Љазаљстан республикасыныў білім жшне ’ылым министрлігі
Туынды“а ›атысты шешілмеген теЈдеуді параметр енгізу жолымен интегралдау
жүктеу/скачать 3.4 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Лагранж жЩне Клеро теЈдеулері
Туынды“а ›атысты шешілмеген теЈдеуді параметр енгізу жолымен интегралдау.
(1.36) теЈдеулерді шешу Щдісі бойынша (1.35) теЈдеудіЈ барлы› шешімдерін табатын жа“дай туады. Мысал“а теЈдеуін алайы›. Осы теЈдеуді ›а ›атысты шешіп теЈдеулерін аламыз. ОлардыЈ шешімдері тиісінше болады. Ал берілген теЈдеудіЈ интегралды› ›исы›тары осы екі интегралды› ›исы›тар жиынынан т±рады. Ал егер (1.35) теЈдеу туынды“а ›атысты шешілмесе, (1.35) теЈдеуді кйп жа“дайда параметр енгізу жолымен интегралдайды. Тйменде кейбір дербес жа“дайларды кйрсетеміз. . F( ) =0 теЈдеудіЈ жалпы шешімін іздейік. Айталы›, бол“анда F( )=0 болсын. Онда . Осыдан сонда F( )=0 ›атысы берілген теЈдеудіЈ жалпы интегралын береді. Мысалы: теЈдеудіЈ жалпы шешімі, . . F( )=0. Б±л теЈдеу -›а ›атысты шешілмейтін болсын. Айталы› жЩне функциялары табылып, , болсын. Осыдан . Бізге екені белгілі. Демек dх= . -б±л теЈдеудіЈ параметрлік шешімі. Мысал-10. Сййтіп, Берілген теЈдеудіЈ параметрлік шешімі болып табылады.
(1.40)
(1.40)-ті йрнекті (1.39)-ге ›оямыз. Сонда (1.41) (1.41) теЈдеу мына тЇрге келеді. М±нда (1.41/) Егер оныЈ шешімі бар болса оны х=x(p) деп белгілейік. Сонда берілген теЈдеудіЈ параметрлік шешімі теЈдеуін ›арастырамыз. СоЈ“ы теЈдеу бірінші ретті, туынды“а ›атысты шешілген теЈдеу. ОныЈ шешімі у=y(p) болсын. Онда берілген дифференциалды› теЈдеудіЈ параметрлік шешімі
(1.42) тЇріндегі теЈдеуді Лагранж теЈдеуі дейді. Б±л теЈдеу ( ) теЈдеуініЈ дербес тЇрі болып табылады. Лагранж теЈдеудіЈ параметрлік шешімі ( ) теЈдеудіЈ шы“ару жолы бойынша табылады . Б±л теЈдеу х айнымалысына ›ара“анда сызы›ты› теЈдеу. ОныЈ Щр›ашанда шешімі бар.Оны x=F(p,c) тЇрінде белгілейміз. Сонда теЈдеуін Клеро теЈдеуі деп атайды. Клеро теЈдеуі бол“анда Лагранж теЈдеуінен шы“ады. -жалпы шешім. -ерекше шешім. изін-йзі ба›ылау тапсырмалары: Туынды бойынша шешілмеген теЈдеулер. 1. 2. 3. 4.
ДЩріс №7. Жай дифференциалды› теЈдеулердіЈ жалпы теориясы. Коши есебі шешімініЈ бар болуы жЩн жал“ызды“ы туралы теорема. Коши есебі шешімініЈ бастап›ы берілгендерден жЩне параметрлерден Їздіксіз тЩуелділігі. ШешімніЈ бастап›ы берілгендер жЩне параметрлер бойынша Їздіксіз дифференциалдануы.
Аны›тама 1. Мына тЇрдегі (2.1) системаны жай дифференциалды› теЈдеулер системасы деп атайды. М±нда функциялары белгілі, ал белгісіз функциялар. сандарыныЈ еЈ Їлкенін (2.1) системаныЈ реті деп атайды. Мысал“а бірінші ретті система“а тек ›ана х-айнымалысы функциялары жЩне олардыЈ бірінші ретті туындылары: кіреді, ал екінші ретті система“а та“ы да екінші ретті туындылары кіруге тиіс.
