Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі қазақ мемлекеттік қыздар педагогикалық
жүктеу/скачать 1.26 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Евклидтік геометрия және физикалық кеңістік
| dx 2 dx 2 dx 2
d s 2 1 2 3 1 k x 2 x 2 x 2 (**)
деп алсақ, онда k = 0 болғанда евклидтік геометрия шығатын-дығын байқау оңай, ал k < 0 болғанда, Риман геометриясы Лобачевскийдің стереометриясымен бірдей болатындығын бұрын Бельтрами көрсеткен еді. (**) формуладағы k шаманы кеңістіктің қисықтығы деп атайды. Лобачевский геометриясы тұрақты теріс қисықтығы бар бар кеңістіктің Риман геометриясы екен. Риман айтқан пікірден кейінгі өткен жүз жыл ішінде Лобачевский мен Риман пікірлері табиғат танудың жаңа талабына және физикалық кеңістіктің геометриялық қасиеттері жөніндегі жаңа түсініктердің пайда болуына байланысты ілгері қарай дамытыла түсті. Сызықтық элементі квадраттық формамен емес, коордмнаталар дифференциалдарының неғұрлым жалпы функциясымен анықталатын кеңістік салу мүмкіндігін тағайындаған Финслердің дифференциал-геометриялық зерттеулері Риман пікірлерінің тікелей жалғасы болып табылады. Биевклидтік геометрия пікірлерін қорытындылаудағы және дамытудағы екінші бағыт Ф.Клейн негіздеген және Вейль мен Картан және басқа да көрнекі геометрлер жұмыстарында дамытылған геометрияның теориялық-топтық принциптеріне негізделген. Бұл идеялармен педагогикалық институт студенттері проективтік геометрия курсында таныстырылады. Клейннің пікірінше, әрбір геометрия түрлендірулердің («қозғалыстардың») қандай да бір тобымен анықталады, яғни әрбір кеңістік өз нүктелерінің бейнеленуінің белгілі бір байланыстылық заңы әдісі сипатталады. Байланыстылық заңын өзгерте және қорытындылай отырып, Картан және оның шәкірттері неғұрлым жалпы геометриялық схемалардың системасын жасады, мұнда Картан осылайша қорытындылау мүмкіндігі шектеусіз екендігін дәлелдей алды: қозғалыстардың сәйкес тобымен анықталатын әрбір геометрия үшін берілген геометрия дербес жағдай ретінде енгізілген жаңа геометрия құрастыруға болады. ХХ ғасырда құрастырылған геометрияның жаңа жүйесінде Риман геометриясының алатын орны евклидтік геометрияның Риман геометриясындағы алатын орнындай. Биевклидтік геометрияның дамуына орыс ғалымдары: П.Л. Широков, П.К. Рашевский, В.Ф.Каган, А.П.Норден, Б.А.Розенфельд қазақстандық Юсупов, Ибрагимова Р.Х, т.б. зор үлес қосты. Лобачевскийдің биевклидтік геометрияны ашуы классикалық, геометрияның ғасырлар бойы даму тарихының тамаша аяқталуы болып табылады. Лобачевскийдің Евклидтің бесінші постуласын данышпандықпен шешуі бүкіл дүние жүзілік ғылым тарихында теңдесі санулы ғана болатын ғылыми ерлік. Нақтысында бұл табыс математика тарихындағы кейбір қорытындылардың мүмкін еместігінің бірінші дәлелдемесі болып табылады. Лобачевскийдің бұл табысының геометрияның ілгері қарай дамуындағы әсерінің маңызы бұдан да зор. Геометрияда сол ғасырға дейін мыңдаған жылдар бойы орнап келген өзгермеушілік және бірден-бірлік дәстүрді жеңді. Геометриялық теорияны кеңейту және тереңдете түсу үшін шексіз көп шын мүмкіндіктер туды. Лобачевский геометриясына (шын мағынада түсінілетін) арнаулы (шектік) жағдай ретінде евклидтік геометрия енгізілді, бұған сүйене отырып, Лобачевский оның системасын пангеометрия, яғни жалпы геометрия деп аталады. Лобачевскийден кейінгі зерттеушілір (Риман, Клейн, Картан, Финслер т.б.) Лобачевскийдің «арқасында» неғұрлым геометриялық системалар жасауға мүмкіндік алды. Лобачевский биевклидтік геометриясының шығуы геометриялық ғылымның фундаментінің өзін зерттеуді дүниеге келтіріп, жаңа математикалық ғылымды ─ геометрия негіздемелерін тудырды. Лобачевскийдің өзі де оның теориясының кейбір математикалық есептерді шешуге тікелей қолдану мүмкін екендігін көрсеткендігін атап өту керек. Атап айтқанда, ол өзінің геометриясын кейбір доғаларды есептеп шығаруға қолданған болатын. Содан кейін бұл есептеулерді интегралдар әдісімен орындай отырып, Лобачевский интегралдық есептеудің 200-ден артық формулаларын қорытып шығарған, бұлардың көпшілігін классикалық әдіспен қорытып шығаруды сөз етпегеннің өзінде тек қана