Љаза›стан РеспубликасыныЈ білім жЩне “ылым министрлігі
жүктеу/скачать 0.6 Mb.
|
А›ырсыз аз шамаларды салыстыру. А›ырсыз аз жЩне шамалары берілсін . Осы шамаларды салыстыру денеміз ›атнасыныЈ шегін табу. Б±л ›атынас тЇріндегі аны›талма“анды› деп аталады.Аны›тама 5 Егер а›ырсыз жЩне шамалары Їшін: а) болса, онда шамасы -мен салыстыр“анда жо“ар“ы ретті а›ырсыз аз шама деп аталады, ал шамасы -мен салыстыр“анда тйменгі ретті а›ырсыз аз шама деп аталады. б) , болса, онда мен бір ретті а›ырсыз аз шамалар деп аталады. в) болса, онда мен эквивалентті а›ырсыз аз шамалар деп аталады. Жиі ›олданылатын шектер – бірінші тамаша шек. - екінші тамаша шек. тізбегі Їшін теЈсіздігі орындалады. Сонды›тан жо“арыдан шенелген йспелі тізбек. шегі бар болады. саныныЈ жуы› мЩні болатыны дЩлелденген. Б±л сан Непер саны деп аталады. Та›ырып № 3 ФункцияныЈ шегі. функциясы нЇктесініЈ манайында мЇмкін сол нЇктеніЈ йзінен бас›а аны›талсын. Аны›тама Егер кішкене саны Їшін, осы саннан тЩуелді санын теЈсіздігін ›ана“аттандыратын барлы› нЇктелерінде теЈсіздігі орындалатындай етіп табу“а болса, онда саны -тіЈ нЇктесіндегі шегі деп аталадыда деп белгілінеді. Атал“ан шек тЇрінде де жазылады. Мысалы, екенін дЩлелдейік. Кез келген саны Їшін деп алып, болатынын кйреміз. Демек, Я“ни, болса, болады.
Б±л екі аны›тама эквивалентті аны›тамалар.
Теорема 1 . љосындыныЈ шегі шектердіЈ ›осындысына теЈ. Теорема 2 . КйбейтіндініЈ шегі шектердіЈ кйбейтіндісіне теЈ. Теорема 3 , . Егер болса, онда бйлшектіЈ шегі алымыныЈ шегін бйлімніЈ шегіне бйлгенге теЈ. Теорема 4 . Т±ра›ты шаманыЈ шегі сол шаманыЈ йзіне теЈ. Теорема 5 . Т±ра›ты шаманы шектіЈ сыртына шы“ару“а болады. Шектерді есептеу мысалдар: Мысал 1 Шек астында“ы бйлшекті (х-2)-ге ›ыс›артып Мысал 2 Мысал 3 М±нда“ы (бірінші тамаша шек) Мысал 4 Бесінші жЩне алтыншы мысалдарда“ы шектер бізге белгілі немесе (екінші тамаша шек) теЈсіздіктерін ›олдану ар›ылы есептеледі. Мысал 5 Мысал 6 Ескерту: шегі аны›талма“анды“ын, ал жЩне шектері аны›талма“анды“ын ай›ындайды. Аны›тама функциясыныЈ болып х-тіЈ -ге ±мтыл“анда“ы -ге теЈ шегі осы функцияныЈ сол жа›ты шегі деп аталады да деп белгіленеді, ал болып х-тіЈ -ге ±мтыл“анды“ы -ге теЈ шегі функцияныЈ оЈ жа›ты шегі деп аталады да, деп белгіленеді. Егер функциясы нЇктесінде жЩне осы нЇктеніЈ маЈайында аны›талып, теЈдігі орындалса, онда функциясы нЇктесінде Їзіліссіз болады. Егер осы екі теЈдіктіЈ еЈ кемінде біреуі орындалмаса, онда Їзіліс нЇктесі деп аталады. ®зілістіЈ екі тЇрі бар: 1. Секірме Їзіліс, егер болып немесе немесе нЇктесінде аны›талмаса. 2. Шексіз Їзіліс.