ите кйп физикалы› процесстер дифференциалды› теЈдеулер системасымен сипаттталатыны белгілі. Дифференциалды› теЈдеулер системасын ›арапайым тЇрде жазу Їшін векторлы› белгілеулерді пайдаланамыз. Мысал“а, функциялар жиынты“ын тймендегідей белгілейміз: М±нда -скаляр аргумент х-тіЈ векторлы› функциясы деп аталады. Векторлы› функцияныЈ туындылары: тЇрінде аны›талатыны белгілі. (2.2) тЇрдегі бірінші ретті дифференциалды› теЈдеулер системасын векторлы› тЇрде (2.3) жазылуын аламыз. Дифференциалды› теЈдеулер системасыныЈ ішінде (2.3) тЇрдегі системаныЈ орны ерекше. ийткені (2.1) тЇрдегі система Щр›ашанда ›осымша айнымалылар енгізу ар›ылы ( дифференциалды› теЈдеудіЈ толы› курстарынан табу“а болады) (2.3) тЇрдегі система“а келтіріледі. Шрине, б±л жа“дайда системаныЈ теЈдеулер саны кйбейетіні аны›. Егер (2.2) системада теЈдеулер саны белгісіз функциялар санына теЈ болса (n=l) жЩне системаны ›±райтын теЈдеулер туындылар“а ›атысты шешілсе, онда (2.2) системаны мына тЇрде (2.4) немесе векторлы› тЇрде (2. ) жазу“а болады. Аны›тама 3. (2.4) немесе ( ) тЇрдегі дифференциалды› теЈдеулер системасын ›алыпты жай дифференциалды› теЈдеулер системасы дейді. Кейбір жа“дайда белгісіз функциялар санын ›алыпты системаныЈ реті деп те атайды. Б±дан былай“ы жерде дифференциалды› теЈдеулердіЈ ›алыпты системасын ›арастырамыз. Оны векторлы› тЇрде, я“ни ( ) тЇрде демек тЇрде жазамыз. М±нда Кйріп отыр“анымыздай жо“ары индекстер вектордыЈ координаталарыныЈ нймерлерін кйрсететін болады. функциясы облысында аны›тал“ан деп есептейміз. М±нда йлшемді айнымалыларыныЈ евклид кеЈістігі. Егер мына шарттар : 1). векторлы› функциясы I аралы“ында Їзілісссіз дифференциалданатын болса 2). 3). орындалатын болса, онда функциясы (2. ) системасыныЈ шешімі деп аталады.
Айталы›, (2.5) дифференциалды› теЈдеулердіЈ ›алыпты системасы берілсін. (2.6) шартын ›ана“аттандыратындай (2.5) системаныЈ шешімін табуды (2.5) система Їшін т±жырымдал“ан Коши есебі дейді. (2.6) шартты бастап›ы шарт деп атайды. шамаларын бастап›ы берілімдер дейді. Б±дан былай (2.5)-(2.6) Коши есебі деп айтатын боламыз. (2.5)- (2.6) Коши есебініЈ (2.7) интегралды› теЈдеуге эквивалентті болатынын еске салайы›. (Б±л т±жырым скаляр функция Їшін дЩлелденген).
Егер функциясы R: т±йы› цилиндрінде Їзіліссіз функция болса жЩне осы R цилиндрінде Липшиц шарты, демек орындалса, онда ›андайда бір нЇктесініЈ тйЈірегі да (2.5)–(2.6) Коши есебініЈ жал“ыз “ана шешімі бар болады. М±нда (ескерту: ; векторыныЈ модулін аны›тайды). ТеореманыЈ дЩлелдеуі f(x,y) скаляр функция бол“анда“ы Пикар теоремасыныЈ дЩлелдеу жолы ар›ылы іске асады. Онда“ы y(x) скаляр функциясын -векторлы› функциямен ауыстырса бол“аны.
1. 2. 3. 4.
