Ќазаќстан Республикасы Білім жјне єылым министрлігі
Дәріс тақырыбы 2: Біртекті теңдеулер және біртекті теңдеулерге келтірілетін дифференциалдық теңдеулер
жүктеу/скачать 0.75 Mb.
|
| Дәріс тақырыбы 2: Біртекті теңдеулер және біртекті теңдеулерге келтірілетін дифференциалдық теңдеулер. Сызықтық теңдеулер
Оқу нәтижелері: біртекті теңдеулер және біртекті теңдеулерге келтірілетін, сызықтық дифференциалдық теңдеулердің анықтамалары біледі; біртекті, сызықтық дифференциалдық теңдеудің шешімі табу жолдарын меңгереді; алынған нәтижелерді тексеруге, дифференциалдық теңдеуді шешуде есептеу жүргізуге икемделеді; туынды пен интегралдың байланысын бағалайды; біртекті және сызытық теңдеудің шешуде айнымалыны ауыстыру әдісін дұрыс таңдай, анализдеу жолын анықтай алады. Дәріс жоспары Біртекті теңдеулер. Біртекті теңдеулерге келтірілетін дифференциалдық теңдеулер. Сызықтық теңдеулер Дәріс тезистері 1. Егер кез-келген саны үшін функцияға қатысты түріндегі теңдеу орындалатын болса ,онда функция өзінің аргументтеріне қатысты «n-өлшемді» біртекті функция деп айтылады. Егер (1) түріндегі теңдік орындалса, қарастырылып отырған функция өзінің аргументтеріне қатысты 0 өлшемді біртекті функция деп аталады. Мысалы функция өзінің аргументтеріне қатысты 0-өлшемді біртекті функция. Шындығында , Айталық, туындыға қатысқан шешілген бірінші ретті теңдеуді қарастырайық. (2) Анықтама: Дифференциалдық теңдеуді (3) біртекті деп атайды, егер P(x,y) пен Q(x,y) функциялары бірдей өлшемді біртекті функциялар болса, демек тепе- теңдіктер орындалады. (3) дифференциалдық теңдеуді мына түрге (4) келтіруге болады. Бұл теңдеуді (5) алмастыруы арқылы айнымалылары бөлінетін теңдеуге келтіруге болады, мұндай теңдеулердің интегралдауы белгілі. 2. Дифференциалдық теңдеу (6) мұндағы кез-келген тұрақты сандар. Егер (7) онда (8) алмастырулары арқылы біртекті теңдеуге түрленеді. Мұндағы белгісіз коэффиценттері төмендегі теңдеулер жүйесінен анықталады Сонан соң (8) өрнектен анықтап, берілген теңдеудің жалпы шешімін аламыз. Егер де болса, онда а1х+b1y=z алмастыру берілген теңдеуді айнымалылары бөлінетін дифференциалдық теңдеуге түрлендіреді. Егер (1) теңдеу нормалды түрде жазылса онда бұл теңдеуді біртекті деп атайды, егер функция нөлінші ретті біртекті болса, демек . Мысал. Біртекті теңдеудің нормальды түрге келтіреміз Демек, , біртектілігіне көз жеткіздік. (3) алмастырудан Сонда -бұл айнымалылары бөлінетін теңдеу. Енді ескеріп u дың орнына (5) қойып берілген теңдеудің жалпы шешімін аламыз. 3. (1) жазылады, мұндағы a(x), b(x), c(x) берілген аралықта үзіліссіз функциялар. десек, онда (1) теңдеуді мына түрде жазуға болады: (2) . Егер q(x)=0 болса, онда (3) (3) біртекті сызықтық деп атайды, егер де онда (2) біртекті емес сызықтық теңдеу деп атайды. (3) теңдеуді біртекті емес (2) теңдеуге сәйкес келетін біртекті сызықтық теңдеу деп те атайды. (2) теңдеуді шешудің екі әдісін қарастырайық. Тұрақтыны вариациялау әдісі. Бұл әдістің идеясы мынадай: алдымен (3) теңдеудің жалпы шешімін табу керек, сонан соң (2) теңдеудің шешімін табу үшін жалпы шешімдегі кез келген тұрақтыны x-тен тәуелді функция деп қарастырады да оны анықтайды. (3) теңдеуді жазсақ бұл теңдеудің айнымалылары бөлінетін екені айқын, демек (4) бұл біртекті теңдеудің жалпы шешімі және с тұрақты сан. Енді (5) жоримыз, да c(x) функциясын (5) функция (2) екі теңдеудің шешімі болады деп талап етіп анықтаймыз. жүктеу/скачать 0.75 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|