Ќазаќстан Республикасы Білім жјне єылым министрлігі
жүктеу/скачать 0.75 Mb.
|
| Дәріс тақырыбы 6: Коэффициенттері тұрақты біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеу
Оқу нәтижелері: n-ші ретті және коэффиценттері тұрақты сызықты дифференциалдық теңдеулердің анықтамалары біледі; n-ші ретті және коэффиценттері тұрақты дифференциалдық теңдеудің шешімі табу жолдарын меңгереді; алынған нәтижелерді тексеруге, дифференциалдық теңдеуді шешуде есептеу жүргізуге икемделеді; туынды пен интегралдың байланысын бағалайды; n-ші ретті және коэффиценттері тұрақты дифференциалдық теңдеуді шешуде сипаттаушы теңдеудің түбірін табу әдісін дұрыс таңдай, анализдеу жолын анықтай алады Дәріс жоспары n-ші ретті сызықты дифференциалдық теңдеулер Коэффиценттері тұрақты сызықты дифференциялдық теңдеулер. Дәріс тезистері 1. n-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады: (1) Егер , онда теңдеуді біртекті емес деп атайды, ал оны біртекті немесе (1) теңдеуге сәйкес келетін біртекті теңдеу деп атайды: (2) Осы біртекті теңдеудің шешімінің негізгі қасиеті: Егер , , ... (2) теңдеудің шешімдері болса онда (3) мұндағы кез келген тұрақты сандар, осы теңдеудің шешімі болады. Қандай шарттар орындалғанда (3) өрнек (2) теңдеудің жалпы шешімі болады деген сұрау туады. Осыған байланысты функциялардың сызықтық тәуелсіздігі деген ұғым енгіземіз. Анықтама. Егер берілген үшін бәрі нөлге тең емес тұрақты сандар табылып, үшін қатыс орындалса, онда функция жүйелерін интервалында сызықтық тәуелді деп атайды. Егер де бұл қатыс орындалса, онда функция жүйесін интервалында сызықтық тәуелсіз деп атайды. Айталық функциялар рет дифференциалданатын болсын. Осы туындылардан анықтауыш құрамыз: (4) (4)-ті вронскиан немесе Вронскийдің анықтауыш деп атайды. аралығында берілген және осы аралықта өзінің ретті үзіліссіз туындылары бар функцияның сызықтық тәуелсіз болуы үшін нүктесінде вронскианның нолге тең емес болуы жеткілікті, демек . Егер де берілген функциялар біртекті дифференциалдық теңдеудің дербес шешімдері болса, онда жоғарыдағы шарт жеткілікті ғана емес сызықтық тәуелсіздіктің қажетті де шарты болады. (2) теңдеудің кез-келген сызықтық тәуелсіз дербес шешімдер жүйесін осы теңдеудің фундаменталдық жүйесі деп атайды. Егер (2) теңдеудің фундаменталды жүйесі болса, онда (3) өрнек осы теңдеудің жалпы шешімі болады. (2) теңдеудің вронскианы анықталады. Бұл формуланы Лиувилль-Остроградский формуласы деп атайды. Біртекті емес (1) теңдеудің жалпы шешімі осы теңдеуге сәйкес біртекті (2) теңдеудің жалпы шешімі мен біртекті емес (1) теңдеудің кез-келген дербес шешімнің қосындысы түрінде өрнектеледі. 2. Біртекті емес (1) теңдеудің шешімін тұрақтыны вариациялау әдісімен (Лагранж әдісі) табуға болады. Сызықтық дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табу, оның коэффициенттері тұрақты болған жағдайда әжептеуір жеңіл. Енді осындай теңдеулерді қарасытырамыз. , (5) Мұндағы - қайсыбір нақты сандар. (5) теңдеуде ( ) Туындыларын табамыз: мәндерін (5) теңдеуге қойып қысқартқан соң (6) аламыз. (6) теңдеуді (5) дифференциалдық теңдеудің сипаттаушы теңдеуі деп атайды, ал теңдеу түбірлерін сипаттаушы сандар дейді. Осы түбірлердің мүмкін болатын мәндерін қарастырамыз: а) (6) теңдеу түбірлері әртүрлі нақты сандар болсын. Онда (5) теңдеудің фундаменталдық шешімдер жүйесі (7) болады Ал жалпы шешімі (7/) жазылады. (7) функциялардың вронскианы нолге тең емес екеніне көз жеткізу қиын емес. б) (6) теңдеу түбірлері нақты, сонымен қатар еселі түбірлері бар. Мәселен, айталық болсын, онда фундаменталдық шешімдер жүйесі: (8) Жалпы шешім (9) жазылады. в) Сипаттаушы түбірлердің ішінде комплекс сандар бар. Айталық, ал қалған түбірлер нақты және әр түрлі сандар болсын делік. Фундаменталдық жүйе шешімдері: ал жалпы шешім жүктеу/скачать 0.75 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|