Сызы›ты› бір тектес емес дифференциалды› теЈдеуді т±ра›тыны вариациялау Щдісімен интегралдау

Сызы›ты› бір тектес емес дифференциалды› теЈдеуді т±ра›тыны вариациялау Щдісімен интегралдау.

1. 
   Сызы›ты› біртектес емес дифференциалды› теЈдеулер.
   

м±нда белгілі бір интервалында берілген функциялар. Егер болса, онда (4.21) теЈдеудіЈ мЇшелерін

теЈдеуіне келеміз. М±нда .

Егер , сегментінде Їзіліссіз болса, онда

шарттарын ›ана“аттандыратындай (4.22) теЈдеудіЈ жал“ыз шешімі болатыны ІІ-тарауда кйрсетілген. М±нда (4.22) теЈдеуді ›ыс›а тЇрде былай жазамыз:

(4.22^/)

м±нда .

L-операторыныЈ сызы›ты› ›асиетініЈ негізінде

Демек, функциясы теЈдеуініЈ шешімі деген сйз.

Теорема 12. Егер теЈдеуініЈ шешімі болса, онда функциясы теЈдеуініЈ шешімі болады.

ДЩлелдеуі. Шарт бойынша L-операторыныЈ сызы›ты› ›асиетін ›олданып теЈдігін аламыз. Осыдан функциясы теЈдеуініЈ шешімі екені шы“ады.

Теорема 13. Егер теЈдеуініЈ (м±нда на›тылы мЩнді функциялар) функциясы шешімі болса, онда функциялары тиісінше теЈдеулерініЈ шешімі болады.

ДЩлелдеуі. Шарт бойынша L-сызы›ты› оператор бол“анды›тан Екі комплекс санныЈ теЈдігінен . Теорема дЩлелденді.

Теорема 14. (Сызы›ты› бір тектес емес дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімініЈ ›±рылымы туралы) D: облысында

(4.23)

(м±нда )-да Їзіліссіз функциялар) теЈдеуініЈ жалпы шешімі о“ан сЩйкес келетін біртектес теЈдеудіЈ жалпы шешімі мен оныЈ ›андай да бір дербес шешімі -тіЈ ›осындысына теЈ болады, демек . Б±л теореманыЈ дЩлелдеу Щдісі сызы›ты› бір тектес дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімініЈ ›±рылымы туралы теореманыЈ дЩлелдеу Щдісіне йте ±›сас.

1. 
   функциясы берілген теЈдеудіЈ шешімі екеніЈ бай›ау ›иын емес.
   
2. 
   біртектес теЈдеудіЈ жалпы шешімін іздейміз. Ол Їшін сипаттаушы теЈдеудіЈ шешімі
   
3. 
   Ал берген біртектес емес теЈдеудіЈ жалпы шешімін мына т±рде немесе табамыз.
   

1. Сызы›ты› бір тектес емес дифференциалды› теЈдеуді т±ра›тыны вариациялау Щдісімен интегралдау

теЈдеуі берілсін. М±нда , k=1,2,...,n жЩне f(x) функциялары [a,в] сегментінде Їзіліссіз функциялар. Сондай–а› (4.24) теЈдеуге сЩйкес келетін біртектес теЈдеудіЈ, я“ни

теЈдеуініЈ фундаментальді шешімдер системасы белгілі болсын, онда

формуласы (4.25) теЈдеудіЈ жалпы шешімін береді. Міне осылар белгілі бол“ан жа“дайда біртектес емес теЈдеудіЈ шешімін мына т±рде немесе

іздейміз. М±нда жаЈа белгісіз функциялар. белгісіз функцияларын табу Їшін функцияларын байланыстыратын n теЈдеу ›ажет. М±ндай системаны ›±р“анда ал“аш›ы теЈдеуді еркін тЇрде таЈдап алып, ал n–ші теЈдеуді (4.27) функция (4.24) теЈдеудіЈ шешімі болатындай етіп іздейді. Ал“аш›ы (n-1) теЈдеулер ретінде тймендегі теЈдеуді аламыз.

(4.28)

Сондай-а› (4.27) формуламен аны›тал“ан функция (4.24) теЈдеудіЈ шешімі болу Їшін функциялары та“ы да мына

теЈдікті ›ана“аттандырулары керек. Енді (4.28) жЩне (4.29) теЈдеулерден т±ратын тймендегі системаны ›±рамыз.