теЈдіктері орындалады, демек - секірме Їзіліс нЇктесі; секіріс -ге теЈ. У 3
1
Сурет 1.
теЈдіктері орындалады, демек шексіз Їзіліс нЇктесі. (Сурет-2) у 0 π х Сурет 2. Та›ырып № 5 ФункцияныЈ нЇктедегі туындысы мен дифференциалы 8.1 ТуындыныЈ аны›тамасы. ТуындыныЈ механикалы› ма“ынасы. 8.2 ТуындыныЈ геометриялы› ма“ынасы 8.3 ФункцияныЈ дифференциалдануы 8.4 ФункцияныЈ дифференциалы 8.5 Жо“ары ретті туындылар мен дифференциалдар. Лейбниц формуласы. 8.6 Дифференциалданатын функциялардыЈ негізгі теоремалары. Лопиталь ережесі. 8.7 Туынды ар›ылы функцияныЈ зерттеу. 5.1 ТуындыныЈ аны›тамасы. ТуындыныЈ механикалы› ма“ынасы. ТЇзу сызы›ты ›оз“алыстыЈ жылдамды“ын ›арастырайы›. Дене тЇзу сызы› бойымен жЩне уа›ыт ішінде жолын жЇрсін, я“ни ›ашы›ты› уа›ыттыЈ функциясы берілсін: . Б±л ›оз“алыс теЈдеуі. Дене ›оз“алысын уа›ыттыЈ мезгілінен мезгіліне дейін, я“ни интервалында ›арастырамыз. Дене уа›ытта жол жЇреді.
Шекке кйшеміз: . Аны›тама. Жол йсімшесініЈ уа›ыт йсімшесіне ›атынасыныЈ уа›ыт йсімшесі нйльге ±мтыл“анда“ы шегі: теЈдігімен аны›талатын шамасын дене ›оз“алысыныЈ мезгіліндегі лездік жылдамды“ы деп аталады. Айталы›, аралы“ында функциясы аны›талсын. Б±л аралы›тан нЇктесін алып, о“ан йсімшесін берейік. Сонда функциясы да йсімше ›абылдайды: , м±нда . Аны›тама. Егер нйльге ±мтыл“анда функция йсімшесі мен аргумент йсімшесі ›атынасыныЈ шегі бар болса, онда б±л шек берілген функцияныЈ нЇктесіндегі туындысы деп аталады: . Туындыны табу амалын функцияны дифференциалдау деп атайды. Жо“арыда ›арастырыл“ан физикалы› есепте айнымалы жылдамды› жЇрген жолдыЈ туындысына теЈ: . Б±л есеп туындыныЈ механикалы› ма“ынасын аны›тайды. 5.2 ТуындыныЈ геометриялы› ма“ынасы ›исы› сызы›тыЈ бойынан екі нЇкте жЩне алайы› жЩне сол нЇктелер ар›ылы ›июшы жЇргізейік. нЇктесін ›оз“алмайды деп есептеп, нЇктесін ›исы“ы бойымен нЇктесіне дейін жЇргізейік. Егер , онда тЇзуі -“а ±мтылады. Аны›тама. нЇктесі нЇктесіне ±мтыл“анда ›июшы мен тЇзу арасында“ы б±рыш нйльге ±мтылса, онда тЇзуін ›исы› сызы›тыЈ нЇктесіндегі жанамасы деп атайды. Айталы›, -тыЈ нЇктесіндегі туындысы . љиюшы осімен б±рыш жасайды. Сонда немесе . Егер , онда 1) ; 2) ; 3) , онда .
