am a
am1
болатындай етіп,
a1 , a2 ,..., am , am1
нүктелерін
түзеді дейік. al
нүктелері арқылы 1 мен b-ны қосатын түзулерге
26-сурет
~
параллель түзулер жүргізіп, олардың k
сәулесімен
қиылысу нүктелерін сәйкес cl
арқылы белгілейік.
Мектеп курсында қолданылатын жолмен,
ci ,
ci1
c
2
кесінділерінің бәрі де бір-бірімен конгруентті екендігіне көз жеткізуге болады, өйткені олардың әрқайсысы қандайда бір ~
кесіндісіне конгруентті. Мұнда
n нүктесі b нүктесімен дәлме-
Ең алдымен п-нің қандайда бір мәнінде am
нүктесі а
нүктесіне дәлме-дәл келді дейік. Онда cm
нүктесі с нүктесімен
b
дәлме-дәл болады. Сонда мынау шығады:
a~ m ;
2n
~ 2n ~;
c~ m ~.
b
Бұдан тікелей a~ ~ c~, яғни
a b c
болатындығы
b
көрінеді. Енді п-нің ешбір мәнінде жоғарыда айтылған нүктелер дәлме-дәл болмайды дейік. Анықтамалардан
a~ m ;
2n
~ 2n ~ болатындығы шығады.
m
m
b
Екінші жағынан, c~ m ~. Демек, c~ a~ ~.
m1
m1
b
c
c
c
c
m
Осылайша c~ a~ ~ болатындығын да көрсетуге
c
c
m
болады. Ал ~ ~
~
m1
болғандықтан, ~ ~
~
m1
немесе am b
c~
am1 b
болады.
n шексіз өседі дейік. Сонда кесіндінің өлшеуішінің
анықтамасы бойынша am a және am1 a
Ортақ шегі бар айнымалы екі шамның арасындағы c~ айнымалы шама сол шекке тең, яғни c~ a b . Теорема дәлелденді.
салдар. Екі кесіндінің (h,k) бұрышының көмегімен жасалатын көбейтіндісі ол бұрышты сайлап алуға байланысты болмайды.
салдар. Кесінділердің көбейтіндісінің ауыстырым-дылық, терімділік және үйлесімділік қасиеттері болады.
4-теорема. Егер АВС ~
А/ В/С /
болса, онда
АВ В1С1 А1В ВС
болады.
А1 - ВА сәулесінің ВА1 = В1А1 болатындай нүктесі болсын
(27 – сурет).
27-сурет
|
Сонда А ВС А1В1С1 1 1
демек,
ВА С В1 А1С1 ВАС
1 1
ал сондықтан А1С1 // АС. Е
– ВА сәулесінің ВЕ
кесіндісі өлшеу бірлігі ретінде алынған болсын.
|
Енді
BC1 BA BF ,
BC BA BF. Бұл қатыстарды АВ-
ге және сәйкес А| В|-ге мүшелеп көбейтсек, мынандай болады:
BC AB B|C | BF AB AB A| B| BF ;
BC A| B| BC BF A| B| AB A| B| BF ;
бұдан
демек,
AB B|C | A| B| BC,
AB B|C | A| B| BC
немесе алдыңғы теорема
бойынша, дәлелдейтінімізде осы.
ВЕЙЛЬ, ГИЛЬБЕРТ ЖӘНЕ ТАҒЫ СОЛ СИЯҚТЫ АКСИОМАЛАР ЖҮЙЕЛЕРІНДЕГІ КЕСІНДІЛЕРДІ
ӨЛШЕУДІҢ ЖАЛҒЫЗДЫҒЫ
жуықтауларының бірдей uk және u k тізбектері бар,
|
сондықтан l AB f AB. Ал [AB] - кез келген кесінді
болғандықтан, l AB f AB, [ AB] L бұл l және f
бейнелеулерінің беттесетінін көрсетеді.
Сөйтіп, егер [PQ] кесінді векторы PQ – орт болатындай болса, онда 1) – 3) аксиомаларды қанағаттандыратын бірден –
бір бейнелеуі бар болады. Бұл бейнелеуде
f AB
Біз кесіндінің ұзындығының болатындығын дәлелдедік. Бұдан евклидтік кеңістікте кесінділерді өлшеудің 1) – 3) аксиомалар жүйесінің қайшылықсыздығы шығады.
