Љаза›стан РеспубликасыныЈ білім жЩне “ылым министрлігі
Теорема Егер функциясы Х аралы“ында Їшін ал“аш›ы функциясы болса, онда функциясы да (С-кез келген т±ра›ты) Їшін осы аралы›та ал“аш›ы функция болады
жүктеу/скачать 0.6 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Жиі ›олданылатын интегралдар кестесі
- 4 ереже бойынша
- Тригонометриялы› алмастырулар
Теорема Егер функциясы Х аралы“ында Їшін ал“аш›ы функциясы болса, онда функциясы да (С-кез келген т±ра›ты) Їшін осы аралы›та ал“аш›ы функция болады.Аны›тама Егер функциясы -тіЈ ал“аш›ы функциясы болса, онда оныЈ барлы› ал“аш›ы функцияларыныЈ жиынын, я“ни йрнегін -тіЈ аны›талма“ан интегралы деп атайды жЩне былай белгілейді: Б±л йрнектегі -интеграл астында“ы йрнек, ал х-интегралдау айнымалысы деп аталады. -интеграл белгісі. ИнтегралдаудыЈ негізгі ережелері: 1 Егер болса, онда , м±нда“ы 2 , демек т±ра›ты шаманы интеграл сыртына шы“ару“а болады. 3
Мысалы, деп алса› ,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Интеграл астында“ы функцияны ы›шамдау ар›ылы кейбір аны›талма“ан интегралдар 1-18 кестелік интегралды ›олданып есептеледі. Осы“ан мысалдар келтірейік.
Бйліміндегі кйпмЇшеліктен толы› квадрат бйліп аламыз. . Енді екенін ескеріп, кестедегі 8 формуланы пайдаланамыз. Дифференциал белгісініЈ астына кіргізу ар›ылы интегралдау:
жЩне м±нда“ы . Б±л тЇрлендіру функциясын дифференциал белгісініЈ астына кіргізу деп аталады. Мысал 5 2 ИнтегралдаудыЈ негізгі Щдістері Бйліктеп интегралдау Щдіс: Бйліктеп интегралдау формуласы деп келесі теЈдікті айтамыз. (1) Бйліктеп интегралдау формуласы бір интегралды екінші интеграл ар›ылы йрнектейді. Б±л формула екінші интегралды есептеу мЇмкіндігі бол“ан жа“дайда ›олданылады. Кей жа“дайда соЈ“ы нЩтижені алу Їшін бйліктеп интегралдау Щдісін ›айталап ›олдану“а тура келеді. 1) - тЇрдегі интеграл Егер, -п-дЩрежелі кйпмЇшелік болып, келесі , k=Const, функциялардыЈ бірі болса, онда деп алып, бйліктеп интегралданады. Б±л жа“дайда бйліктеп интегралдау п рет ›айталанады. 2) -тЇріндегі интеграл Егер -п дЩрежелі кйпмЇшелік, ал -келесі функциялардыЈ бірі болса , онда . Деп алып, бйліктеп интегралданады. 3) тЇріндегі интегралдар, м±нда“ы , a,b- т±ра›ты сандар. Б±л интегралдар айналымды интеграл деп аталады жЩне екі рет бйліктеп интегралдау ар›ылы ал“аш›ы интегралы бар теЈдеуге келеміз. Интеграл осы теЈдеуді шешу ар›ылы есептеледі. Мысал 1 интегралын есептеу керек. Шешуі деп аламыз. Сонда .(1)-формуласы бойынша, СоЈ“ы интеграл“а да бйліктеу интегарлдау Щдісін пайдаланып теЈдігіне келеміз. ИнтегралдыЈ осы мЩнін (2) теЈдігіне ›ойып, берілген интегалды табамыз: СоЈында,
СоЈ“ы интегралды та“ы да бйліктеп интегралдап, берілген интеграл белгісіз ретінде енетін теЈдеуіне келеміз. Осы теЈдеуден болатынын кйреміз. Алмастыру тЩсілін пайдаланып интегралдау: Кйп жа“дайда тЩуелсіз х айнымалысын алмастыру ар›ылы интегралын есептеуге болады. 1 Аны›талма“ан интегралдыЈ айнымалысын екі тЇрлі тЩсілмен алмастыру“а болады. а) м±нда“ы -монотоннды Їзіліссіз дифференциалданатын функция. Б±л жа“дайда“ы айнымалыны алмастыру формуласы. (3) Мысал 4 Шешуі деп алса›, онда Щ) АлмастырудыЈ екінші тЇрі м±нда“ы u –жаЈа айнымалы. Алмастыру формуласы: (4) Мысал 5 Шешуі ЖаЈа айнымалыны алмастыру ар›ылы еЈгіземіз. Б±л формуладан деп алып, интеграл астында“ы йрнекке ›ойса› . Енді ал“аш›ы айнымалы“а ораламыз.