Сонымен, туынды функцияныЈ нЇктесіне жЇргізілген жанама мен осініЈ оЈ ба“ытыныЈ арасында“ы б±рыштыЈ тангенсін кескіндейді. Онда жанаманыЈ теЈдеуі: . Осы нЇктедегі жанама“а перпендикуляр тЇзуді нормаль тЇзу деп атайды; оныЈ теЈдеуі: . 5.3 ФункцияныЈ дифференциалдануы ФункцияныЈ туындысын табу амалын дифференциалдау деп, ал туындысы бар функцияны дифференциалданатын функция деп атайды. Егер функциясыныЈ нЇктесінде туындысы бар болса, онда функциясы осы нЇктеде Їздіксіз болады, ал Їзіліс функцияныЈ нЇктеде туындысы болмайды.
Егер кйбейтіндіде кйбейткіштіЈ біреуі т±ра›ты шама болса, онда , ййткені т±ра›ты шаманыЈ туындысы нйльге теЈ. КЇрделі функцияныЈ дифференциалдануы: Егер функциясыныЈ нЇктесінде, ал функциясыныЈ сол -ке сЩйкес нЇктесінде туындылары бар болса, онда сол нЇктесінде кЇрделі функциясыныЈ да туындысы бар болады жЩне мына“ан теЈ: . Мысалы: . Кері функцияныЈ дифференциалдануы: Егер функциясыныЈ нЇктесінде нйльге теЈ емес туындысы бар болса, онда сол -ке сЩйкес нЇктесінде щ“ан кері функциясыныЈ туындысы бар болады жЩне . Мысалы: . Осы функция“а кері функция: жЩне . Олай болса, . ДЩрежелік функцияныЈ туындысы: . Тригонометриялы› функциялардыЈ туындысы: ; ; ; Кері тригонометриялы› функциялардыЈ туындысы: ; ; ; Логарифмдік жЩне кйрсеткіштік функциялардыЈ туындылары: ; ; Логарифмдік дифференциалдау тЩсілі: кйрсеткішті-дЩрежелік функцияныЈ туындысын аны›тайы›. Ол Їшін берілген функцияны логарифмдеп, содан кейін логарифмдеу нЩтижесінде шы››ан функция“а дифференциалдау ережелерін ›олданамыз. Сонымен функциясын логарифмдесек болады. Осы йрнектен кЇрделі функцияныЈ туындысыныЈ формуласы бойынша: ; ; ; Мысалы: функциясыныЈ туындысын табу керек. , , . Ай›ындалма“ан функциялардыЈ туындылары: Айталы›, -тіЈ ай›ындалма“ан функциясы, я“ни тЩуелсіз айнымалыны функциясымен байланыстыратын, -ке ›атысты шешілмейтін, ›андай да бір теЈдеу ар›ылы беріледі. Онда функциясы -тен тЩуелді екенін есепке ала т±ра, б±л теЈдеуді бойынша дифференциалдаймыз. Мысалы: теЈдеуімен берілген функциясыныЈ туындысын табу керек. , , . Параметр ар›ылы берілген функцияныЈ туындысы: Айталы›, функция -тіЈ аргументі -тен тЩуелділігі параметр ар›ылы берілсін: жЩне , функциялардыЈ туындылары бар болсын. Б±л тЩуелділікті былай тЇсінуге болады: егер функцияныЈ кері функциясы бар болса жЩне , онда бір формуладан т±ратын теЈдікке келуге болады: . Енді кЇрделі функцияны дифференциалдау ережесін пайдаланамыз: . Осыдан . Екінші ретті туынды: жЩне Їшінші ретті туынды: . 5.4 ФункцияныЈ дифференциалы Айталы›, функциясыныЈ шектелген туындысы бар болсын, онда , демек , , - шексіз аз шама. Онда функцияныЈ йсімшесі: . Осы теЈдікте екінші ›осыл“ыш жо“ары ретті шексіз аз шама бол“анды›тан, бірінші ›осыл“ыш функция йсімшесіне эквивалентті болады.