ДЩріс №8. љалыпты жЇйеге арнал“ан бастап›ы есеп шешімініЈ бар болуы жЩне жал“ызды“ы туралы теорема. Ал“аш›ы интегралдар. Жо“ар“ы ретті дифференциалды› теЈдеулер Їшін бастап›ы есеп шешімініЈ бар болуы жЩне жал“ызды“ы туралы теорема. љалыпты системаныЈ жалпы шешімініЈ аны›тамасы скаляр жа“дайда берілген аны›тамамен бірдей. Ол мына турде жазылады. немесе координатты› формада Шрбір векторыныЈ белгілі мЩнінде жалпы шешімінен алынатын шешімді ›алыпты системаныЈ, дербес шешімі деп атайды. Ерекше шешім деп, оныЈ Щрбір нЇктесінде Пикар теоремасыныЈ, еЈ болма“анда бір шарты орындалмайтын шешімді айтады. Аны›тама 4. Егер функциясында вектор - функциясын берілген ›алыпты системаныЈ кез келген дербес шешімімен ауыстыр“анда оныЈ мЩні т±ра›ты с сан“а теЈ болса, онда функциясын ›алыпты системасыныЈ интегралы деп атайды. Егер функциясы ›алыпты системасыныЈ интегралы бола т±рып жЩне оныЈ айнымалылары бойынша Їзіліссіз дербес туындылары бар болса, онда Щрбір дербес шешімніЈ бойында функциясы т±ра›ты сан“а айналатынды›тан оныЈ толы› дифференциалы d де дербес шешімніЈ бойында нйлге теЈ болады, демек d (2.8) Сондай-а› дербес шешімніЈ бойында (2.9) (k=1,2,...,n) теЈдігі орындалатыны белгілі. Сонды›тан (2.8) теЈдікті былай жазу“а болады. (2.10) Сонымен, егер интегралыныЈ барлы› аргументтері бойынша дербес туындылары бар болса, онда оныЈ толы› дифференциалы (2.11) ›алыпты системасыныЈ негізінде тепе-теЈдікке айналады. (2.11) системасыныЈ теЈдеулер саны (реті) аз бол“ан сайын, оны интегралдау оЈайлана береді. Сонды›тан системаныЈ ретін тймендетуге тырысады. Біз тйменде ›алыпты системаныЈ бір интегралы белгілі болса, онда оныЈ ретін бірге кемітуге болатынын кйрсетейік. Айталы›, бір интеграл белгілі болсын, демек (2.12) Б±л теЈдік -ге ›ара“анда шешіледі деп жорыйы›. (2.13) осыны (2.11) теЈдікке -Ј орнына ›ойып (2.14) системасын айтамыз. Енді (2.14) системаныЈ шешімін табудыЈ сЩті тЇсті деп жорыса›, онда
(2.15) йрнекті (2.13) теЈдікке ›ойып, (2.16) теЈдігін аламыз. (2.15) жЩне (2.16) формулалар (2.11) системаныЈ шешімін береді. Бірнеше тЩуелсіз интегралдары белгілі болса, онда оныЈ ретін сонша бірлікке тймендетуге болатыны шы“ады. изін-йзі ба›ылау тапсырмалары: Лагранж жЩне Клеро теЈдеулері. Ерекше шешімдер. 1. 2. 3. 4.