а) Егер интегралда тЇріндегі йрнек кездессе, деп алынады да, , болады; Щ) Егер интегралда тЇріндегі йрнек кездессе, деп алынады да, , болады; б) Егер интегралда тЇріндегі йрнек кездессе, деп алынады да, , болады;
Енді теЈдігінен Сонды›тан, . Бйлшек-рационал функцияларды интегралдау Екі кйпмЇшеліктіЈ ›атынасы ретінде йрнектелетін R(x) функциясын рационал функция деп атайды. (1) м±нда“ы m, n –теріс емес бЇтін сандар. Егер n Келесі тйрт тЇрде берілген бйлшектерді жай бйлшектер деп атайды. м±нда“ы a, A, N, M, p, q т±ра›ты, ал k- бЇтін сан, . Рационал функцияларды интегралда“анда оларды д±рыс бйлшекке келтіріп, д±рыс бйлшекті жай бйлшектердіЈ ›осынды тЇрінде жазамыз. Жо“ары алгебра пЩнінде, коэффициенттері на›ты сан болатын m дЩрежелі кйпмЇшелік тймендегі канонды› тЇрде жіктелетіні дЩлелденген (2) М±нда“ы жЩне Егер б±рыс рационал бйлшек болса , онда оны, кйпмЇшелікті кйпмЇшелікке бйлу ар›ылы бйлщектіЈ бЇтін бйлімін аны›тап,
тЇріне келтіреміз. М±нда“ы , демек д±рыс бйлшек. Ал кез келген д±рыс бйлшек жай бйлшектердіЈ ›осындысына тймендегі тЇрде жіктеледі: (4) Б±л тепе- теЈдік. Сонды›тан аны›талма“ан А1, А2,...,Аk1, B1,C1,B2,C2,…,Be1,Ce1,… коэффициентерді, бйлшектерді орта› бйлімге келтіріп алымдарын теЈестіру ар›ылы есептеледі.
Интеграл астында“ы б±рыс бйлшекті кйпмЇшеліктерді бйлу ар›ылы д±рыс бйлшекке келтіреміз. интегралды жеке есептейміз. Интеграл астында“ы бйлшектіЈ бйлімі х2+х=х(х+1) тЇрінде жіктеп, д±рыс бйлшегін жай бйлшектердіЈ ›осындысы ретінде жазамыз: ирнектіЈ оЈ жа“ын орта› бйлімге келтіріп алымдарын теЈестіреміз: 4х-1=А(х+1)+Вх. Енді х=-1 деп алса›, онда В=5; ал х=0 десек, А=-1. Сонды›тан Демек, я“ни, берілген интеграл . Мысал 2 интегралын есептеу керек. Шешуі Интеграл астында“ы бйлшек д±рыс. Сонды›тан оны жай бйлшектердіЈ ›осындысына жіктейміз. Бйліміндегі х3 –тіЈ дЩрежесініЈ кему ретімен Їш ›осынды“а жіктеп жазамыз. ; A,B,C,D- белгісіздерді аны›талма“ан коэффициенттерді табу Щдісімен есептейміз. Ол Їшін йрнектіЈ оЈ жа“ын орта› бйлімге келтіреміз де алымдарын теЈестіреміз. х-тіЈ коэффициентерін теЈестіру ар›ылы келесі жЇйеге келеміз. Б±л жЇйеніЈ шешімі: Ендеше . Мысал 3 интегралын есептеу керек. Шешуі (4) теЈдігі бойынша интеграл астында“ы рационал бйлшекті жай бйлшектердіЈ ›осындысы ретінде жазамыз: A,B,C,D- белгісіздерін табу Їшін осы теЈдіктіЈ оЈ жа“ын орта› бйлімге келтіріп, алымдарын теЈестіріп, ±›сас мЇшелерді біріктіріп, х-тіЈ дЩрежесініЈ тймендеу ретімен жазамыз. Сонда (2) Енді х-тіЈ теЈ дЩрежелерініЈ коэффициентерін теЈестіру ар›ылы келесі жЇйеге келеміз. Б±л жЇйеніЈ шешімі: Осыдан
1 тЇріндегі интеграл. М±нда“ы, R-рационал функция, m,n,r,s –бЇтін сандар. Егер бйлшектерініЈ орта› бйлімі к болса, онда алмастыру ар›ылы интеграл астында“ы функция z –тен тЩуелді рационал функция“а келтіріледі: . М±нда“ы R(z) рационал функция. 2 тЇрдегі интеграл, m-натурал сан, a,b,c,d-т±ра›ты сандар жЩне ad-cb≠0.