Онда жо“арыда берілген теЈдіктіЈ бірінші ›осыл“ышы дифференциал болады. Дербес жа“дайда, егер болса, онда , я“ни жЩне осыны пайдаланып дифференциалдыЈ формуласын келесі тЇрде жазу“а болады: . Осыдан , я“ни туынды функция дифференциалыныЈ аргумент дифференциалына бйлінген мЩніне теЈ.
Негізігі элементар функциялардыЈ туындыларын біле т±рып, біз еш ›иынды›сыз осы функциялардыЈ дифференциалдарыныЈ кестесін ›±растыра аламыз. Айталы›, , , т.с.с. Арифметикалы› амалдар нЩтижелерініЈ дифференциалдары: ; ; . КЇрделі функцияныЈ дифференциалы: Айталы›, жЩне - Їзіліссіз функциялар жЩне олардыЈ туынддылары: , . Егер белгілесек, онда . Екі жа“ын -ке кйбейтеміз: , ал , олай болса, . ФункцияныЈ дифференциалдануы. Аны›тама. функциясы нЇктесінде дифференциалданады, егер оныЈ осы нЇктеде дифференциалы болса. Егер функциясы дифференциалданатын болса, онда ол міндетті тЇрде Їзіліссіз болады. Дифференциалды жуы›тап есептеулерге пайдалану.
Мысалы: мЩнін табу керек: , , , демек . Ал , . Сонда . 5.5 Жо“ары ретті туындылар мен дифференциалдар. Лейбниц формуласы. Егер функциясыныЈ туындысы бар болса, онда оны деп белгілеп, бірінші ретті туынды деп атаймыз. Осы 1-ші ретті туындыны бйлек функция деп ›арастырайы›, онда оныЈ туындысы бар болуы мЇмкін жЩне екінші ретті туынды деп аталады. Сол сия›ты функцияныЈ -ші ретті туындысын жазу“а болады: немесе . Мысалдар:
Егер жЩне дифференциалданатын функциялар болса, онда сызы›ты комбинация Їшін келесі формула орынды: , ал олардыЈ кйбейтіндісі Їшін: Б±л формула Лейбниц формуласы деп аталады. М±нда ; - бином коэффициенттері. Жо“ары ретті дифференциалдар ФункцияныЈ бірінші ретті дифференциалы келесі формуламен аны›талады: , ал екінші ретті дифференциалы: , . Сол сия›ты -ші ретті дифференциал мына формуламен аны›талады: . Б±л формуладан: -ші ретті туынды шы“ады.
Ферма теоремасыныЈ геометриялы› ма“ынасы: функцияныЈ графигіне жЇргізілген жанама оныЈ еЈ Їлкен немесе еЈ кіші нЇктесінде абсцисса осіне параллель болып орналасады. Ролль теоремасы. Егер функциясы кесіндіде Їзіліссіз жЩне осы интервалдыЈ ішкі нЇктелерінде дифференциалданатын болса, теЈдігі орындалса, онда -да еЈ болма“анда бір нЇктесі табылып, сол нЇктеде болады. Лагранж теоремасы. Егер сегментінде функциясы Їзіліссіз, аралы“ында дифференциалданса, онда сол аралы›та кем дегенде бір нЇктесі табылып, келесі теЈдік орындалады: . Коши теоремасы. Айталы›, сегментінде жЩне функциялары аны›талсын, сол кесіндіде Їзіліссіз жЩне оныЈ ішкі нЇктелерінде дифференциалданатын болса, онда бір нЇктесі табылып, сол нЇктеде тймендегі теЈдік орындалады: . Лопиталь ережесі. жЩне функциялары интервалында дифференциалданатын жЩне нЇктесінде нйльге айналатын болсын. Сонда егер тиісті шектер бар болса: , , онда осы йрнектер бойынша табыл“ан шектерді аны›талма“анды›тыЈ тЇрін ай›ындаудыЈ Лопиталь ережесі деп аталады. 6.1 Туынды ар›ылы функцияныЈ зерттеу. Дифференциалды› есептеудіЈ еЈ маЈыздысы – оны функцияныЈ зерттеуіне ›олдану, Щсіресе бірінші ретті туындыны ›олдану. ФункцияныЈ монотондылы“ы. Айталы›, кесіндіде функциясы аны›талсын жЩне кесіндініЈ ішінде дифференциалданатын болсын, онда 1) функциясы -да кемімейтін (йспейтін) функция болу Їшін , теЈсіздіктердіЈ орындалуы ›ажетті жЩне жеткілікті. 2) функциясы -да йспелі (кемімелі) болуы Їшін , теЈсіздіктердіЈ орындалуы ›ажетті жЩне жеткілікті.
Кризистік нЇктелерді табу Їшін теЈдеуін шешу керек. ФункцияныЈ монотондылы› аралы›тарын табу Їшін:
ФункцияныЈ экстремум нЇктелері. Аны›тама. Бір аралы›та аны›тал“ан жЩне Їзіліссіз болатын функциясы берілсін. осы аралы›та ішкі нЇктесі. Егер нЇктесініЈ айма“ыныЈ ішінде жат›ан барлы› -тер Їшін теЈсіздігі орындалса, онда функциясыныЈ нЇктесінде максимумы (минимумы) бар деп айтады. ФункцияныЈ минимум жЩне максимум нЇктелерін экстремум нЇктелер, ал осы нЇктедегі функция мЩндерін функцияныЈ экстремумы деп атайды. сегменттіЈ мен нЇктелерінде функцияныЈ экстремумы бола алмайды. Егер нЇктесі функциясыныЈ экстремум нЇктесі болса, онда б±л нЇктеде функцияныЈ туындысы болады жЩне нйльге теЈ. Айталы›, функциясы нЇктесінде Їзіліссіз жЩне оныЈ айма“ында туындысы болса, онда
Сонымен, функцияныЈ экстремумын табу Їшін:
ФункцияныЈ экстремумын екінші ретті туындыны пайдаланып іздестіруге болады. Ол Їшін:
ФункцияныЈ еЈ Їлкен жЩне еЈ кіші мЩндері. Аны›тама. сегментінде Їзіліссіз функцияныЈ еЈ Їлкен (еЈ кіші) мЩні деп осы функцияныЈ экстремумдерініЈ жЩне мен сандарыныЈ ішіндегі еЈ Їлкенін (еЈ кішісін) айтады. ФункцияныЈ еЈ Їлкен жЩне еЈ кіші мЩндерін табу Їшін:
љисы›тыЈ ойысты“ы мен дйЈестігі. Иілу нЇктелері. Егер интервалында болса, онда осы интервалда ›исы“ы дйЈес (ойыс) болады, я“ни ›исы› сызы› жанаманыЈ астында (Їстінде) орналас›ан. Егер немесе болмаса, біра› бар болса жЩне 2-ші ретті туындыныЈ нЇктесініЈ маЈайында таЈбасы йзгеретін болса, онда нЇктесі ›исы“ыныЈ иілу нЇктесі деп аталады.
АсимптотаныЈ ЇштЇрі болады: вертикаль, горизонталь, кйлбеу. Егер мына шектердіЈ , біреуі плюс немесе минус шексіздікке теЈ болса, онда тЇзуін функцияныЈ вертикаль асимптотасы деп атайды.
Егер болса, онда , я“ни тЇзуі горизонталь асимптота болып табылады. Та›ырып № 8 Бір айнымалы функцияны интегралды› есептеу 1 Аны›талма“ан интеграл Ал“аш›ы функция, аны›талма“ан интеграл ±“ымы: Егер бір Х аралы“ыныЈ Щрбір нЇктесінде F(x) функциясы Їшін немесе теЈдігі орындалса, онда F(x) функциясы осы аралы›та Їшін ал“аш›ы функция болады. Мысалы функциясы функциясыныЈ ал“аш›ы функциясы болады.
|