ДЩріс №9. Сызы›ты› біртектес теЈдеулер. Сызы›ты› дифференциалды› оператор. (4.1) тЇріндегі теЈдеуді n ретті сызы›ты› дифференциалды› теЈдеу деп атайды. М±нда , функциялары белгілі бір интервал -да берілген функциялар. Егер g(x) 0 болса, онда (4.1) теЈдеуді сызы›ты› біртектес теЈдеу дейді. Ал , онда сызы›ты› біртектес емес теЈдеу болады. Айталы›, сызы›ты› біртектес теЈдеуі берілсін. Егер белгілі бір интервалда болса, онда берілген теЈдеудіЈ барлы› мЇшелерін -ке бйліп тймендегі теЈдеуді аламыз
Еске сала кетейік. Егер (4.2) теЈдеудегі , f(x) белгілі бір интервалда Їзіліссіз болса, онда (4.1) теЈдеу Їшін т±жырымдал“ан Коши есебініЈ жал“ыз “ана шешімініЈ бар болатынын йткен тарауда кйрсеткен болатынбыз. Айталы› Е жЩне F функциялар жиыны болсын. Егер Щрбір функциясына белгілі бір заЈдылы› бойынша бір “ана функциясы сЩйкес ›ойылса, онда мЩндері F жиынында жататын, Е жиынында аны›тал“ан (берілген ) оператор берілді дейді. Оны былай белгілейді А: , немесе f=Ay. Егер Е сызы›ты› кеЈістік болса жЩне мына теЈдіктер 1) , 2) , -сан орындалса онда А сызы›ты› оператор деп аталады. (4.2) теЈдеудіЈ сол жа“ын L[y] ар›ылы белгілейік: L-сызы›ты› оператор болады. Шынында да, осыныЈ салдары ретінде теЈдігін аламыз м±нда - т±ра›тылар - операторын б±дан былай сызы›ты› дифференциалды› оператор деп атайтын боламыз. Ал (4.2) теЈдеуді ›ыс›а тЇрде (4.2/) Сызы›ты› біртектес теЈдеудіЈ кейбір ›асиеттерін кйрсетеміз. Теорема 1. Егер функциялары сызы›ты› біртектес теЈдеудіЈ шешімдері болса онда олардыЈ сызы›ты› канбинациясы да теЈдеудіЈ шешімі болады. ДЩлелдеуі. Шарт бойынша . ДЩлелдеу керек болатынын. -операторы сызы›ты› бол“анды›тан , ййткені осыдан болады, демек, функциясы теЈдеуініЈ шешімі. Теорема 2. Егер функциясы коэффиценттері на›ты болатын сызы›ты› бітектес теЈдеудіЈ комплекс шешімі болса, онда оныЈ на›ты бйлігі де жЩне жорамал бйлігі де теЈдеуініЈ шешімі болады. ДЩлелдеуі. Шарт бойынша L-сызы›ты› оператор бол“анды›тан . Ал комплекс сан нольге теЈ болу Їшін оныЈ на›ты жЩне жорамал бйлігі нольге теЈ болуы тиіс. Сонды›тан жЩне . Демек жЩне функциялары да (4.2/) теЈдеуініЈ шешімі екен. изін-йзі ба›ылау тапсырмалары: ДЩрежесі тймендетіліп шешілетін теЈдеулер. 1. 2. 3.
4. °сынылатын Щдебиеттер:
ДЩріс №10-11. Сызы›ты› тЩуелді сызы›ты тЩуелсіз функциялар системасы. Вронский аны›тауышы. Айталы› функциялар системасы (а,в) интервалында берілсін. Аны›тама 1. Егер барлы“ы бірдей нольге теЈ емес сандары табылып, (4.3) тепе-теЈдігі орындалса, онда функциялар системасы интервалында сызы›ты тЩуелді дейді. Егер (4.3) тепе-теЈдік тек ›ана бол“анда орындалса онда функциялары интервалында сызы›ты тЩуелсіз деп аталады. Бірнеше мысалдар келтірейік.
Шынында да бол“анда кйреміз.
Осы мысалдан мынаны бай›аймыз: Егер функциялар системасыныЈ бір бйлігі сызы›ты тЩуелді болса, онда барлы› система да сызы›ты тЩуелді болады. Екі функцияныЈ сызы›ты тЩуелділігі оныЈ біреуі екіншісін бір нольге теЈ емес сан“а кйбейткеннен шы“атынын кйрсетеді, я“ни , . Сондай-а›, функциялар системасы (a,b) аралы›та сызы›ты тЩуелді болса, онда оныЈ еЈ кемінде біреуін ›ал“андарыныЈ сызы›ты› комбинациясы тЇрінде йрнектеуге болады. Шынында да, сызы›ты тЩуелді бол“анды›тан , . Аны›ты› Їшін болсын. Онда , м±нда .
