Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық
ГЕОМЕТРИЯ НЕГІЗДЕРІНЕ ТАРИХИ ШОЛУ
жүктеу/скачать 1.26 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- КІРІСПЕ
- 2. АКСИОМАТИКАЛЫҚ ТЕОРИЯ ТУРАЛЫ ТҮСІНІК ЖӘНЕ ОНЫҢ ИНТЕРПРЕТАЦИЯСЫ
1-дәріс.
ГЕОМЕТРИЯ НЕГІЗДЕРІНЕ ТАРИХИ ШОЛУЖоспары: Кіріспе. Геометрия тарихына шолу. Аксиоматикалық теория туралы түсінік және оның интерпретациясы. Аксиомалар жүйесіне қойылатын талаптар. Қазіргі аксиомалау әдісінің пайда болуы. КІРІСПЕМатематиканың негізгі салаларының бірі геометрия. Дүниеге ерте келіп адамзат қоғамының ғасырлар бойындағы тарихымен біте қайнап, біте жасасып келе жатқан ежелгі ғылым. Адам баласының табиғатпен саналы түрде кездесіп, өз өміріне керекті шараларды қолдана бастауымен байланысты, мұнан талай ғасырлар бұрын ұзындықпен пен ауданды және көлемді өлшеу ежелгі Египетте (Мысырда) кәдімгі атақты Ніл дариясы бойында басталады. Бұлай деп жобалаудың да себептері бар өйткені, ол кездегі Нілдің екі жағындағы құнарлы жер тым шағын болып, оны дәл өлшеп бөліп алуды керек еткен. Егіске жарайтын жердің ұзындығын, енін одан кейін ауданын шаршылап өлшеуден геометрия туған деп есептеледі. Ал геометрия деп аталуының өзі гректің «жер өлшеу» (землемерие) деген сөзінен алынған екен. Қазірде бұл атау математиканың үлкен бір саласына ғылыми термин болып сіңіп, кең ұғымға пән атауына айналды. Сөйтіп, геометриялық ғылым алғаш жер өлшеу, үй салу тағыда сондай тіршілік әрекеттерінен туып, сонан соң бірте- бірте терең абстракциялық бейнелерді кең шолитын, оларды мүлтіксіз логикалық заңдарға бағындырып, үнемі дамыған ғылымға айналды. Геометрия тарихына шолу. Қазіргі геометрия өзінің ең алғашқы ұғымдарынан әлдеқайда ілгері дамып кетсе де, практикаға ешбір қайшылық келтірмей, қайта оны бұрынғыдан да байытып, ғылыми заңдары дүниеде кездесетін бейнелерге бірдей ортақ дәрежеге жетті, ғылымның әр саласына жалпы, ортақ ететін сатыға көшті. Бұл жағдай бүкіл математикаға қандай тән болса, геометрияға да сондай тән. Геометрияның қарауына жататын бейнелердің кеңістіктегі, сыртқы пішіндегі және олардың сандармен белгіленетін қатынастары геометриялық әлем деп анықталады. Ол бейнелердің соншалық қасиеттерін табиғаттағы құбылыстарын геометрия есепке алмайды, олардың сыртқы пішіндеріне, көрністеріне, сандық қатынастарына ғана көңіл бөледі. Бұл геометрияның есте болатын ерекшеліктерінің бірі. Аспан жер, су тіпті бізді қоршаған әлемнің бәрінде де геометриялық объектілер толып жатыр. Олар сансыз көп, дегенмен солардың сыртқы пішіндерімен сан қатынастары шағындап алған бейнелерге келтіріледі, олардың байланыстары дәлелденбей қабылданатын аксио- маларға бағынады. Ол аксиомалардың да саны аз болуы қажет, бірақ басқа жағдайдың барлығы солардың салдары болып, солардан туатын болуы керек. Бұл геометрияның екінші өзгешелігі деуге болады. Былайша айтқанда адам әрқашанда геометриялық әлемнің қоршауында. Геометрия