љ±рыл“ан системаныЈ негізгі аны›тауышы функцияларыныЈ Вронский аны›тауышы болады. Ол , ййткені функциялары фундаментальды шешімдер системасын ›±райды. Сонды›тан (4.30) системаныЈ жал“ыз “ана шешімі болады. Я“ни, Осыдан Їшін табыл“ан йрнекті (4.27) теЈдікке апарып ›ойып, (4.24) теЈдеудіЈ жалпы шешімін табамыз.

Мысал-3. теЈдеуініЈ жалпы шешімін тап.

Алдымен біртектес теЈдеудіЈ жалпы шешімін табамыз . Ол Їшін сипаттаушы теЈдеуді шешеміз. Осыдан . Енді берілген теЈдеудіЈ шешімін

(*)

тЇрінде іздейміз. Белгісіз жЩне функцияларын табу Їшін тймендегі системаны ›±рамыз.

Системаны Крамер Щдісі бойынша шешейік.

1.

2.

3.

4.
°сынылатын Щдебиеттер:

1. 
   Еругин Н.П., Штокало И.З., и др Курс обыкновенных дифференциалных уравнений. Киев: Вища школа, 1974.
   
2. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Рауан, 1991.
   
3. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Білім, 1996.
   
4. 
   Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
   

Мына тЇрдегі

системаны сызы›ты› дифференциалды› теЈдеулердіЈ ›алыпты системасы дейді. Ал егер , онда сызы›ты› біртектес ›алыпты система деп атаймыз, ондай система

тЇрде жазылады. (5.1) жЩне (5.2) системаны матрицалы› тЇрде тймендегідей жазып, кйрсетеміз:

м±нда А(х)=

(5.4)

тЇрінде ›ыс›аша жазу“а болады. Сызы›ты› системаныЈ шешімдерініЈ ›асиеттерін кйрсететін кейбір теоремаларды келтіреміз.

онда - вектор-ба“андары (а,в) интервалында сызы›ты тЩуелді деп аталады. Ал егер (5.6) тепе-теЈдік бол“анда “ана орындалса, онда кйрсетілген вектор-ба“андар системасы сызы›ты тЩуелсіз болады. (5.6) векторлы› тепе-теЈдіктіЈ тймендегі n (скалярлы›), тепе-теЈдікке эквивалентті болатынын бай›ау ›иын емес.

ана›тауышын - векторлар системасыныЈ Вронский аны›тауышы дейді.

сызы›ты› біртектес системасы берілсін. М±нда А(х) йлшемі nxn элементтері болатын матрица (5.8) системаныЈ (а,в) интервалында сызы›ты тЩуелсіз болатын n шешімі -ді сызы›ты біртектес система (5.8)-діЈ фундаментальды шешімдер системасы деп атайды.

матрицалы› теЈдеуді ›ана“аттандыратынын тексеру ›иын емес. Егер фундаментальды матрица болса, онда (5.8) сызы›ты› біртектес системаныЈ жалпы шешімін тймендегі тЇрде жазу“а болады:

(5.10)

м±нда - ба“ан матрица. деп алып, , осыдан , демек матрицасы Коши матрицасы деп аталады. Сонымен .

1.

2.

3.

4.
°сынылатын Щдебиеттер:

1. 
   Еругин Н.П., Штокало И.З., и др Курс обыкновенных дифференциалных уравнений. Киев: Вища школа, 1974.
   
2. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Рауан, 1991.
   
3. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Білім, 1996.
   
4. 
   Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
   

облысында сызы›ты› біртектес емес дифференциалды› теЈдеулер системасы берілсін

осы жЇйеніЈ жалпы шешімі осы“ан сЩйкес келетін біртектес системаныЈ жалпы шешімі мен (5.12) жЇйеніЈ кез келген дербес шешімініЈ ›осындысына теЈ болады. (А(х) жЩне –Їзіліссіз), я“ни м±нда сызы›ты› біртектес системаныЈ фундаментальды шешімдер системасы, ; біртектес емес системаныЈ дербес шешімін

тЇрінде іздейміз. М±нда Щзірше белгісіз функциялар. Б±л функцияларды (5.13) вектор функция (5.12) системаныЈ шешімі болатындай етіп таЈдап аламыз. ті х бойынша дифференциалдап тймендегіге ие боламыз.

