Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық
жүктеу/скачать 1.26 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- РИМАННЫҢ ЭЛЛИПИСТІК ГЕОМЕТРИЯСЫ
- 2. ЭЛЛИПСТІК ГЕОМЕТРИЯНЫҢ ЕРЕКШЕЛІКТЕРІ
- Бақылау сұрақтары
- Практикалық сабақтар мен СӨЖ тапсырмалары
РИМАННЫҢ ЭЛЛИПИСТІК ГЕОМЕТРИЯСЫЖоспары: Риманның эллипистік геометриясы. Эллипстік геометрияның ерекшеліктері. РИМАННЫҢ ЭЛЛИПИСТІК ГЕОМЕТРИЯСЫЕвклидтік геометрия мен Лобачевский геометриясының арасындағы айырмашылық олардың берілген түзуге сыртқы нүкте арқылы, жазықтықта берілген түзуді қиып өтетіндей етіп, жүргізілетін түзулердің саны жөніндегі мәселеге берілетін жауаптарында екендігі белгілі. Евклидше мұндай бірден бір түзу бар, Лобачевскийше мұндай түзу, 42 - суретте кескінделгендей, кем дегенде екеу (демек, еркінше көп болады). Б.Риманның үшінші логикалық мүмкіндікті постулат ретінде қабылдап алады: егер де қандай да бір жазықтықта а түзуі мен оның бойында жатпайтын А нүктесі берілсе, онда берілген жазықтықта А нүктесі арқылы жүргізілетін әрбір түзу а түзуін қиып өтеді. Осы постулатқа сүйене отырып, Б.Риман дамытқан эллипстік деп аталатын геометрия жазықтықтағы кез келген екі түзу қиылысады, параллель түзулер болмайды. 42-сурет
«меншіксіз» түзуді қосйдан пайда болатындығы белгілі. Риман постулаты басқалай да жүзеге асырылуы мүмкін. Осы постулатты евклидтік кеңістікте көрнекі түрде жүзеге асыратын екі модельді атап өтейік. S-евклидтік кеңістіктің қандай да бір нүктесі болсын. R - нүкте деп S нүктесі арқылы өтетін кез келген евклидтік түзуді атайық. R – түзу деп S нүктесі арқылы өтетін кез келген евклидтік жазықтықты атайық (43 -сурет). «Іліктестік» қатынасын берілген евклидтік кеңістік мағынасында түсінейік. Сонда, «Егер екі жазықтықтың ортақ нүктесі болса, онда оларлың бұдан басқа кемінде тағы бір ортақ нүктесі болады» - деген аксиомасы бойынша әрбір екі R- түзудің (43 - суреттегі α мен β) ортақ R-нүктесі (43-суреттегі SM) болады, сондықтан да түзулер мен жазықтықтардың евклидтік тізбегі Риман жазықтығының прототипы болып табылады. Шекарасы ω шеңбері болып табылатын евклидтік кеңістіктің қандай да бір жарты сферасын Ω қарасытырайық (51-сурет). «R - нүкте» деп берілген жарты сфераның Ω кез келген нүктесін түсінетін боламыз, мұндағы шекараның диаметриалбды қарама-қарсы екі нүктесін (44-суреттегі А және А´) бір ғана R –нүкте деп есептейміз. «R – түзу» деп жарты сферадағы (Ω) үлкен дөңгелектің доүасын түсінеміз. Бұл жағдайда әрбір екі R – түзуде ортақ бір ғана R –нүкте болатындығы анық. 43-сурет 44-сурет Риман эллипстік геометрияның толық және қайшылықсыз аксиоматикасын құрастырды. Параллель түзулердің бар болуы «абсолюттік» геометрияның дәлелденілетін фактісі болатындығы бізге белгілі. Сондықтан эллипстік геометрияның құрылысы параллельдік аксиомасын қайта қарастырумен қатар абсолюттік геометрияның кейбір аксиомаларын да, атап айтқанда, рет аксиомаларын өзгертуге де байланысты, ол аксиомалар проективтік геометриядағыдай, эллипстік геометрияда түзудің бойындағы нүктелердің реттік қатынасы «арасындағы» қатынасының жәрдемімен емес, «бөлінушілік» терминдерімен сипатталады. 