теЈдігі (n-1) дЩрежелі теЈдеу болады. Ал оныЈ тЇбірлерініЈ саны (n-1)-ден арта алмайтыны белгілі. Сонды›тан, йрнегі кез келген интервалдыЈ барлы› нЇктесінде нольге айнала алмайды. Тепе-теЈдік бол“анда “ана орындалады. Ендеше, функциялар системасы аны›тама бойынша сызы›ты тЩуелсіз. Осы дЩлелдеулерден кейбір функциялар системасыныЈ сызы›ты тЩуелділігін немесе сызы›ты тЩуелсіздігін та“айындау“а мЇмкіндік беретіндей белгіллерді ›арастыру ›ажеттігі ту“анын бай›аймыз. Енді осы мЩселеге кірісейік. Егер функциялар системасы (n-1) рет дифференциалданатын болса, онда олардан тймендегі n ретті аны›тауышты ›±ру“а болады:
Б±л аны›тауыш x айнымалысыныЈ функциясы болатыны белгілі, демек . Енгізілген аны›тауышты Вронский аны›тауышы немесе вронскиан деп атайтын боламыз (И.Вронский поляк математигі). Теорема 3. (сызы›ты тЩуелділіктіЈ ›ажетті шарты). Егер функциялары (a,b) аралы“ында (n-1) рет дифференциалданатын сызы›ты тЩуелді функциялары болса, онда осы функциялардан ›±рыл“ан Вронский аны›тауышы нольге тепе-теЈ болады, я“ни, , . ДЩлелдеуі: Кйрнекілік Їшін n=3 жа“дайын дЩлелдейміз. Айталы› функциялары (a,b)-да сызы›ты тЩуелді болсын. Онда барлы“ы бірдей нольге теЈ емес сандары табылып , болады. Аны›ты› Їшін, . Онда , м±нда , . Вронский аны›тауышын ›±рамыз. ; , , себебі соЈ“ы екі ›осыл“ыш аны›тауыштардыЈ екі ба“аныныЈ элементтері пропорционал. Сонды›тан, аны›тауыштыЈ белгілі ›асиеті бойынша нольге теЈ болады. Теорема толы“ымен дЩлелденді. Керісінше пайымдау ар›ылы тймендегі теореманы йте жеЈіл дЩлелдеуге болады.
(a,b) интервалында сызы›ты тЩуелсіз функциялар , коэффициенттері (a,b) интервалында Їзіліссіз болатын (4.4) сызы›ты› біртектес дифференциалды› теЈдеудіЈ шешімдері болса, онда осы функциялар системасыныЈ Вронский аны›тауышы (a,b) интервалыныЈ ешбір нЇктесінде нольге айнала алмайды. ДЩлелдеуі. ОЈайлы› Їшін n=3 болсын. Айталы›, нЇктесінде деп кері жорыйы›. Тйменде ›ара“анда сызы›ты› біртектес алгебралы› системаны ›±райы›: (4.5) Жоруымыз бойынша (4.5) системасыныЈ аны›тауышы . Сонды›тан (4.5) системаныЈ ноль емес шешімі бар болады. Оны ар›ылы белгілейік. М±нда осы Їш санныЈ еЈ кемінде біреуі нольден йзгеше. Енді мына (4.6) функцияны ›арастырамыз. Б±л функция (4.4) теЈдеудіЈ шешімдерініЈ сызы›ты› комбинациясы бол“анды›тан ол берілген біртектес теЈдеудіЈ шешімі болып табылады жЩне (4.6) шешім (4.5) теЈдеулердіЈ негізінде нольдік бастап›ы шарттарды ›ана“аттандырады. Я“ни,
М±ндай бастап›ы шартты, кйрініп т±р“андай, (4.4) теЈдеудіЈ нольдік шешімі де ›ана“аттандырады. Онда шешімніЈ жал“ыз болуы туралы теорема бойынша , болады, оныЈ Їстіне -діЈ кемінде біреуі нольден йзгеше. Ендеше функциялары (a,b) интервалында сызы›ты тЩуелді. Б±л ›орытынды теореманыЈ шартына ›айшы. Олай болса біздіЈ жоруымыз ›ате, теореманыЈ т±жырымы д±рыс деген сйз. Демек, Теорема 3 пен Теорема 4 ден салдар ретінде тймендегі теорема шы“ады. Теорема 6. (a,b) аралы“ында коэффициенттері Їзіліссіз болатын (4.4) сызы›ты› біртектес дифференциалды› теЈдеудіЈ дербес шешімдері , (a,b) интервалында сызы›ты тЩуелсіз болу Їшін шешімдердіЈ системасыныЈ вронскианы нольден йзгеше болуы ›ажетті жЩне жеткілікті. ДЩлелдеуі. љажеттілігі теорема 4 ден шы“ады. Жеткіліктілігі теорема 3 ден шы“ады. Себебі функциялары сызы›ты тЩуелді болса, онда . Сонды›тан -са функциялары сызы›ты тЩуелді бола алмайды. Демек, олар сызы›ты тЩуелсіз. изін-йзі ба›ылау тапсырмалары: Коэффициеттері т±ра›ты сызы›ты біртекті теЈдеулер 1.
