Ќазаќстан Республикасы Білім жјне єылым министрлігі
жүктеу/скачать 0.75 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Бернулли теңдеуі
- Риккати теңдеуі. Анықтама
- Теорема
немесе, мұндағы с1 кез келген тұрақты сан. тің мәнін (5) қойып (2) теңдеудің жалпы шешімін аламыз. (6) Алмастыру әдісі. Берілген біртекті емес (2) теңдеудің шешімін (7) Түрде іздейміз, мұндағы пен белгісіз функциялар, оларды табу керек. Осы мақсатпен ті (7) ден тауып (2) теңдеуге қоямыз: немесе Сонда функциясын (8) Орындалатындай етіп анықтаймыз, онда (9) бұдан функциясын анықтаймыз. Сонан соң пен тің мәндерін (7) қойып берілген теңдеудің жалпы шешімін анықтаймыз. Бернулли теңдеуі (13) мұндағы, түрдегі теңдеуді Бернулли теңдеуі деп атайды. Егер n=0, n=1-ге тең болса, онда (13) теңдеу сәйкес айнымалылары бөлінетін, сызықтық теңдеу болады. (14) алмастыру арқылы (13) теңдеу сызықтық теңдеуге түрлендіріледі. Риккати теңдеуі. Анықтама: Туындысына қарағанда шешілген және оң жағы ізделінетін функция у-тің квадраттық функциясы болып келген теңдеу, яғни мынадай дифференциалдық теңдеу (16) Риккати теңдеуі деп аталады. Мұндағы P(x), Q(x), R(x)- (a,b) (a ) интегралында х-тің үздіксіз функциялары. Егер P(x) болса онда Риккати теңдеуі сызықтық теңдеуге айналады, ал егер R(x) болса , онда (16) Бернулли теңдеуіне айналады. Риккати теңдеуін шешу жалпы айтқанда, квадратураға келтірілмейді. Бірақ мына теорема орынды. Теорема: Егер Риккати теңдеуінің бір дербес шешімі белгілі болса, онда оның толық шешімі екі квадратурамен табылады. Дәріс тақырыбы 3: Толық дифференциалдық теңдеулер. Оқу нәтижелері: толық дифференциалдық теңдеудің анықтамалары біледі; толық дифференциалдық теңдеудің шешімі табу жолдарын меңгереді; алынған нәтижелерді тексеруге, дифференциалдық теңдеуді шешуде есептеу жүргізуге икемделеді; туынды пен интегралдың байланысын бағалайды; толық теңдеудің шешуде интегралдық көбейткішті табу әдісін дұрыс таңдай, анализдеу жолын анықтай алады. Дәріс жоспары Толық дифференциялдық теңдеулар. Интегралдаушы көбейткіштер. Дәріс тезистері Егер симметриялы түрде берілген дифференциалдық теңдеуде Р(х,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) дербес туындылар тең болса (2) онда (1) теңдеуді толық дифференциалдық теңдеу деп атайды, оны (3) жазуға болады. (1) теңдеудің жалпы шешіммі функциясының анықталатыны белгілі: (4) немесе (4/) Мұндағы белгілі нүктелер. Мысалдар. Теңдеулерді интегралдандар 1. Шешуі. (2) шарт орындалады, онда Берілген теңдеудің жалпы шешімін аламыз 2. Шешуі. Дербес туындыларын табамыз (4) формула бойынша Айталық онда немесе Сонымен, берілген теңдеудің жалпы шешімі 3. мұнда Дербес туындыларын анықтаймыз онда Айталық немесе (1) дифференциалдық теңдеу әруақта толық дифференциалды болмайды, демек (2) шарт әр уақытта орындалмайды. Егер (1) теңдеудің сол жағы толық дифференциал болмаса және функциясы табылып, ол (5) болса, онда -ді интегралдық көбейткіш деп атайды. (5) теңдеу үшін немесе (6) Бұл интегралдық көбейткішке қарай дербес туындылы теңдеу. Жалпы айтқанда, (6) теңдеуді шешу берілген теңдеуді шешуден әлдеқайда күрделі. Сондықтан бұл есептің шешімін интегралдық көбейткіш не тек, тен, не тек у тен тәуелді деп есептеп табуға болады. 10. Айталық болсын, онда (6) өрнектен (7) 20. болсын, онда (6) өрнектен (8) Мысалдар. Интегралдық көбейткішін анықтап жалпы шешімін табыңдар. 4. мұнда Дербес туындыларын табамыз Енді Берілген теңдеуді ке көбейтеміз немесе , мұнда Дербес туындылары Сондықтан Айталық болсын, онда Берілген теңдеудің жалпы шешімі 5. (9) Мұнда Дербес туындыларды табамыз Демек, Берілген теңдеуді интегралдық көбейткішке көбейтеміз (9/) Енді Дербес туындыларды табамыз (9/) толық дифференциалды теңдеу болды. Сондықтан, болсын, онда Сонымен, берілген (9) теңдеудің жалпы шешімін аламыз жүктеу/скачать 0.75 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|