2. ЭЛЛИПСТІК ГЕОМЕТРИЯНЫҢ ЕРЕКШЕЛІКТЕРІЕвклид пен Лобачевскийдің кейде сәйкес параболалық және гиперболалық деп аталатын геометрияларына қарағанда эллипстік геометрияның өзінің сапалық жағынан ерекшеліктері бар. Осы геометрияның өзіне тән кейбір пікірлерін атап өтейік. Аксиомалардың толық тізімі қолымызда болмағандықтан, біз, әрине, олардың дәл дәлелдемесін бере алмаймыз, біраз түсінік берумен қанағаттанамыз. Әрбір үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы 180°-тан артық болады. Мысал ретінде қандай да бір түзу мен оның екі нүктесінен түсірілген перпендикулярлардан жасалған үшбұрышты көз алдымызға елестетсек жеткілікті болады (45-сурет). Параллель түзулер жоқ болғандықтан, бұл екі перпендикулярдың қиылысатындығы және берілген түзумен екі бұрышы тік болатын үшбұрыш жасайтындығы сөзсіз. Евклидтік сферада үшбұрыш шынында «экватор» мен екі «меридиан» арқылы жасалады. Эллипстік жазықтықтағы түзу тұйық түзу болады. Бұл фактінің мағынасы мен пайда болуын көрнекі түрде былайша түсіндіруге болады (46-сурет). а - кез келген түзу, А- оның бойында жатпайтын нүкте болсын. а түзуінің нүктелерін А центрден проекциялап, а түзуінің М нүктесімен жазық А шоқтың m сәулелерінің арасында өзара бір мәнді сәйкестік тағайындауға болады: а түзуінің әрбір нүктесін m түзуінің А нүктесімен қосуға болады және, керісінше, А шоқтың әрбір сәулесі а сіулесін кез келген бір М нүктесінде қиып өтеді. m сәулесін А центрінен айналдырғанда оған сәйкес М нүктесі а түзуінің бойымен қозғала бастайды.
47-сурет
Сонда m сәулесі толық бұрыш жасап қозғалады да, М нүктесі түзуді толық басып өтеді, мұнда m сәулесінің шексіз аз бұрылысынан әрқашан М нүктесі шексіз аз орын ауыстырып отырады. Эллипстік жазықтықтағы түзу шекті түзу болады. AA1 (47-сурет) - эллипстік жазықтықтағы а түзудің қандай да бір кесіндісі болсын. а түзуінің А және А1 нүктелерінен АА/ және 1 АА/ А1А/ перпендикулярларын жүргізейік және О - олардың қиылысу нүктесі, AOA1 болсын. Егер A1A2 = AA1 болса, онда екі қабырғасы мен бұрышы бойынша, A1OA2 AOA1 , олай болса, A1OA2 , АОАп п болатын АОАn үшбұрышы шығады. n 2 болғанда AOAn 2 болады, яғни OAn сәулесі ОА сәулесіне қарағанда кем дегенде толық бұрышқа бұрылған, сондықтан да AA1 кесіндісін n рет қайталағанда түзудің тұтас өзі шығады. Бақылау сұрақтары:Риман постулаты. Қандай геометрияны эллипстік деп атайды? Риман эллипстік геометриясының толықтығы және қайшылықсыздығы. Риман геометриясының ерекшеліктері. Практикалық сабақтар мен СӨЖ тапсырмалары:Сфералық геометрия туралы түсінік. Эссе жазыңыз. Сфералық үшбұрыш. Эссе жазыңыз. Сфералық үшбұрыштар үшін синустар теоремасы. Сфералық үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы туралы теорема. жүктеу/скачать 1.26 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|