бол“анды›тан табу Їшін мына системаны аламыз.

Б±л системаны кеЈейтілген тЇрде жазса›, тймендегідей болады.

(жо“ар“ы индексі вектордыЈ координаталарыныЈ нймірін кйрсететінін ±мытпайы›). (5.14) системаныЈ негізгі аны›тауышы фундаментальды шешімдер системасыныЈ Вронский аны›тауышы бол“анды›тан нйльден йзгеше . Сонды›тан (5.14) системаныЈ шешімі жал“ыз “ана болады. Олай болса . Осы йрнектерді (5.13) теЈдікке ›ойып, іздеген дербес шешімді табамыз.

1.

2.

3.

4.
°сынылатын Щдебиеттер:

1. 
   Еругин Н.П., Штокало И.З., и др Курс обыкновенных дифференциалных уравнений. Киев: Вища школа, 1974.
   
2. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Рауан, 1991.
   
3. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Білім, 1996.
   
4. 
   Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
   

теЈдеуін т±ра›ты коэффициентті n ретті сызы›ты› біртектес дифференциалды› теЈдеу деп атаймыз.

(4.15) теЈдеудіЈ шешімін

y= (4.16)

тЇрінде іздейміз. санын функциясы (4.15) теЈдеудіЈ шешімі болатындай етіп таЈдап аламыз. (4.15) теЈдеудегі y-тіЈ орнына -ті ›ойып

теЈдеуін аламыз. М±нда

йрнегін сипаттаушы кйпмЇшелік деп атайды. (4.16) теЈдікте сонды›тан немесе

(4.15) теЈдеудіЈ шешімдері (4.16) теЈдіктіЈ негізінде (4.18) сипаттаушы теЈдеудіЈ тЇбірлері ар›ылы аны›талады. (4.15) теЈдеудіЈ на›ты жЩне комплекс тЇбірлері де болуы мЇмкін. Сипаттаушы кйпмЇшеліктіЈ коэффициенттері на›ты сан бол“анды›тан (4.18) теЈдеудіЈ комплекс тЇбірі болса, онда оныЈ осы тЇбірге тЇйіндес тЇбірі де болады.

1. 
   (4.18) сипаттаушы теЈдеуді шешіп, оныЈ тЇбірлерін табамыз.
   
2. 
   ТЇбірлердіЈ сипаты бойынша олар“а сЩйкес келетін (4.15) теЈдеудіЈ сызы›ты тЩуелсіз дербес шешімдерін аны›таймыз.
   
3. 
   Табыл“ан барлы› сызы›ты тЩуелсіз дербес шешімдердіЈ сызы›ты› комбинациясы ретінде (4.15) теЈдеудіЈ жалпы шешімі табылады.
   

б) Егер (4.18) теЈдеудіЈ тЇбірлерініЈ ішінде бір еселі комплекс тЇйіндес тЇбірлердіЈ ›оса“ы мысал“а жЩне болса, онда (4.15) теЈдеудіЈ осы тЇбірлерге сЩйкес келетін шешімдері функциялары болады. Эйлер формуласы бойынша екені белгілі.

Осыдан белгілі теорема бойынша (IV тарау §1.т.2).

e^αxcosβx жЩне e^αxsinβx функциялары да (4.15) теЈдеудіЈ шешімі болады. ЖЩне б±л шешімдер на›ты мЩнді шешімдер болып табылады.

Сййтіп, (4.18) теЈдеудіЈ Щрбір бір еселі комплекс-тЇйіндес тЇбірлері -“а екі e^αxcosβx жЩне e^2xsinβx (4.15) теЈдеудіЈ шешімдері сЩйкес келетіні кйрсетілді.

1. Жо“арыда“ы кйрсеткен бойынша

Cонда, y=c₁+c₂e^3xcos4x+c₃e^3xsin4x жалпы шешім болады.

в) (4.18) теЈдеудіЈ Щрбір r еселі на›ты тЇбірі λ-“а (4.15) теЈдеудіЈ r сызы›ты тЩуелсіз шешімдері e^λx, xe^λx,x²e^λx,…,x^τ-1e^λx сЩйкес келеді.

