Ќазаќстан Республикасы Білім жјне єылым министрлігі
жүктеу/скачать 0.75 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема-2
| Теорема-1. Егер 1(t),… n(t) - вектор-функциялары (1) жүйенің шешімдері болса, олардың кез келген сызықты комбинациясы да сол жүйенің шешімі болады.
Дәлелдеуі. Берілген функциялардың нақты сандар өрісіндегі сызықты комбинациясын алайық: (t)=11(t)+…+nn(t) Мұндағы, әрбір i(t) функциясы үшін тепе-теңдігі орындалады. Осыдан, Теорема-2. Егер (1) жүйенің комплексты (t)=u(t)+i v(t) шешімі бар болса, онда оның нақты және жорамал бөліктері өз алдарына (1) жүйенің шешімін береді. 4. Анықтама-1. Егер (a,b) аралығында анықталған 1(t),…n(t) функциялары үшін бәрі бірдей нөлге тең емес 1,,.., n сандары табылып, 11(t)+…+nn(t) =0 (2) теңдігі орындалса, онда берілген функциялар жиыны (а,b) аралығында сызықты тәуелді деп аталынады, ал (2) теңдік 1,,.., n сандарының тек нөлдік мәндерінде ғана орындалса, онда берілген функциялар жиыны (а, b) аралығында сызықты тәуелсіз деп аталады. Ескерту. Егер берілген функциялар жиыны (а, b) аралығында сызықты тәуелді болса, онда сол аралыққа жататын кез келген t0(а, b) нүктесінде де тәуелді болады. Кері ұйғарым орындалмайды, өйткені бұл жағдайда 1,,.., n сандары t0-ға тәуелді болады. Ал егер берілген функциялар жиыны белгілі бір дифференциалдық теңдеулер жүйесінің шешімдері болса, онда бір нүктедегі тәуелділік пен тәуелсіздік сәйкес аралықтағы тәуелділік пен тәуелсіздікке эквивалент. 5. Cызықты теңдеулер жүйесінің фундаменталь шешімдер жүйесі. Лиувилл формуласы. Төмендегідей біртекті сызықты теңцеулер жүйесін қарастырайық: (1) Анықтама-2. Біртекті сызықты жүйенің (а, b) аралығында анықталған n сызықты тәуелсіз шешімдер жиынын сол жүйенің осы аралықтағы базисі немесе фундаменталь шешімдер жүйесі деп атайды. Айталық, 1(t),…n(t) вектор-функциялары (1) жүйенің шешімдері болсын. Әрбір бағанасы осы векторлардың координаттарынан тұратын төмендегідей матрица құрайық: (2) Осы матрицаның анықтауышын Вронский анықтауышы немесе вронскиан деп атайды және оны W(t) - деп белгілейді. Сонымен, W(t) = W[1(t),… n(t)]=det Ф(t) Егер (2) матрицаның анықтауышы 0 ге тең болмаса, онда ол матрица фундаментал матрица деп аталады. Теорема–3. Егер 1(t),… n(t) вектор-функциялары (а,b) аралығында сызықты тәуелді болса, онда осы аралықта олардың вронскианы 0 ге тең болады. Теорема–4. Егер 1(t),…n(t) функциялары (1)-жүйенің (а,b) аралығындағы сызықты тәуелсіз шешімдері болса, онда осы аралықтың кез-келген нүктесінде вронскиан 0 ге тең болмайды. Теорема–5. Егер P(t) матрицасы (а,b) аралығындағы үздіксіз болса, онда (1) - жуйеның базисы әрқашанда бар болады және егер 1(t),… n(t) жүйеның базисы болса, онда оның шешімі мына түрде жазылады: x(t)=C11(t)+…+Cnn(t) Мұндағы C1,...,Cn – кез-келген тұрақты сандар. 2. Лиувилл формуласын келтірейік. теңдікті Лиувилл формуласы деп атайды. Мұндағы –берілген P(t) матрицасының ізі деп аталады. жүктеу/скачать 0.75 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|