Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық
жүктеу/скачать 1.26 Mb.
|
a мен түзулері кез келген бір P нүктесінде қиылысса, онда сыртқы бұрышы өзімен сыбайлас емес ішкі бұрышына тең болатын ANP үшбұрышы шығар еді. Ақырында, үшбұрыштың сыртқы бұрышы жөніндегі бірінші теоремадан бір түзуге (бір жазықтықта) жүргізілген екі перпендикуляр өзара параллель болатындығы шығады.
Бұрын айтылғандай, мұндай сөйлемдер Евклид сөйлемдері деп аталады. Соның ішінде ұқсастық теориясы, сондай-ақ аудандарды және көлемдерді өлшеу теориясы да Евклидтік теориялар болып табылады. Геометрия тарихының ұзақ кезеңі (б.ж.с. бұрынғы III ғасырдан бастап XIX ғасырға дейін) Евклидтің бесінші постулатын дәлелдеу жолындағы іздену жұмыстарына арналғандығы жоғарыда айтылған болатын. Бесінші постулатты дәлелдеуге арналған зерттеулер ежелгі заманда да, одан кейін де болған. Бұл зерттеулердің авторларының бәрі де бір қатеге келіп тіреледі: олар айқын немесе көмескі түрде бесінші постулатты дәлелдеу үшін басқа да дәлелденбейтін сөйлемді пайдаланады. Бұл жайды, оның көрнекі айқындығы салдарынан, авторлар байқамады, сол сияқты оны ұзақ уақыт бойы оқушылар да, комментаторлар да аңғармады. Сөйтіп, Евклидтің бесінші постулаты басқа постулаттармен алмастырылып келді. Ерекше табандылыққа және дәл мәніндегі сарқылмас тапқырлыққа қарамастан, бесінші постулатты дәлелдеу жолындағы алға қойылған мәселе шешілмей келді. Ол өткен ғасырдың ортасына дейін, Н. И. Лобачевскийдің батылдығы мен тереңдігінде теңдесі жоқ зерттеулеріне дейін, көп ақыл – ой жұмсауды қажет етеді. Н. И. Лобачевский бұл мәселенің мүлде шешілмейтіндігі жөнінде тиянақты қорытындыға келді. Алайда, бесінші постулатты дәлелдеу жолындағы әрекеттер геометрияның даму тарихында пайдалы роль атқарды, оны оқып – білудің осы уақытқа дейін белгілі маңызы бар. Осы проблемаға және оған байланысты мәселелерге арналған жұмыстар геометрияның логикалық құрылысын, оның жеке сөйлемдерінің арасындағы байланысты, аксиомалар жүйесінің артықшылығы мен кемістігін тереңірек анықтауға себін тигізді. Бұл жұмыстар бесінші постулаттың дәлелденбейтіндігі жөніндегі мәселені және мұндай постулаты жоқ «биевклидтік» жаңа геометрияның болуы мүмкін екендігі жөніндегі мәселені біржолата шешуге дайындық жасады. Сондай–ақ олар XIX ғасырдың екінші жартысында алдын ала қабылданған геометрия негіздемелерін қайта қарауға негіз болды. Мұндай зерттеулердің қандай болғандығы түсініктірек болу үшін, кейбір мысалдарды қарастырамыз. Б.ж.с. бұрын I ғасырда Посидоний (Гемин Родосский) ұсынған дәлелдеме. Посидоний талқылауларының негізгі бөлігі мынадай сөйлемді дәлелдеу болып табылады: параллель екі түзудің біреуіне перпендикуляр түзу екіншісіне де перпендикуляр болады. Бұл сөйлем былайша дәлелденген. а // b және AB b деп жориық (4-сурет). a AB екендігін дәлелдейік. сурет C мен D нүктелері b түзуіндегі B нүктесінің екі жағына, ол нүктеден бірдей қашықтықта, орналасқан нүктелер, яғни BC=BD болсын. CC/ мен DD/ түзулері b түзуіне перпендикуляр дейік. Сонда CC/=DD/ болады, өйткені параллель түзулер a мен b бір – бірінен қашықтай да, біріне – бірі жақындай да алмайды. Егер сызбаны AB түзуінің бойымен бүктесек, онда D нүктесі C нүктесіне, D/ нүктесі C/ нүктесіне келіп түседі, ал A мен B нүктелері орнында қозғалмай қалады. Сондықтан BAD1 BAC1 болады, дәлелдейтініміз де осы еді. Енді параллель екі түзу (a мен b) үшінші түзумен (c) қиылысқанда тең ішкі айқыш бұрыштар ( мен ) пайда болатындығын дәлелдеу оңай (5-сурет). Шынында да, O нүктесі қиюшының параллель түзулердің арасында жатқан AB кесіндісінің ортасы болсын. OC – a түзуіне перпендикуляр және OD – b түзуіне перпендикуляр дейік. Сонда жоғарыда айтылғандар бойынша, бұл перпендикулярлар бір түзудің бойында жатады. Тік бұрышты AOC мен BOD үшбұрыштары тең, себебі олардың AO мен BO гипотенузалары салу бойынша тең, ал AOC мен BOD сүйір бұрыштар қарама – қарсы бұрыштар болғандықтан тең болады. Осы үшбұрыштардың теңдігінен OAC OBD болады, дәлелдейтініміз де осы еді. Бұдан кейін біз тікелей мынадай қорытынды жасаймыз: параллель екі түзу үшінші түзумен қиылысқанда пайда болатын тұстас ішкі бұрыштардың қосындысы 2d тең болады, атап айтқанда, | 2d (5-суретті қараңыз), бірақ , екі түзу үшінші түзумен қиылысқанда пайда болған ішкі тұстас бұрыштардың қосындысы 2d болмаса, онда берілген екі түзу параллель бола алмайды, яғни олар бір жазықтықта орналасқан болса, онда олардың қиылысатындығы сөзсіз. Ал Евклидтің бесінші постулатының өзі де осы. сурет Посидоний пікірінің кемшілігі неде болатындығын байқау қиын емес: ол – параллель түзулер бір – бірінен бірдей қашық- тықта болады деп ұйғарды. Бұлай деп алуға үйреніп кеткендіктен, ол елеусіз қала береді, алайда бұл сөйлем аксиомалар қатарында жоқ, ал оны бесінші постулатсыз басқа постулаттар арқылы дәлелдеу мүмкін емес, сондықтан Посидоний сөйлемі евклидтік теорема болып табылады. жүктеу/скачать 1.26 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|