Осыны дЩлелдеп кйрсетейік. Айталы›, λ , φ(λ)=0 сипаттаушы теЈдеудіЈ r еселі тЇбірі болсын. e^λx функциясын екі айнымалыныЈ, x жЩне λ-ныЈ функциясы ретінде ›арастырамыз.Б±л функцияныЈ x бойынша да жЩне λ бойынша да кез келген ретті Їзіліссіз туындылары бар болады.ОныЈ Їстіне, Сонды›тан, e^λx функциясыныЈ x бойынша жЩне λ бойынша алын“ан туындылары дифференциалдау реттеріне тЩуелсіз. Ендеше

Осы те£дікті, сондай-а›

теЈдігін пайдалана отырып, тймендегі теЈдіктерді аламыз:

Осыдан (4.20) жЩне (4.19) теЈдіктердіЈ оЈ жа›тары нольге айналады.

Демек болады. Б±л -функциялары (4.15) теЈдеудіЈ шешімдері екенін кйрсетеді. функциялары (а,в) аралы“ында сызы›ты тЩуелсіз екенін тексеру оЈай.

г) Келтірілген пайымдаулар комплекс тЇбірлер Їшін де кЇшін са›тайды. Шрбір r еселі комплекс-тЇйіндес тЇбіріне (4.15) теЈдеудіЈ тймендегі 2r дербес шешімдері сЩйкес келеді:

Осы т±жырымдарды басшылы››а ала отырып (4.15) теЈдеудіЈ п сызы›ты тЩуелсіз шешімдері у₁(х),у₂(х),…, у_п(х) –ті тауып, оныЈ жалпы шешімін былай йрнектейміз:

1. 
   Сипаттаушы теЈдеуді ›±рамыз: немесе
   
2. 
   ОныЈ тЇбірлерін табамыз:
   

1. 
   Жалпы шешім:
   

1.

2.

3.

1. 
   Еругин Н.П., Штокало И.З., и др Курс обыкновенных дифференциалных уравнений. Киев: Вища школа, 1974.
   
2. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Рауан, 1991.
   
3. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Білім, 1996.
   
4. 
   Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
   

1. 
   (4.31)
   

Бірінші теЈдеуге сЩйкес келетін біртектес теЈдеудіЈ сипаттаушы теЈдеуі

немесе м±нда - сипаттаушы кйпмЇшелік .

а) Егер болса,

(4.33)

сипаттаушы теЈдеудіЈ тЇбірі болмайды, онда (4.31) теЈдеудіЈ дербес шешімі бар болады жЩне ол m дЩрежелік кйпмЇшелік ретінде аны›талады, демек

(4.34)

М±нда -аны›талма“ан коэффиценттер. - коэффиценттері бір мЩнді тЇрде аны›талады. ийткені функциясыныЈ йрнегін (4.31) теЈдеуге ›ой“анда, теЈдеудіЈ екі жа“ы бірдей дЩрежелі (m дЩрежелі) кйпмЇшелік болады. Ал екі кйпмЇшелік біріне-бірі теЈ болу Їшін белгісіздіЈ бірдей дЩрежелерініЈ коэффиценттері теЈ болу“а тиіс.

Осыдан аны›талма“ан коэфиценттерін байланыстыратын m сызы›ты› алгебралы› теЈдеулер системасын аламыз, оны шешу ар›ылы коэффиценттерін аны›тап, (4.34) теЈдікке апарып ›ойып, бірінші теЈдеудіЈ дербес шешімін табамыз.

б) Айталы›, болсын. Жалпылы› Їшін , деп алайы›, біра› болсын. Б±л жа“дайда теЈдеудіЈ еселі тЇбірі болады. Онда (4.31) теЈдеу мына тЇрге келеді:

а) жа“дайы бойынша болуы керек, онда дЩрежелі кйпмЇшелік болады. ЖЩне оныЈ дЩрежеден кіші дЩрежелерініЈ коэффиценттері кез келген сандар болса да а›ыр“ы нЩтижеге Щсері болмайды. Сонды›тан атал“ан коэффиценттер нйльге теЈ деп есептейміз. Олай болса тЇрінде іздеуге болады.