үшін, оны зерттеу үшін, абстракция арқылы алынған нүктелер, түзулер, жазықтықтар бар және оларға сай заңдар бар. Негізгі геометриялық ұғымдардың қайдан шыққанына тоқталсақ. Саусақ санаудан сандар туса, ал жер өлшеуден, аудан мен көлем табудан геометриялық ұғымдар туды деп есептейміз. Бұлай деп ұйғарудың өмірлік негіздері бар. Геометрияға ерте сіңіп, ал қазір әдетке айналып кеткен терминдердің көбі кәдімгі тұрмыстағы заттардың аттарынан алынғанын көреміз. Мысалы, «нүкте» - «точка» орыстың «ткнуть», «уколоть» - «тесу», «шаншу» деген түсініктерінен; «сызық» - «линия» латынның кендір жіп деген сөзінен алынғаны айқын. Геометрияда нүкте, түзу деген ұғымдар өзінің тікелей мәнін жойып, кейін абстракциялық бейнелерге айналған. Сондай-ақ грекше атау «сфера» - мяч - доп, сегіз бұрышты «ойын сүйегі» - текше, қарағайдың безі – конус тағы сондай атаулар геометриялық нақты ұғым беріп, төл терминге айналып кеткен. Геометрияның қайдан және қалай шыққаны туралы әр түрлі пікірлер бар. Айталық, Аристотель (б.ж.с.бұрынғы 384-322 жылдар) «Математикалық прогресті шығарғандар - абыздар, өйткені олар бос уақытының бәрінде математика теориясын шығаруға жұмсаған екен» - дейді. Геометрияны бір салалы жүйеге келтірген ғалымдардың ішінде атағы тарихқа енбей, ұмытылып қалғандары да аз болмаса керек, өйткені математиканың тараулары тым алыстан адам баласының ең алғашқы саналы қадамынан басталғаны бүкіл әлемге мәлім. Бастауыш геометрияның ең бірінші көрнекті авторы гректің атақты математигі Евклид (б.ж.с.бұрынғы 330-275 жылдар) өзінен бұрынғы ғасырлар бойы жиналған деректерді бір кітапқа сыйғызып, «Негіздер» деген атпен оқулық жазған. Одан бұрында талай геометрлердің ғылымға сіңірген еңбектері туралы тарихта мәлім. Ертедегі гректердің мәліметтеріне жүгінсек геометрия Греция берітіндегі Египет пен Вавилоннан келген тәрізді. Мұнда келіп олардың ғылыми еңбектері жазба түрде сақталмағандықтан, олардың аттары тек халық аузында аңыз ретінде ғана қалған. Ежелгі грек математиктерінің ішінде Фалес (632-546), Пифагор (580-500), Платон (428-348), Демокрит (460-370) геометрияны зерттеуге зор атсалысып, ғылым тарихында елерліктей із қалдырған. Енді осы грек ғалымдардың ішінде Евклидке ерекше тоқталсақ. Біздің жыл санауымыздан бұрынғы VI және V ғасырларда жиналған көптеген математикалық табыстардан кейін өмір сүрген ғалым. 2. АКСИОМАТИКАЛЫҚ ТЕОРИЯ ТУРАЛЫ ТҮСІНІК ЖӘНЕ ОНЫҢ ИНТЕРПРЕТАЦИЯСЫМатематикада математикалық структуралар ғана зерттеледі. Оның негізгі әдісі – аксиоматикалық әдіс: онда әрбір тектің структурасы өзіне сәйкес аксиомалардың тізімі бойынша анықталады, одан әрі таза логикалық жолмен сол тектің структурасының теориясы жасалады. Қазіргі замандағы математика, көптеген тарауларға және бір қарағанда зерттеулердің бірінен-бірі алшақ әр түрлі бағыттарына бөлініп кететін білімдердің ұлан байтақ саласы болып көрінетіндігіне қарамастан, бір тұтас ғылым