тікелей аналитикалық жолмен тексерудің өзі де қиын. Лобачевский геометриясы, А. Пуанкаре (ХІХ ғасырдың 80 жылдары) жұмыстарынан бастап, комплексті айнымалы функциялар теориясының кейбір мәселелерін шешу үшін табысты түрде қолданылады. Биевклидтік геометриялардың әр түрі дифференциал- квадраттық формалар инварианттары теориясында, үздіксіздік группалар теориясында, вариациялық есептеулерде қазіргі кездегі математиканың тағы басқа мәселелерінде қолданылады. Ақырында, ХІХ ғасырдың екінші жартысында Миндинг, Бельтрами және басқалардың жұмыстарында Евклидтік кеңістік беттерінің бойындағы нүктелер мен геодезиялық сызықтардың сипаты Лобачевский жазықтығындағы нүктелер мен түзулердің (белгілі шектеулерімен) сипатындай болатын беттердің кең класы сипатталатындығын атап өтпеуге болмайды. Лобачевскийдің ашқан жаңалықтары, сондай-ақ математикаға сыбайлас ғылымның ─ физиканың дамуына да әсер еткендігін атап өткен едік. Бұл заңды нәрсе. Лобачевскийдің математикалық мұрасын зерттегенде оның параллельдер теориясы геометрияның аксиомалық мәселелері үшін емес, кеңістіктің ұзақтық қасиетін дәлірек және тереңірек сипаттайтын геометриялық теория жасап шығару мақсатын көздегендігін көреміз. Лобачевский математикаға деген материалистік көзқарасты айқындап әлденеше рет айтып отырды, ал евклидтік геометрияға бірден-бір мүмкін болатын геометрия деген дәстүрлік көзқарасты жеңіп шығу математикалық ойлаудың метафизикалық формалардан диалектикалық формаларға өту жолындағы жасалған мүмкін болатын бірден-бір ірі қадам болды. Биевклидтік геометрияның шығуының философия тарихындағы ролі де зор болғандығы табиғи нәрсе. Өз заманында философиясы дерліктей кең түрде тараған немістің атақты философы Эммануил Кант (1724-1804) философиясы кеңістік дегеніміз сананың өзгермейтін, әрбір тәжірибеден бұрын байқалатын және тәжірибеге байланысты емес қасиеті деп үйретті. Мұндай көзқарас Платонда да болған еді. Геометрия негіздерінде біздің саламызға әсіресе ертеден тән нәрсе ретінде, ал геометрияның евклидтік принциптеріне біздің кеңістіктің түсінігіміздің бірден-бір мүмкін формасы ретінде қарау жоғарыдағы көзқарасты растайды. Кеңістік қасиеттерін математика тарихының бұдан бұрын көптеген ғасырлар бойы ойлап келгеннен басқаша ойлауға болатындығы ашылған кезде идеалистік, долбарлық бұл көзқарасқа шешуші негізгі соққы берілген еді. Сонымен, Лобачевский идеялары математика мен физика саласындағы идеалистік түсініктерді жеңу және философия саласындағы материалистік көзқарастарды нығайту құралы болып табылады. Н.И.Лобачевский ғылым саласындағы ең ірі революционерлердің бірі болды. Кейде оны «күнді тоқтатқан, жерді қозғалтқан» (Коперниктің ескерткішінде осылай жазылған) Коперникке теңейді. Ең ірі Совет геометрлерінің бірі В.Ф.Қаған бір кезде бұл жөнінде: «Жерді қозғалту үшбұрыш бұрыштарының қосындысын кемітуден гөрі оңайырақ болған шығар» деген. Өзінің замандастарының түсінбеушілігі мен жасаған кедергілеріне қарамастан Н.И.Лобачевский математикадан жаңа неғұрлым прогрессивтік идеялардың – болашақ ғылым негіздерін тағайындау үшін күрес жүргізген еді. Евклидтік геометрия және физикалық кеңістікАбстракт геометриялық әр түрлі схемалардың бар болуына байланысты мынандай сұрақтардың тууы табиғи нәрсе: физикалық шын кеңістіктің ұзақтығының қасиеттері қандай? Қандай геометрия шын геометрия болып табылады, бұдан басқа да логикалық жолмен ойлауға болатын геометриялық схемаларды да оқып үйренудің мағынасы бар ма? Өзінің ашқан геометриясының тәжірибеге сәйкес болуы Лобачевскийдің назарын қалай аударғандығы белгілі. Көпшілік қабылдаған Евклидтің геометриядан шегінушілік едәуір үлкен қашықтықтарда өлшегенде ғана табылатындығын біліп, Лобачевский астрономиялық бақылауларға сүйенген. Алайда, ол тәжірибе нәтижелерінің Евлкидтік теориядан байқаларлықтай қандай да бір өзгешіліктерді байқай алмады. Кейінгі кездерде қалайша ұйғарғанда тікелей тәжірибе мәліметтерін Лобачевский теориясымен сәйкестеуге болатындығын анықтау мақсатымен қажетті есептеулер жасалған еді. Лобачевский геометрияның негізгі формулаларында кеңістіктің қисықтық радиусы деп аталатын |