Сййтіп, егер сипаттаушы теЈдеудіЈ еселі тЇбірі болса, онда (4.31) теЈдеудіЈ дербес шешімі коэфиценттері аны›талма“ан m дЩрежелі кйпмЇшелік пен х^r-ніЈ кйбейтіндісі тЇрінде іздеу керек: .

Мысал-4. теЈдеуініЈ дербес шешімін тап сипаттаушы теЈдеудіЈ тЇбірлері жай тЇбір теЈдеуініЈ оЈ жа“ы бір дЩрежелі кйпмЇшелік, сонды›тан -ты берілген теЈдеуге ›ойып, х-тіЈ бірдей дЩрежелерініЈ коэфиценттерін салыстыру ар›ылы болатынын кйреміз. Сонды›тан .

1. 
   Енді мына тЇрдегі
   

теЈдеудіЈ шешімін іздейміз (4.36) теЈдеудіЈ дербес шешімі

тЇрінде іздейік. М±нда функциясын

тепе-теЈдігі орындалатындай етіп таЈдап аламыз.

егер функцияларын тиісінше сандарына кйбейтіп, ба“аны бойынша ›осса›, тймендегі теЈдікке келеміз.

(4.38) тепе-теЈдігі орындалу Їшін, функциясы

теЈдеуініЈ шешімі болу керек .

Жо“арыда тал›ыла“андай, егер демек сипаттаушы теЈдеудіЈ тЇбірі болмаса, онда (4.38) теЈдеудіЈ шешімін тЇрінде іздейміз. Ал (4.36) теЈдеудіЈ шешімі

(4.40)

тЇрінде ізделінеді.

Егер саны сипаттаушы теЈдеудіЈ r еселі тЇбірі болса, я“ни онда (4.38) теЈдеудіЈ шешімі тЇрінде ізделіп, ал (4.36) теЈдеудіЈ шешімін

(4.41)

тЇрінде іздеуге тура келер еді. М±нда, б±рында айт›андай m дЩрежелі, коэффиценттері аны›талма“ан кйпмЇшелік,

Бірге теЈ болатын а саны сипаттаушы теЈдеудіЈ теЈдеудіЈ екі еселі (r=2) тЇбірі. Сонды›тан дербес шешімніЈ тЇрі тймендегідей болады.

3. Жо“арыда“ы келтірілген пайымдаулар а саны комплекс сан бол“анда да Щділ болады.

Та“ы да

(4.42)

теЈдеуін ›арастырайы›. М±нда

формулаларын (Эйлер формулалары) пайдаланып f`(x) функциясыныЈ оЈ жа“ын тймендегі тЇрге келтіруге болады:

М±нда M(x) жЩне N(x) дЩрежелері m жЩне s саныныЈ еЈ Їлкеніне теЈ болатын комплекс мЩнді кйпмЇшеліктер.

Енді (4.44) формуланыЈ оЈ жа“ында“ы ›осыл“ыштардыЈ Щр›айсысына жо“арыда“ы ережені ›олданып (4.42) теЈдеудіЈ дербес шешімініЈ тЇрін аны›тау“а болады. Демек, егер , теЈдеуініЈ тЇбірі болмаса, онда (4.42) теЈдеудіЈ дербес шешімін (4.44) тЇрде іздейміз. Ал егер сипаттаушы теЈдеудіЈ r еселі тЇбірі болса, онда (4.42) теЈдеудіЈ дербес шешімі (4.44) йрнек пен -ніЈ кйбейтіндісі тЇрінде ізделінеді.

Осы ереже f(x) функциясыныЈ ал“аш›ы (берілген) йрнегі Їшін былай т±жырымдалады:

егер сипаттаушы теЈдеудіЈ тЇбірі болмаса, онда (4.42) теЈдеудіЈ дербес шешімі тЇрінде ізделінетін болады. М±нда, U(x) жЩне V(x) та“ы да дЩрежелері k=max(m,s)–ге теЈ болатын коэффиценттері аны›талма“ан кйпмЇшеліктер.

Ал егер , сипаттаушы теЈдеудіЈ r еселі тЇбірі болса, онда (4.42) теЈдеудіЈ дербес шешімі мына тЇрде ізделінетін болады. М±нда, жЩне та“ы да дЩрежелері k=max(m,s)–ке теЈ болатын коэффиценттері аны›талма“ан кйпмЇшеліктер.