Б±л функция алмастыруы ар›ылы б±л интеграл рационал функциядан алынатын интегар“а келтіріледі
Белгісіз A, B, C, D коэффициенттерін табу Їшін. тепе-теЈдігінен теЈдеулер жЇйесіне келеміз. Б±л жЇйеніЈ шешімі: Мысал 2 3 - тЇрдегі интеграл, м±нда“ы квадратты› иррационал функция деп аталады. A,B,C=т±ра›ты шамалар. Егер теЈдеуініЈ шешімдері на›ты сандар болса, онда б±л интеграл 2 пункттегі иррационал функция“а келтіріледі. Егер теЈдеуініЈ на›ты шешімі болмаса, онда алмастыруы ар›ылы келесі интегралдардыЈ біріне келеді. М±нда“ы бірінші интеграл , екіншісі интеграл , Їшінші интеграл алмастыруы ар›ылы рационал функциядан алынатын интеграл“а келтіріледі. 4 Эйлер алмастыруы
A=4>0 ЭйлердіЈ бірінші алмастыруы бойынша, Б±л рацинал функция. J-ге ›ойса›, . Ал“аш›ы айнымалы х-ке оралып, болатынын кйреміз. Мысал 4 . М±нда“ы ал . ЭйлердіЈ екінші алмастыруы бойынша, . Осы алмастыру ар›ылы берілген интеграл астында“ы функция рационалданады да, болады. Тригонометриялы› функцияларды интегралдау: , m,n бЇтін (на›ты) сандар. Интеграл астында“ы функция мына жа“дайларда рационалданады: а) Егер болса, t=cosx алмастыруы, ал болса t=sinx алмастыруы ар›ылы: Щ) m, n-ж±п жЩне нйлден Їлкен немесе нйлге теЈ болса, онда дЩреже тймендететін келесі формулалар пайдаланылады: (2) Мысал 1 Мысал 2 Шешуі б) Егер m мен n-сандары ж±п болып,жЩне біреуі теріс немесе m+n нйлден кіші ж±п болса, онда келесі алмастырулар ›олданылады. (5.3) Мысал 3 интегралды есептеу керек. Шешуі 2 тЇріндегі интеграл, м±нда“ы R-интеграл астында“ы рационал функция. Б±л функция алмастыруы ар›ылы рационалданады. Б±л алмастыру формулалары ар›ылы sinx пен cosx –тен тЩуелді рационал функцияны z-тен тЩуелді рационал функция“а келтіреді. Осы ма“ынада б±л алмастыру универсал алмастыру деп аталады. Ескерту: Кей жа“дайда орнына алмастыруы пайдаланылуы мЇмкін. Мысал 4 Шешуі алмастыруы бойынша, 3 , , -тЇріндегі интегралдар. формулалар ар›ылы есептеледі. Гиперболалы› функцияларды интегралдау: Негізгі формулалар: Мысал жүктеу/скачать 0.6 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|