Ап дегеніміз n өлшемді ( R өрісі үстіндегі) аффиндік кеңістік, ал V – оның көшірулер кеңістігі болсын. V векторлық кеңістікте оң бисызықтық g форманы берелік. Мұнымен біз Ап аффиндік кеңістікті Еп евклидтік кеңістікке айналдырамыз.
x V
векторының нормасы:
gx, x
ал А, В Еп екі нүктенің ара қашықтығы:
A, B
AB .
-оң санын алып, бисызықтық g форманың 2
көбейтіндісін мына шарт бойынша анықталық:
2 g x, y 2 gx, y, x, y V .
санымен
Егер
1 болса, онда
2 g
векторлық V кеңістіктегі жаңа
оң бисызықтық форма. Бұл форманы g арқылы белгілелік:
g x, y 2gx, y.
g формасына қатысты x векторнының
нормасына
сәйкес мынаны табамыз:
x
Демек, егер көшірулердің V кеңістігін бисызықтық g
n
форманың көмегімен евклидтік векторлық кеңістікке айналдырсақ, онда жаңа E | евклидтік кеңістікті табамыз, ондағы
n
A, B E|
екі нүктенің арақашықтығы мына формула
бойынша анықталады:
| A, B
яғни
| A, B A, B
Егер
AB 0
болса және біз
1
AB
деп алсақ, онда
AB 1
екенін табамыз. Демек, бисызықтық
g формаға
қатысты AB векторы орт болады.
Егер, En евклидтік кеңістікте кез келген [PQ] кесіндісін алсақ, онда En кеңістіктің V көшірулер кеңістігінде, [PQ] кесінді бірлік кесінді болатындай, бисызықтық формасына көшуге
болатыны көреміз. Мұнда біз E|n евклидтік (алғашқы En
кеңістік сияқты, An базасы бар) кеңістікті табамыз.
Бұл мағында евклидтік кеңістікте бірлік кесіндіні еркінше таңдап алуға болады деп айтады.
[AB] және [CD] екі кесіндінің қатынасы деп олардың бірдей сызықтық бірлікше табылған ұзындықтарының қатынасын айтады:
AB
CD
Егер басқа сызықтық бірлікке көшсек, онда (4) формуладан
AB AB ,
CD
Бұдан екі кесіндінің қатынасы сызықтық бірлікті таңдап алуға тәуелсіз екендігі шығады.
[ AB] кесіндінің ұзындығын жай AB арқылы белгілеп, былай (сызықтық бірлікті көрсетпей – ақ) жазуға болады:
AB AB
CD CD .
Бақылау сұрақтары:
Кесінділерді өлшеу.
Екі кесіндінің қатынасы.
Вейль және Гильберт аксиомалар жүйесінде кесіндіні өлшеудің жалғыздығы.
Атанасян және Гильберт аксиомалар жүйесінде кесіндіні өлшеудің жалғыздығы.
Практикалық сабақтар мен СӨЖ тапсырмалары:
Кесіндінің ұзындығы жөнінде ұғым еңгізу үшін қандай аксиомалар (айқын түрде немесе көмекі түрде) қолданылатындығын мектеп геометрия оқулығынан бақылап отырыңыздар.
Мыналарды тең шамалы үшбұрышқа айналдыры-ңыздар:
берілген тіктөртбұрышты;
берілген параллелограмды;
берілген трапецияны;
берілген төртбұрышты.
Ауданды өлшеу бірлігі ретінде қабырғасы 1-ге тең, тең қабырғалы үшбұрыштың ауданы алынса, үшбұрыштың ауданы қалай өрнектеледі? Радиусы 1-ге тең дөңгелекті алса ше?
Бүйір жақтарының саны к-ға тең әрбір F көпжақ үшін юююю өрнек кеңістікте О нүктесінің және і-ші бүйір жағындағы М нүктесінің орналасуына тәуелді емес. Дәлелдеңіз
SABC үшбұрышты пирамиданың табаны - АВС тікбұрышты үшбұрыш ( ACB ), SA қыры табан жазықтығына перпендикуляр.
Пирамиданың радиусы 1/3 SA тең шар іштей сызылған. S төбесі және шармен пирамиданың табан жазықтығымен қиылысу нүктесі арқылы ВС қырына параллель жазықтық жүргізілген. Осы жазықтық шар бетінің аудандарын ¼ бөлікке бөледі. ВАС бұрышын табыңыз.
Достарыңызбен бөлісу: |