2. 3. 4.
ДЩріс №12. Сызы›ты› біртектес дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімініЈ ›±рылымы. Теорема 7. D: a (4.7) сызы›ты› біртектес дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімі мына тЇрде (4.8) аны›талады. М±нда , (1) теЈдеудіЈ сызы›ты тЩуелсіз дербес шешімдері, ал еркін т±ра›тылар. ДЩлелдеуі. (4.8) функция (4.7) теЈдеудіЈ жалпы шешімі болуы Їшін екі шартты ›ана“аттандыруы керек: Біріншісі параметрлерініЈ барлы› мЩндерінде (4.8) функция (4.7) теЈдеудіЈ шешімі болуы тиіс. Б±л талап орындалады. (IV-тарау, §1, Т.1 ›араЈыз). (4.7) теЈдеу Їшін кйрсетілген D облысында бар болу жЩне жал“ызды› теоремасыныЈ барлы› шарттары орындалатыны белгілі. Екіншісі, кез келген берілген бастап›ы , , (4.9) шартты (4.8) функция ›ана“аттандыратындай параметрлерініЈ мЩндерініЈ бар болуын кйрсету. Кйрнекілік Їшін n=3 деп аламыз. Егер функциясы (4.9) бастап›ы шартты ›ана“аттандырсын деп талап ›ойса›, онда мына (4.10) сызы›ты› алгебралы› теЈдеулер системасын аламыз. Б±л системаныЈ аны›тауышы (Вронскиан), себебі функциялары шарт бойынша (4.7) теЈдеудіЈ сызы›ты тЩуелсіз шешімдері, олай болса (4.10) теЈдеулер системасы , кез келген Їшін бірмЩнді тЇрде шешіледі. Б±л (4.8) функция (4.9) бастап›ы шартты ›ана“аттандыратындай параметрлерініЈ мЩндерін таЈдап алатындай мЇмкіндік бар екенін кйрсетеді. Демек (4.7) теЈдеудіЈ жалпы шешімі оныЈ сызы›ты тЩуелсіз дербес шешімдерініЈ сызы›ты› комбинациясы болып табылады. Аны›тама 2 n ретті сызы›ты› біртектес дифференциалды› теЈдеудіЈ кез келген n сызы›ты тЩуелсіз шешімдерініЈ жиынты“ын оныЈ фундаментальды шешімдер системасы дейміз. Теорема 8. Коэффициенттері k=0,1,…,n Їзіліссіз болатын Щрбір сызы›ты› біртектес дифференциалды› теЈдеудіЈ фундаментальды шешімдер системасы бар болады (ол тіпті а›ырсыз жиын ›±райды). Мысал“а коэффициенттері k=0,1,…,n [a,b]-да Їзіліссіз болатын (4.11) теЈдеуін алайы›. Айталы›,
(4.12) шешімдердіЈ нЇктесіндегі Вронский аны›тауышы болады.
Демек, (4.12) шешімдер (4.11) теЈдеудіЈ фундаментальды шешімдер системасын ›±райды. Осыдан бастап›ы берілімдерді: , , , сан алуан тЇрде алу“а болатыны шы“ады. Тек ›ана шарты орындалса жеткілікті. Кйріп отыр“анымыздай, бастап›ы шартты йзгерткен сайын фундаментальды шешімдер системасы да йзгеріп отырады. Ендеше олар а›ырсыз жиын ›±райды.
