түзу", "жазықтық" дегендер не болса да бәрі бір, тек олардың өзара қатынастары аксиомаларда қойылған талаптарды қанағаттандырса болғаны. Геометрияның негізгі ұғымдарына осындай көзқарастың қалыптасуы төмендегі жайттарға байланысты. Геометрия ұғымдары тәжірибеге негізделіп қалыптас- қанмен бертін келе абстрактылық сатыға көтеріліп, өздерінің физикалық және басқа қасиеттерінен толық арылып, тек логикалық қатынастарын сақтап қалды. "Нүкте", "түзу", "жазықтық" сияқты сөздер айтылғанда ойға келіп, көзге елестейтін образдардың логикалық ой қалыптастыруға ешқандай пайдасы жоқ, сондықтан олар негізгі қасиеттер арасында аталмауы керек. Геометрия жалғыз емес. Үйреншікті Евклид геометрия- сынан басқа Лобачевский және Риман геометриялары да бар. Егер Евклид геометриясының ұғымдары түсінікті, көңілге жатық болса, Лобачевский немесе Риман геометрияларындағы сондай ұғымдар, олардың қасиеттері көрнектілікке сәйкес келмейді. Негізгі ұғымдар ортақ болуы үшін көрнектіліктен толық бас тартып, олардың тек логикалық қатынастарын қарастырған дұрыс болады. Бұл айтылғандарға сәйкес геометриялық кеңістік дегеніміз элементтердің арасындағы қатынастар берілген аксиомалар жүйесін қанағаттандыратын кез –келген жиын болып табылады. Осылайша қарастырғанда Евклид кеңістігі деп элементтері Евклид геометриясының аксомалар жүйесін қанағаттандыратын қандай да болмасын жиынды айтатын боламыз. Тиянақты жиын алып, оның элементтеріне нүкте, түзу және жазықтық деген атаулар беріп, олар үшін берілген аксиомаларды қанағаттандыратын "тиісті", "арасында жатады", "тең" деп аталатын қатынастар тағайындалса, аксиомалар жүйесінің интерпретациясы (лат.interpretatio-түсіндірме) немесе моделі немесе жүзеге асырылуы (реализация) берілді дейді. Интерпретация аксиомалар жүйесінің қайшылықсыз екендігін дәлелдеуге қолданылатын негізгі әдіс болып табылады. Осы тұрғыдан алып қарағанда Евклид аксиомалар жүйесін әртүрлі тиянақты жиындардың көмегімен интерпретациялауға (модельдеуге) болады. Əртүрлі тиянақты интерпретацияға байланысты теоремалар да тиянақты мағынаға ие болып түсіндіріледі. Осыдан тиянақты интерпретацияға Лобачевский, Риман геометриялары үшін де жасалады. Геометрияның алғашқы ұғымдарын осы мағынада түсіндіру көрнектілік айқындықты мүлдем жоққа шығарып, геометрияның логикалық қаңқасын ғана қалдырады және осы логикалық негізгі қаңқаны әр-түрлі тиянақты мазмұнмен толтыруға мүмкін болатынын көрсетеді. Олай болса, геометрияны абстрактылы логикалық жолмен құрғанда, оның болмыс дүниемен байланысы үзілмейді, қайта оны қолдану бағыттары кеңейіп, маңызы арта береді. Геометрияның негізгі ұғымдарына, аксиомаларына жоғарыда айтылған абстрактылы логикалық жалпы көзқарас аксиомалар жүйесінің өзін зерттелуге тиісті мәселеге сәйкестіріп таңдауға мүмкіндік береді. Сондықтан да аксиомалау әдісі геометриядан математиканың басқа салаларына, механикаға, физикаға көшіріліп, қазіргі кездегі абстрактылы кеңістіктерді қарастыруға жағдай туғызды. Осы бағытта қазір функциялар кеңістігі, түрлендірулер кеңістігі, т.с.с. кеңістіктер математикада үлкен орын алып отыр. Геометрияның осындай жалпы идеясының қолданылуына тамаша мысал бола алатын кеңістіктердің бірі – Минковский кеңістігі. Ол арнаулы салыстырмалық теорияда қарастырылатын маңызды кеңістіктердің бірі болып табылады. Геометриялық кеңістік ұғымының осылайша жалпылануына дифференциалдық геометрия әдістері үлкен әсер етті. 1827ж. Гаусстың «Қисықтың беттер туралы жалпы зерттеулер» деген мемуарында беттердің ішкі геометриясы қарастырылған. Ал 1868ж. Бельтрами, жоғарыда айтылғандай, Лобачевский планиметриясы белгілі шектеулермен псевдосфераның ішкі геометриясымен бірдей екенін көрсетті. Осы параграфтың басында аталған геометрияның тағы бір тармағы – проективтік геометрия. Бастапқыда оның әдістері аксиомалау әдісінен, дифференциал геометрия әдістерінен мүлдем өзгеше болғанымен, кейін келе ол үшеуі араласып кетті. Оған себепкер болған Кэлидің, әсіресе Клейннің зерттеулері. XIX-ғасырдың 70 жылдарында Клейн белгілі Евклид, Лобачевский, Риман геометриялық жүйелерін біріктіріп қарайтын жалпы түсініктеме берді. 1872ж. жарыққа шыққан «Жаңа геометриялық зерттеулерді салыстырмалы шолу» («Эрланген бағдарламасы») деген еңбегінде Клейн геометрияға топтық көзқарасты баяндады. Ол әрбір геометрия белгілі бір түрлендірулер тобының инварианттарының теориясы болады деп түсіндірді. Бұл көзқарас басты геометриялық жүйелерді жіктеп, бір ретке келтіруге мүмкіндік берді. Аналитикалық әдісті тереңдете отырып, Риман, Евклид, Лобачевский және өзі енгізген эллипстік геометриялар кеңістіктерін жалпылайтын кеңістік теориясын құрды. Оны жалпы Риман кеңістігі деп атайды. Бұл кеңістік теорияның физика үшін өте пайдалы болды, қазіргі кезде де зерттелу үстінде. Айта кететін нәрсе, жалпы Риман кеңістігі Клейн классификациясына сыйыспайтындығы дәлелденді. кім? Бақылау сұрақтары:Геометрияның аксиомалар жүйесін зерттеген ғалымдар Анықтама берілмейтін негізгі ұғымдарды аксиомаларға негіздеген кім? Аксиомаларға қойылатын негізгі талаптар қандай. Практикалық сабақтар мен СӨЖ тапсырмалары:жүктеу/скачать 1.26 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|