Белгісіз коэффиценттер жо“арыда кйрсетілгендей аны›талма“ан коэффиценттер Щдісі бойынша табылады.

Мысал-6. теЈдеуініЈ дербес шешімін тап.

сипаттаушы теЈдеуініЈ тЇбірлері . БіздіЈ жа“дайымызда =0, =1, сонды›тан . Б±л сан сипаттаушы теЈдеудіЈ тЇбірі емес;

Демек, дербес шешім мына тЇрде . функциясын берілген теЈдеуге ›ойып, А=0, В= екенін табамыз.

1.

2.

3.
°сынылатын Щдебиеттер:

1. 
   Еругин Н.П., Штокало И.З., и др Курс обыкновенных дифференциалных уравнений. Киев: Вища школа, 1974.
   
2. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Рауан, 1991.
   
3. 
   СЇлейменов Ж.С. Дифференциалды› теЈдеулер курсы. 1-ші кітап, Алматы: Білім, 1996.
   
4. 
   Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
   

немесе векторлы› формада

т±ра›ты коэффициенті сызы›ты› дифференциалды› теЈдеулер системасы деп атайды.

Егер , онда (5.15) теЈдеуді т±ра›ты коэффициенті сызы›ты› біртектес дифференциалды› теЈдеулер системасы дейді. Б±л системаны координатты› тЇрде

(5.16)

векторлы› формада

(5.16) жазамыз.

Эйлер Щдісі бойынша (5.16) системаныЈ шешімін

тЇрінде іздейміз, м±нда

(5.18) жЩне (5.19) йрнектерді (5.16) теЈдікке апарып ›оямыз:

м±нда Е-бірлік матрица. (5.20) системаны координатты› формада былай да жазу“а болады:

(5.21) алгебралы› сызы›ты› біртектес системаныЈ нйлден йзгеше шешімдері бар болу Їшін, оныЈ негізгі аны›тауышы

нйлге теЈ болуы керек, демек

(5.22) теЈдеу сипаттаушы теЈдеу деп аталады. Ал оныЈ сол жа“ы -“а ›ара“анда кйпмЇшелік болады. Оны сипаттаушы кйпмЇшелік дейді. -ныЈ мЩндері (5.22) сипаттаушы теЈдеудіЈ тЇбірі бол“анда (5.21) системаныЈ нйлден йзгеше шешімдерін табу“а болады. М±ндай шешімдерді А-матрицасыныЈ меншікті векторлары, ал (5.22) теЈдеудіЈ тЇбірлерін А-матрицасыныЈ меншікті мЩндері деп атайды. Шрбір меншікті вектор“а бір меншікті мЩн сЩйкес келеді, керісінше бір меншікті мЩнге бірнеше меншікті векторлар сЩйкес келуі мЇмкін.

Егер (5.22) теЈдеудіЈ тЇбірлері ЩртЇрлі болса, онда осы тЇбірлерге сЩйкес келетін (5.21) системаныЈ шешімдерін табамыз.

Енді векторын (5.18) теЈдікке апарып ›ойса›, (5.16) сызы›ты› біртектес дифференциалды› системаныЈ сызы›ты тЩуелсіз n шешімін аламыз.

немесе

(5.16) дифференциалды› теЈдеулер системасыныЈ жалпы шешімі

немесе

тЇрінде аны›талады. -еркін т±ра›тылар.

Біз жо“арыда дербес жа“дайды “ана ›арастырды›. Системаны£ шешімін іздеуде сипаттаушы те£деуді£ т¯бірлері Ùрт¯рлі болсын деп жорыды›. Егер сипаттаушы те£деуді£ т¯бірлеріні£ (А-матрицасыны£ меншікті мÙндері) ішінде еселі т¯бірлер бол“ан жалпы жа“дайда, берілген системаны£ шешімін іздеу ¯шін тéмендегі теорема ›олданылады.

Теорема 7. Айталы›, А-матрицасыныЈ m-ЩртЇрлі меншікті мЩндері жЩне сызы›ты тЩуелсіз векторлары болсын. Осы жа“дайда (5.16) біртектес системаныЈ шешімі мына тЇрде аны›талады:

М±нда вектор-функциялар.