(м±нда сегментінде Їзіліссіз функциялар) y (x),y (x),…,y (x) –функциялары орта› фундаментальды шешімдер системасы болса, онда б±л теЈдеулер Їйлеседі, демек болады. Кйрсетілген теореманыЈ дЩлелдемесін дифференциалды› теЈдеулердіЈ бас›а толы› курсынан табу“а болады. Сонымен, теорема 9 –дан шы“атын ›орытынды (4.7) тЇрдегі сызы›ты› біртектес теЈдеу, оныЈ фундаментальды шешімдер системасымен толы› аны›талатынды“ы, демек коэффициенттерін фундаментальды шешімдер системасыныЈ кймегімен бір мЩнді аны›тау“а болады. Сол жа“ы аны›тауыш ар›ылы йрнектелетін дифференциалды› теЈдеуді ›арастырайы›: (4.13) м±нда у(х) ізделіп отыр“ан функция, ал y (x),y (x),…,y (x) –берілген фундаментальды шешімдер системасы. y (x),y (x),…,y (x) функциалары (4.13) теЈдеудіЈ шешімдері болатынын кйру ›иын емес. ийткені y(x) функциясыныЈ орнына осы функциялардыЈ Щр›айсысын ›ой“анда аны›тауыштыЈ екі ба“аныныЈ элементтері бірдей болады. Сонды›тан аны›тауыш нольге айналады. Аны›тауышты соЈ“ы ба“аныныЈ элементтері бойынша жіктегенде (4.13) теЈдеуден тймендегі теЈдеуді аламыз: W(x)y (4.14) М±нда W(x)-y функциаларыныЈ Вронский аны›тауышы. Ал Аны›тауыш W(x) , ййткені y фундамен- тальды шешімдер системасы. Ендеше (4.14) теЈдеудіЈ барлы› мЇшелерін W(x)-ке бйлу ар›ылы оны мына тЇрге келтіреміз:
М±нда, жекелеп ал“анда, . Егер n ретті аны›тауышыныЈ элементтері дифференциалданатын a тЇріндегі функциялар болса, онда аны›тауышыныЈ туындысы тймендегі формула бойынша аны›талатынын дЩлелдеуге болады: . М±нда аны›тауышынан нймірі k-“а теЈ болатын жолды оныЈ туындысымен ауыстыр“анда“ы шы››ан аны›тауыш›а теЈ. Мысал“а функцияларыныЈ Вронский аны›тауышы Їшін мына теЈдік
орындалатынын кйреміз. Осы айтыл“анныЈ негізінде теЈдігін тексеру ›иын емес. Демек, P . СоЈ“ы теЈдеуді x бойынша x -ден x-ке дейін интегралдау ар›ылы W(x)=W( )e формуласын аламыз. Б±л формуланы Остраградский-Лиувилль формуласы деп атайды. Шешімдері болатынын екінші ретті сызы›ты› біртектес теЈдеуді ›±р. Берілген функциялар сызы›ты тЩуелсіз екендері белгілі. Жо“арыда“ы айтыл“андар“а сЩйкес іздеп отыр“ан теЈдеуіміз мына тЇрде болады: Осыдан , . Б±л функциялар x=0 нЇктесінде Їзіліске ±шырайды. Сонды›тан осы функциялардыЈ Якобианы , x=0 нЇктесінде нйльге айналады, демек x=0 нЇктесінде сызы›ты тЩуелсіз шешімдердіЈ ›ажетті шарты орындалмайды.
Осы туындылардыЈ йрнектерін (4.7) теЈдеуге апарып ›ойып, тймендегі теЈдеуді аламыз. . Шарт бойынша, шешім. Сонды›тан Онда соЈ“ы теЈдеу тймендегі тЇрге келеді. М±нда k=1,2,…,(n-1). Теорема дЩлелденді.
Берілген теЈдеудіЈ ретін кеміту Їшін формуласы бойынша u айнымалысын енгіземіз. Осы функцияныЈ туындыларын тауып, берілген теЈдеуге апарып ›оямыз: · Осыдан lnu +3ln|x|=0; u= (бір шешім жеткілікті); y2=x =x·(- )=- (бір шешім жеткілікті); y1=x, y = - функциялары сызы›ты тЩуелсіз. (т±ра›ты емес). Онда берілген теЈдеудіЈ жалпы шешімі болады. c1 жЩне c2 еркін т±ра›тылар. изін-йзі ба›ылау тапсырмалары: Коэффициеттері т±ра›ты сызы›ты біртекті теЈдеулер 1. 2. 3. 4.
ДЩріс №13-14. Сызы›ты› біртектес емес дифференциалды› теЈдеулер.
|