Ќазаќстан Республикасы Білім жјне єылым министрлігі
жүктеу/скачать 0.75 Mb.
|
| Дәріс тақырыбы 10: Тұрақты коэффициентті біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйелері
Оқу нәтижелері: тұрақты коэффициентті біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйелері жазылуын, анықтамалары біледі; тұрақты коэффициентті біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйелерін шешу жолдарын меңгереді; алынған нәтижелерді тексеруге, дифференциалдық теңдеуді шешуде есептеу жүргізуге икемделеді; туынды пен интегралдың байланысын бағалайды; тұрақты коэффициентті біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйелерін шешу әдістерін дұрыс таңдай, анализдеу жолын анықтай алады. Дәріс жоспары Интегралданатын комбинация (тіркес) әдісі. Тұрақты коэффициентті дифференциалдық теңдеулер жүйесінің сипаттаушы теңдеуі және меншікті сандары. Дәріс тезистері 1. Интегралданатын комбинация (тіркес) әдісі. Бұл әдістің мағынасы берілген жүйелерге арифметикалық амалдар қолданып мәселен, қосу, алу т.б. түрлендірулер арқылы интегралдауға ыңғайлы теңдеулерге келтіріледі. 1-мысал. Теңдеулер жүйесін шешіңіз (1) (t-тәуелсіз айнымалы). Шешуі: Жоғарыдан теңдеулерді мүшелеп қосамыз немесе (2) Енді (1) жүйенің бірінші теңдеуінен екіншісін аламыз, сонда немесе (3) (2) және (3) өрнектерден аламыз. Симметриялы түрде берілген теңдеулер жүйесін де осы әдіспен шешуге болады. (4) Бұл теңдеуді шешкенде тең бөлшектер қасиетін пайдалану ыңғайлы: Егер және кез келген тұрақты сандар болса, онда 2-мысал. Теңдеулер жүйесін шешіңіз (5) Шешуі. Интегралданатын тіркесті жоғарыдағы өзара тең бөлшектер қасиетін қолданып құрамыз: немесе (5) теңдеудегі бірінші өрнекті ке көбейтіп, екіншісін ке көбейтіп, сонан соң бөлімдерінің қосындысына бөлеміз. немесе сонымен, 2. Тұрақты коэффициентті дифференциалдық теңдеулер жүйесінің сипаттаушы теңдеуі және меншікті сандары. Енді коэффициенттері тұрақты сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйесін қарастырамыз: (6) мұндағы -нақты сандар. (6) теңдеулер жүйесінің шешімі мына түрде ізделінеді: (7) - қайсыбір тұрақтылар, - бірмезгілде нөлге тең емес тұрақтылар. (7) өрнекті (3) ке қойып - ке қысқартқан соң қарай теңдеулер жүйесін аламыз. (8) (8) теңдеудің нөлге тең болмайтынын шешімін саны (9) теңдеудің шешімі болатындай етіп аламыз. (9) теңдеуді сипаттаушы теңдеу, ал теңдеу түбірлерін сипаттаушы сандар деп атайды. Түбірлердің мүмкін болатын жағдайлары: а) Түбірлері әртүрлі нақты сандар: Түбірдің әрбір мәндері ді (8) теңдеуге қойып дербес шешімдерді анықтаймыз: (10) Бұл шешімдердің фундаменталды шешімдер жүйесі болатынын көрсету қиын емес. Сондықтан (10) сызықтық тіркес (6) теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі болады. б) Сипаттаушы теңдеудің түбірлерінде комплекс сандар бар, айталық Бұл түбірлерге сәйкес келетін дербес шешімдер немесе мұндағы -нақты сандар. 3-мысал. Теңдеулер жүйесін шешіңіз: (11) Шешуі: (11) теңдеудің дербес шешімдерін (12) түрде іздейміз. Сипаттаушы теңдеуді жазамыз түбіріне сәйкес (12) дербес шешімді құрамыз: болсын, онда Сондықтан -ге сәйкес дербес шешімдер Дәл осылай ге сәйкес келетін дербес шешім (11) теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі: жүктеу/скачать 0.75 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|