деп алмаймыз. Оның зерттеу пәні– математикалық стуктуралар жиыны, оның негізгі әдісі– аксиоматикалық әдіс. Геометрия аксиомаларын жүйелі зерттеген ғалымдар: үздіксіздік аксиомасын неміс математигі Рихард Дедекинд 1872 жылы тағайындады. Паш аксиомасын неміс математигі Мориц Паш 1882 жылы ғана тұжырымдады. «Негіздер» ондаған ұлы геометрлердің қолынан өтті: Кавальери, Дезарг, Паскаль, Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, Гюйгенс, Эйлер, Лагранж, Понселе, Штаудт т.б. бұлардың бәрі ол аксиоманы көрмеген, ал Евклид бұлардан 18-20 ғасыр бұрын өмір сүрген. Геометрия аксиомаларын жүйеге келтірушілердің ең көрнектісі Гильберт болды. Оның математика тарихындағы ең маңызды еңбегі де осында. Бірақ, оның да сүрінген кездері де болды. Гильберт кітабының бірінші басылуында (1899 жылы) қазір «толымдылық аксиомасы» деп аталатын аксиома болмаған. Бұл жағдайда геометрияның толық курсын құруға болмайтындығын француз математигі Анри Пуанкаре (1854 – 1912) дәлелдеген. Толымдылық аксиомасын Гильберт өз тізіміне тек Пуанкаре сынынан кейін ғана енгізген. Евклидтің төртінші аксиомасы мынадай еді: «Тік бұрыштардың бәрі бірдей болады». Гильберт бұл сөйлемді аксиомалар тізімінен шығарып, теорема ретінде дәлелдеп берді. Гильберт анықтама берілмейтін алғашқы ұғымдарды аксиомаларға жүгіндірді, нүктенің, түзудің, жазықтықтың, т.с.с. геометриялық сипатын аксиомалар тағайындайтын етті. Бұлардың арасындағы байланыс «жатады», «арасында», «конгруент», «параллель», «үздіксіз» сөздері арқылы айқындалатынын көрсетті. Қазір геометрия аксиомалары осы бес сөзге қарай бес топқа бөлінеді. Бесінші постулаттың (ол қазір XI аксиома деп те аталады) ұзақ тарихы бар. Ол «Негіздерде» былай тұжырымдалған: Екі түзуді үшінші бір түзу қиып өткенде үшінші түзудің бір жағында қосындысы екі тік бұрыштың қосындысынан кем ішкі бұрыштар құралатын болса, шектеусіз созғанда алғашқы айтылған екі түзу қиылысады және қосындының екі тік бұрыштың қосындысынан кем жағында қиылысады. Мұнда түзулер бір жазықтықта орналасқан деп есептеледі. Бесінші постулат параллель түзулер теориясымен тығыз байланысты. Евклид «Үшбұрыштың сыртқы бұрышы өзімен сыбайлас емес ішкі бұрыштарының әрқайсысынан артық болады» (1-кітаптың 16-сөйлемі) дейтін теоремаға сүйеніп, төмендегі екі теореманы дәлелдейді: «Екі түзуді үшінші бір түзу қиып өткенде өзара тең айқыш бұрыштар құралатын болса, онда ол екі түзу бір–біріне параллель болады» (1-кітаптың 27-сөйлемі). «Екі түзуді үшінші бір түзу қиып өткенде сыртқы бұрышқа тең ішкі сәйкес бұрыш құралатын болса немесе қосындысы екі тік бұрыштың қосындысындай екі ішкі тұтас бұрыш құралатын болса, онда ол екі түзу бір – біріне параллель болады» (1- кітаптың 28-сөйлемі). Сонда, бұл теоремалар бойынша төмендегі бес шарттың бірі орындалғанда, екі түзу бір – біріне параллель болады: жүктеу/скачать 1.26 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|