Б±л вектор-функциялардыЈ координаттары дЩрежесі ( )– ден аспайтын кйпмЇшеліктер. М±нда - меншікті мЩнніЈ еселігі, ал -ге сЩйкес келетін матрицаныЈ сызы›ты тЩуелсіз векторларыныЈ саны.

Мысал-1. системасыныЈ жалпы шешімін тап.

А-матрицасын жазамыз:

сипаттаушы теЈдеуді шешеміз

А- матрицасыныЈ меншікті векторын табу Їшін

системасын ›±рамыз.

1. 
   да системадан осыдан
   

1. 
   да системадан осыдан
   

жалпы шешімі немесе координатты› тЇрде

болады.

Сипаттаушы теЈдеуді ›±рамыз:

Меншікті векторды аны›таймыз.

осыдан , егер деп алса›, онда

осыдан

жалпы шешім:

координатты› формада:

тЇрінде болады

СистемасыныЈ жалпы шешімін тап. Сипаттаушы теЈдеуді ›±рып, тЇбірлерін табамыз: немесе осыдан . Меншікті векторды табу Їшін тймендегі системаны ›±рамыз.

а) бол“анда (тЩуелсіз теЈдеулер системасы)

осыдан , егер десек, онда - меншікті векторын табамыз.

б) бол“анда .

Егер болса, онда - меншікті векторын табамыз.

в) бол“анда

Егер болса, онда болар еді. Сонда системаныЈ фундаментальді шешімдері болады. Ал жалпы шешімі координатты› формада тймендегідей болады:



Мысал-4.

СистемасыныЈ жалпы шешімін тап.

Сипаттаушы теЈдеуді шешеміз:

а) бол“анда , одан , егер десек, онда

б) тЇбірі екі еселі тЇбір. Алдымен осы тЇбірге сЩйкес келетін сызы›ты тЩуелсіз вектордыЈ санын аны›таймыз ге сЩйкес келетін

Жо“арыда т±жырымдал“ан теорема бойынша - ге сЩйкес келетін шешімді:

Осы системаныЈ жалпы шешімін табамыз. Сол жа›та“ы екі теЈдеуден b=0, d=-g мЩндеріне ие боламыз. Осы мЩндерді бас›а теЈдеулерге ›ойып, мына теЈдеулерді аламыз:

(›ал“ан теЈдеулер осы екі теЈдеудіЈ салдары болады).

СоЈ“ы екі теЈдеуден a=-d, f=d-c. Сонымен барлы› белгісіздер d мен c ар›ылы йрнектелінетін болады. Ол Їшін деп алып, мыналар“а ие боламыз:

Сонымен, осы мЩндерді теЈдікке апарып ›оямыз. Сонда:

Жалпы шешім координатты› формада былай жазылады:

Б±л Щдіс, жалпы ал“анда n ретті ›алыпты дифференциалды› теЈдеулер системасын шешуді n ретті диференциялды› теЈдеуге келтіру ар›ылы шешуге мЇмкіндік береді. ШдістіЈ мЩні функцияларын системаныЈ теЈдеулерінен бірінен соЈ бірін шы“арып тастау“а негізделген. Сонды›танда айнымалыны шы“арып тастау Щдісі деп атал“ан.

љалыпты системаны ›арастырайы›:

Бірінші теЈдеуді n ретті дифференциалдау ар›ылы тймендегі системаны алу“а болады:

осы системадан - функцияларын шы“арып тастап, нЩтижесінде

СоЈ“ы теЈдеуді шешу ар›ылы функциясын аны›таймыз. Жо“арыда“ы тЩсілмен берілген ›алыпты системадан - ге ›атысты n ретті дифференциалды› теЈдеулерді де алып бас›а белгісіз функцияларды табамыз. НЩтижесінде берілген ›алыпты системаныЈ шешімдері тймендегі тЇрде жазылады:

БіздіЈ ›арастыр“ан сызы›ты› системамыз ›алыпты сызы›ты› дифференциалды› теЈдеулер системалары бол“анды›тан, айнымалыны шы“арып тастау Щдісін сызы›ты системаны шешуге де Щбден ›олдану“а болады.

Айнымалыны шы“арып тастау Щдісімен дифференциалды› теЈдеулерді шеш.

Мысал-5.

• 
  
  жүктеу/скачать 3.4 Mb.
  
  Достарыңызбен бөлісу: