Љазаљстан республикасыныў бiлiм жшне ’ылым министрлiгi

124 беттiЈ 14-сi

µ § (5)

Осы сия›ты дифференциалды есептеулердіЈ функция экстремумыныЈ ›ажет шартты болу Їшін оныЈ туындысыныЈ 0 теЈдігі, ал функцианалдыЈ экстремалды мЩнін алу Їшін оныЈ бірінші вариациясын 0 теЈдігі болып табылады.

Берілген µ §, µ § шекаралы шарттар ар›ылы (1) функционал экстремумын іздейік.

Ол Їшін (5) йрнегін 0-гі теЈестірейік,

µ § (6*)

µ §

µ § (6**)

(6**) сЩйкес жазайы›

µ § (6***)

µ § (7)

(7) интегалды йрнекті бйлек жазайы›

(8) тЇріндегі теЈдеу т±Ј“ыш рет Эйлермен алын“ан жЩне ол диффенренциалды Эйлер теЈдеуі деп аталады. Кешірек осы сия›ты теЈдеуді Лагранж ал“ан, сонды›тан кейде оны Эйлер-Лагранж теЈдеуі деп атайды.

(8) дифференциалды теЈдеудіЈ т±ра›ты интегралры (3) шекаралы шарттармен аны›талады. (8) шарты 1-ші функционал вариациясын нольге айналдырудыЈ керек шарты болып табылады, ййткені нольге айналдырудыЈ керек шарты болып табылады. Бас›а жа“ынан ол толы› шарт болып табылады, ййткені нольге айналдыр“ан кезде интеграл астында“ы йрнек жЩне сол интеграл нольге айналады, алын“ан (8) дифференциалды теЈдеудіЈ (3) шекаралы шарттар ар›ылы (1) тЇріндегі функционал экстемумыныЈ керек жЩне толы› шарты болып табылады.

3 Функционал экстремумыныЈ болу шарттары

Дифференциалды есептеуде туынды функцияны минимум жЩне максимум“а зерттегенде біз ›осымша шарттар ›олданамыз, ол дегеніміз 2-ші туынды функцияны есептейміз.
ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008
____________ № 1 басылым

124 беттiЈ 15-сi

µ § µ §

ФункционалдыЈ 1-ші вариациясыныЈ min немесе max мЩндерін табу Їшін интеграл ішіндегі йрнектіЈ 2-ші туындысын алу керек

µ §

µ § (9)

Классикалы› вариациялы› есептеулердіЈ тиімділік есептерін шешкенде функционал ретінде функционал ›олданады.

µ § (10)

онда“ы u(t) ЁC бас›ару Щсері

(10) тЇрінде Эйлер теЈдеу функционалы Їшін

µ §

Та›ырыбы: љоз“алмалы соЈдарымен вариациялы› есептер

С±ра›тар:

1 љоз“алмалы соЈдарымен вариациялы› есептер Їшін орта› формула табу.

2 Трансверсаль шарттары.

љоз“алмалы соЈдарымен вариациялы› есептер Їшін орта› формула табу

ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008
____________ № 1 басылым

124 беттiЈ 16-сi

1 сурет ЁC Ізденілетін жЩне вариациялан“ан функция

µ § (1)

(2) ›осайы› жЩне алайы› µ § (3)

НЩтижесінде аламыз

µ § (4)

µ § µ § (5)

(4) йрнегіне енгізілген белгілеулерді есептей отырып келесі тЇрде жазу“а болады:

µ § (6)

µ §

µ § (8)
ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008

124 беттiЈ 17-сi (8) йрнегін есептей отырып функционалдыЈ 1-ші вариациясы Їшін ар›ылы йрнек келесі тЇрде болады

µ § (9)

Осылай бірінші ѓФI вариациясы интегралды мЇшеден т±рады, x(t) функциясынан туатын [t1;t2] ескі уа›ыт аралы“ында жЩне ›оз“алмалы соЈдарымен вариациядан бол“ан интегралды емес мЇшелер.

Трансверсаль шарттары

х(t) ›исы›тар арасынан функционал экстремумын табу берілсін, олардыЈ соЈдары кейбір ›исы›тардан х=ѓй(t) жЩне х=ѓЪ(t) (2 сурет) сыр“анайды.

Берілген есепті шы“ару Їшін х(t) теЈдеуін жЩне А мен В нЇктелерініЈ орнын табу керек.

А мен В ар›ылы йтетін шеЈберлер арасында“ы минимальді ара ›ашы›ты››а сЩйкес ›исы› табылып есеп шы“арылды деп елестетейік.

Б±л ›исы› тек экстремальді бола алады. Біра› о“ан (9) функционалда интегралды мЇше 0-ге теЈ болу керек, сонда (9) йрнегі мына тЇрде болады:

µ § (10)

Шексіз кішкентай“а дейін на›тылап аса Їлкен рет жазу“а болады:

µ § (11)

ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008

124 беттiЈ 18-сi2 сурет

µ § (12)

µ §

(13) йрнегі теЈ 0-ге, онда µ § егер

µ § (14)

Алын“ан (14) йрнек трансверсаль шарты болса.

љоз“алмалы соЈдарымен вариациялы› есептерін, Эйлер теЈдеуін шы“ару Їшін С1 жЩне С2 йздік т±ра›тыларын аны›тау керек.

М±ндай теЈдеулерді болып трансверсаль шарттары экстремалда“ы соЈдардыЈ орналасуын табу“а кймектеседі.

А(х1, t1) нЇктесінен L-x=ѓЪ(t) сызы“ына дейін еЈ кішкентай ›ашы›ты›ты табу.

µ § (1)

Б±л (1) функционалдыЈ экстремалы болып А нЇктесінен шы››ан тЇзелер болады. Б±л есепті шы“ару Їшін Эйлер теЈдеуін ›±растырайы›.

µ §

Эйлер теЈдеуін ›±растырайы›:

µ § (3)

µ § интегралдаймыз нЩтижесінде:

µ §

µ § (6)

ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008

124 беттiЈ 19-сi µ § - екі ›исы› ортогональдары. (8)

ДЩріс 4

Та›ырыбы: Шартты экстремумен вариациялы› есептер.

1 Шартты экстремум“а есепті ›ою.

2 Изопериметриялы› есеп.
1 Шартты экстремум“а есепті ›ою.
Практикада экстемумды функционалмен жеткізетін функция“а жиі байланыс теЈдеулері деп аталады, ал осындай ›осымша шарттармен вариациялы› есептерді шартты экстремум“а арнал“ан есептер деп атаймыз.

Мысал: Екі нЇктеніЈ арасында“ы еЈ кішкентай ›ашы›ты›ты табу туралы есеп.

µ § (1)

›исы› кейбір бетте орналас›ан шартпен (мысалы сферада)

Принцип бойынша (2) теЈдеуден z-ті білдіріп жЩне оны (1) теЈдеуге ›ойып, нЩтижесінде, біз ›оз“алмалы шекаралы нЇктелері бар функционал экстремум“а ›арапайым есеп аламыз, біра› б±л йте ›иын. Біз б±л есепті Лагранж кйбейткіштерін енгізу жолымен шы“арамыз, оныЈ кймегімен біз сол нЩтижеге жетеміз, біра› тезірек.

Лагранж теоремасы: Функционал экстремумын табу Їшін

µ § (3)

аралы› функцияны енгіземіз:

µ §, (5)

онда“ы ѓЬ(х) ЁC х-пен белгісіз функция жЩне содан кейін ›арапайым тЩсілмен функционал тЇрініЈ экстремумын табу керек:

µ § (6)

Барлы“ы 3 белгісіз функцияларды аны›тау керек: y(x); z(x);ѓЬ(х). Оларды аны›та“анда 3 теЈдеуіміз бар: 2 Эйлер теЈдеулері, (6) функционал Їшін

онда“ы µ §, т.с.с., ол 3-ші теЈдеу ЁC б±л байланыс теЈдеуі (4).

Б±лардан ізделген функцияларды табамыз; ѓЬ(х) ЁCЛагранж кйбейткіші, жалпы жа“дайда ЁC б±л функция, ол жеке ѓЬ=Const.

ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008

124 беттiЈ 20-сi

Теорема дЩлелдемесі:

у=у(х), z=z(x) болсын, у жЩне z ѓФу жЩне ѓФz„j0 вариацияларын ›осайы›, кішкентай кейбір хс нЇкте айма“ында, ол х0 ЁC ден х1; x0

µ § (8)

љисы›тан йткен функционал вариациясын есептейік у=у(х), z=z(x)-тен у+ѓФу жЩне z+ѓФz. љарапайым вариация тЇрлендірулерін жЇргізіп, функционал вариациясына йрнек аламыз.

Біра› вариациялан“ан ›исы› у=у(х)+ѓФу жЩне z=z(x)+ѓФz, бастап›ы сия›ты бетте орналасу керек (4) теЈдеуін ›ана“аттандырып, б±дан жазамыз:

µ §(10)

ѓЪу немесе ѓЪz„j0, олардыЈ бір коэффициеттері болсын (10) теЈдеудіЈ, біз ѓг2-ні білдіре аламыз :

Алын“ан (11) йрнегін (9) йрнекке ›ойып (9) вариациа“а келесі тЇрде йрнекті келістірейік:

µ § (12)

одан шы“ады

µ § (13)

(13) йрнегін кйрсетуге болады

µ § (14)

Алын“ан (14) теЈдігі х0„Tхс„Tх1 аралы“ында“ы х орындалады, сонды›тан ѓЬ(х) ар›ылы (14) йрнегініЈ сол жЩне оЈ жа› бйлшектерін белгілесек, (7) теЈдеуін аламыз. Теорема дЩлелденді. Б±л теорема (4) тЇрінде берілген бірнеше шарттар“а да Щділетті болады.

µ § (15)

љарастырыл“ан теорема мына жа“дайда Щділетті, егер байланыс теЈдеулері туынды ізденілетін функциялары болса, олар мына тЇрде дифференциалды теЈдеулер болады:

µ § (16)

Есеп (вариация) ›±рамында“ы байланыс теЈдеуіне туындылар кіретін болса Лагранж жалпы есебі деп атаймыз. љарастырыл“ан теорема трансверсаль шарттарын табу“а да таратылады, ›оз“алмалы нЇктелері бар вариациялы› есептерге. Шартты экстремум“а

124 беттiЈ 21-сiарнал“ан вариациялы› есептер кйптеген практикалы› есептерді шы“аруда кездеседі, ол ретте изопериметриялы› есептер де бар. Б±л жа“дайда аралы› функция тймендегідей жазылады.

µ § (17)

Шартты экстремум“а арнал“ан вариациялы› есептер кйптеген практикалы› жЩне изопериметриялы› есептерді шы“ар“анда кездеседі.

Изопериметрилы› есеп.

Ізденілетін функциялар ба“ынатын шартты экстремум шарттарына арнал“ан есептер интеграл формасында берілуі мЇмкін.

Мысалы, функционал экстремум тЇрін іздеуге болады:

µ § (18)

Б±л тЇрдегі есептерді біреуініЈ атауымен изопериметриялы› деп атайды.

Арасынан ›исы› йтетін периметр мен екі нЇкте берілген. АуданныЈ кйп бйлігін шеЈбер до“асымен шектелген (1). Кисы› (2) сондай периметрі бар, біра› кіші ауданді шектейді. Б±л есепті жалпы Лагранж есебіне салу“а болады.

Эту задачу можно свести к общей задаче Лагранжа.

µ § (20)

НЩтижесінде келесі Лагранж есебіне келеміз: у(х) жЩне y(х) функцияларын табу, (18) функционал“аэкстремум беретін (21) тЇріндегі байланыс теЈдеуі бол“анда.

Лагранж есебініЈ шешімін табу жалпы ережесіне сЩйкес аралы› функция“а Эйлер теЈдеуін ›±ру ›ажет:

µ § (22)

µ § (23)

ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008

124 беттiЈ 22-сiЕгер у(х) ›исы“ы мына функционал тЇріне экстремум ›ана“аттандырса µ §, µ §, ендеше у(х) Эйлер теЈдеуін ›ана“аттандырады: µ §, онда“ы µ §, где ѓЬ0i=const.

Мысал: а жЩне b екі нЇктелерін ›осатын ±зынды“ы l болатын барлы› ›исы›тар арасынан ›исы› табу, аb кесіндісімен сЩйкес шектелетін кйбірек ауданын:

ОХ осі а жЩне b нЇктелері ар›ылы йтетіндей етіп координатты› осьтерді орналастырайы›, нЩтижесінде, ізденіс ›исы“ымен у(х) шектелген аудан болады:

µ § (24)

I максимумын беретін у(х) функциясын табу керек, интеграл болатын шартта:

µ § (25)

у(а)=0; у(b)=0.

Лагранж теоремасына кйшейік, ол Їшін аралы› функцияны ›±растырайы›:

µ § (26)

µ § (26*)

(26*) йрнегініЈ сол жЩне оЈ жа› бйліктерінен интеграл болып, нЩтижесінде:

µ § (27)

µ § (27*)

(27*) йрнегінен мына тЇрдегі шешім алу“а болады:

µ § (28)

Та›ырыбы: Шартты экстремумен вариациялы› есептерді шы“ару негізінде динамикалы› жЇйеніЈ тиімді бас›ару синтезі.

С±ра›тар:

1 Шартты экстремум“а есепті ›±растыру.

2 Шартты экстремум“а вариациялы› есептерді шы“ару негізінде тиімді бас›ару синтез есебін шешу.

3 Гамильтон формасында каноникалы› дифференциалды теЈдеудіЈ формасы.

ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008
____________ № 1 басылым

124 беттiЈ 23-сi

1 Шартты экстремум“а есепті ›±растыру.

Б±л жа“дайда шартты экстремум“а вариациялы› есеп, берілген функционал тЇріне минимумды жеткізетін тиімді бас›аруды аны›таумен байланысты болады:

µ § (1)

онда функционал таЈбасымен беріледі

u ЁC бас›ару Щсері; µ § оныЈ туындысы.

Егер нысан n-йлшемді вектор кЇйімен жЩне m-йлшемді бас›ару векторымен салынса, онда функционал бас›а тЇрде жазылады:

µ § (2)

µ § (3)

µ § - бірйлшемді Їшін;

µ § - кйпйлшемді Їшін.

Шартты экстремум“а вариациялы› есептіЈ ерекшілігі бар ЁC біз оны еркін х жЩне u айнымалыларымен вариациялай ала алмаймыз, ййткені олар НБ кЇй теЈдеуі ар›ылы бір-бірімен байланыс›ан.

Тиімді бас›арудыЈ алгоритм синтез есебі біріктірілген Лагранж теЈдеуін шешумен байланыс›ан. О“ан Эйлер теЈдеуі жЩне байланыс теЈдеуі (3) жЩне (3*) кіреді.

Шартты экстремум“а есептер Лагранж функциясыныЈ кймегімен шы“арылады, сонды›тан Эйлер теЈдеуін ›олданып жаз“ан есептерге ›ара“анда Щлде ›айда орта› есеп болады.

Шартты экстремум“а орта› есептер Лагранж кйбейткіштерініЈ кймегімен шы“арылады.
Шартты экстремум“а вариациялы› есептерді шы“ару негізінде тиімді бас›ару синтез есебін шешу
Б±л есепті шы“ар“анда мына функционалды ›арастырайы›:

µ §, (3**)

онда“ы µ § (4)

µ § - вектор Лагранж кйбейткіші жолдары

µ § (5)

онда“ыµ §

ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008

124 беттiЈ 24-сi

µ § (6)

µ § (6*)

Эйлер теЈдеуі:

µ § (7)

(7) ЁCде экстремизирленген функция ретінде F болады, ал Лагранж функциясы ЁC L, о“ан F жЩне Ф функциялары кіреді. (7) ЁCЭйлера-Лагранж теЈдеуі. Б±л теЈдеулер аны›талма“ан Лагранж кйбейткіштері Їшін дифференциалды теЈдеуін аны›тайды. (6) есептей отырып (7) шы“арса›, uо(t) динамикасында нысанныЈ тиімді бас›аруын аламыз.

Бізге белгілі болсын: µ §

µ § (8)

Б±л функционал Їшін Эйлер теЈдеуін жазайы›:

Гамильтон каноникалы› формасыда йту Їшін х1 жЩне х2 теЈ р1 жЩне р2 йтейік.

µ § (10)

µ § - тан Н- Гамильтон функциясына йтейік.

µ § (11)

Егер Н функциясы жаЈа n айнымалылары болса:

µ § (12)

µ § (13)

µ § (14)

ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008

124 беттiЈ 25-сi

µ §;

µ §;

(15) теЈдеуініЈ каноникалы› тЇрі бар. (15) теЈдеулер жЇйесі (14) ізденілетін жЇйесіне эквивалентті. (15) жЇйесініЈ ерекшілігі t бойынша дифференциалдау операциясы айнымалылар“а жЇргізілетін аналитикалы› операциялардан бйлінген.

µ § (16)

ѓЬi ЁCЛагранж кйбейткіші.

Егер u ЁC скаляр, онда j=n+1. Егер нысанда m бас›ару Щсерлері болса, онда j=n+1,n+2,ЎK,n+m.

Егер скалярлы бас›ару Щсерлері бар Н- Гамильтон функциясы, онда:

µ § (19)

µ § (21)
ДЩріс 6

Та›ырыбы: ПонтрягинніЈ максимум принципі

С±ра›тар:

1.Ажырау функциялары жЩне инелі вариация туралы тЇсінік.

2. Понтрягин максимум принципініЈ мЩні

3 Понтрягин максимум принципініЈ геометриялы› интепретациясы
1 Ажырау функциялары жЩне инелі вариация туралы тЇсінік
Динамикалы› жЇйелердіЈ тиімділік практикалы› есептерініЈ ›атарында µ § бас›ару Щсері жЩне µ § реттелетін координата ›олданылады, бірінші тЇрлі ажыраулары болуы мЇмкін. Б±л жа“дай тиімділік есептеріне классикалы› вариациялы классикалы› емес тЩсілмен шы“арылады: Понтрягин максимум принцип тЩсілімен.

Бйлік-Їздіксіз функция µ § деп бірінші тЇрлі ажыраулары бар t Їзілмелі тЩуелді кейбір нЇктелерді ескермегенде.

Б±л функция µ § нЇктелерінде 1 тЇрлі ажыраулары болсын.

Бірінші тЇрлі ажырау ЁC б±л нЇкте ажырауынан оЈ жЩне сол жа“ынан функция мЩні

µ §

Бйлік-Їздіксіз функцияда ажырау функцияларыныЈ жеке тЇрлері болады:

124 беттiЈ 27-сi

Ажырау функциялары баллистикалы› жЩне космос ракеталарын ±шуларын тиімділеу ету Їшін ›олданыла бастады. Б±л функциялар академик Понтрягин жЩне оныЈ шЩкірттері бас›арудыЈ тиімді процестерініЈ математикалы› теориясын жасауда ал“аш рет ›олдануын тапты «Тиімді процестердіЈ математикалы› теориясы» кітабы 60 жылдыЈ басында шы››ан.

Ажырау функцияларын ›олдану кезінде вариациялы› есептерді шы“ару классикалы› тЩсілдер ажырау функциялары бар динамикалы› жЇйелерді тиімділеу Їшін ›олданыла алмайды. ийткені ажырау бас›ару ЩсерлерініЈ вариациясы зор, сонды›тан тиімділетін функционалдыЈ вариациясы зор болады. Сонды›тан ажырау функциялары бар тиімділеу есептерін шы“ар“анда µ § функционалын Тейлор ›атарына жіктегенде µ § жЩне µ § вариациясына ›атысты сызы›ты жіктеу мЇшесін ескеріп, жЩне жо“ары сызы›ты емес жіктеу мЇшелерін ескеру керек. Б±л динамикалы› жЇйелері бар тиімді бас›ару синтез процедурасын кЇрделендіреді бас›арудыЈ ажырау функциялары жЩне фазалы› координаттардыЈ Їзілмелі туынды функциялары бар бол“ан жа“дайда.

Б±л ›атынаста инелі вариацияны ›олдан“ан жа“дайда тиімді бас›арудыЈ синтез процедурасын йте ›атты ны“айяды.
ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008
____________ № 1 басылым

124 беттiЈ 28-сi Б±л uo(t) тиімді бас›ару ЩсерініЈ йзгіріс ›исы“ы, шексіз аз ±зынды›ты импульс бар, біра› а›ыр“ы кйлемді, uo(t) йзгереді ЁC1 ден +1. Импульс кйлемі: µ §.

Б±л импульс динамикалы› жЇйеге мЩнді Щсер бермейді, біра› инелі вариацияны ›олданса, математикалы› аппаратты ›атты ны“айтады.

Инелі вариация шексіз кішкентай кйлімді бол“анды›тан, µ § функционал вариациясы сондай шексіз кішкентай.

Математикалы› модель нысаны мына тЇрде берілсін:

µ § (1)

онда“ы xi ЁC фазалы› координаттар;

µ § (2)

µ § ЁC m-йлшемді бас›ару ЩсерлерініЈ векторы;

µ § ЁC n-йлшемді вектор-функция, µ § жЩне µ §-“а тЩуелді.

:µ § функционалы берілсін (3)

онда“ы t0 жЩне t­kЁC бастап›ы жЩне соЈ“ы уа›ыт шегі.

Тиімділеу міндеті ЁCµ § тиімді бас›арудыЈ векторын жЩне µ § тиімді траекторияныЈ векторын аны›тау (3) минимум функционал шартынан (2) берілген нысан теЈдеулеріне, бастап›ы жЩне соЈ“ы µ § жЩне µ § мЩндерінде берілген интервал уа›ытында µ § жЩне µ § есептегенде. (4).

Тиімді есептіЈ шешімін табу Їшін ›осымша айнымалыны енгізейік: µ § (5)

µ § (6)

124 беттiЈ 29-сi

(1) теЈдеуіне (6) теЈдеуін ›осайы›:

µ § (7)

љосымша айнымалыларды берейік:

µ § (9)

Гамильтона-Понтрягин функциясы жазайы›:

(10) тЇріндегі функция µ § тиімді бас›ару кезінде максимум“а жетеді. Понтрягин максимум приципініЈ т±жырымдамасы: µ § болатындай µ § бас›ару Щсерін табу керек, ол дегеніміз Н функциясыныЈ максимальді мЩні тек тиімді бас›аруда шегіне жету керек.

(6) есептей отырып (10) жЩне (1) нысан теЈдеулерін ›олданып шартты экстремум“а вариациялы› есептерді шы“ар“андай каноникалы› гамильтон теЈдеуін ›±ру“а болады:

µ § (11)

µ § (12).

Егер µ § р±›сатты бас›ару бар болса, онда о“ан сЩйкес фазалы› траектория µ §, т±ра›ты нЇктесі ар›ылы йтеді, ендеше µ § тиімді бас›ару Понтрягин теоремасымен аны›талады.

Понтрягин теоремасы. µ § бас›аруы тиімді болуы Їшін, µ § болу керек (11) теЈдеуіне, µ § жЩне µ § векторларыныЈ кЇшіне сЩйкес:

1) µ § бол“анда Н функциясы µ § тиімді бас›аруда максимум“а жету керек.

µ § (13)

µ § (14)

Шекті фазалы› координаттары бар есептерге жЩне т±ра›ты шекаралы µ § мен µ § нЇктелері бар есептерге Понтрягин максимум принципініЈ т±жырымы кЇрделендіріледі жЩне трансверсаль шарттарымен толы›тырылады.

124 беттiЈ 30-сi

3 Понтрягин максимум принципініЈ геометриялы› интепретациясы

µ §, елестетейік, u ЁC скаляр, х1 ЁC координата, х2 ЁCх1 координатасыныЈ йзгеріс жылдамды“ы.

Егер жо“ары ретті динамикалы› жЇйе туралы сйз ›оз“асса›, онда бас›а пайымдаулар ±›сас болады.

Бет бойынша пайымдауларды жЇргізу ›иын бол“анды›тан, бетте ›има жасап, оны фазалы› жазы›ты›та жобалайы›.

В1, В2, В3 тиімді ›оз“алыста функционал кйлемін (сапа критериін) сипаттайтын т±ра›ты функциялар.

Егер В2 ›исы“ын алса›, онда осы ›исы›тыЈ Щр нЇктесінде бірдей В кйлемін ЁC сапа функционал кйлемін аламыз. Нег±рлым ›има ›исы›тары 0-“а жа›ын болса, со“±рлым В кйлемі кішкентай болады. В(х) ЁC функциясы ЁC Беллман функциясы.

А(х10,х20) нЇктелері бар деп елестетейік. А нЇктесінен фазалы› жазы›ты›та йз ›оз“алысын бастап 0 соЈ“ы нЇктесіне келді. Геометриялы› жа“ынан ›араса›, б±л ›исы› бейнеленген ›оз“алыс нЇктеніЈ тиімді траекториясын сипаттайды. Онда:

µ §

µ §

Егер В1,В2,ЎK, сызы›тары мен ›оз“алыс траекториясыныЈ нЇктелерініЈ ›иылысуында µ § жанамаларын жЇргізсек жЩне осы жанамалар“а µ § нормаль жЇргізсек, б±л нормальдар В ›исы›тарымен ›амтыл“ан облыстыЈ ішіне ба“ытталады.

µ §векторы ЁC тиімді траекториялар бойынша ›оз“алыс жылдамды› векторы, ›оз“алыс траекториясында жанама болып табылады.
ПОШК 042ЁC14.01.20.ХХ/02-2008
____________ № 1 басылым

124 беттiЈ 31-сiТиімді траекторияныЈ Щрбір ›иылысу нЇктесінде жЩне В сызы›тарында µ § 2 вектор жЩне µ § пайда болады.

Бейнеленген нЇктеніЈ траектория бойынша ›оз“алысы тиімді болу Їшін, µ § жЩне µ § (µ § б±рышы) векторларыныЈ арасында“ы б±рышты минималды етіп, µ § кйлемін бас›ару керек. Ол дегеніміз µ § векторыныЈ проекциясы µ § нормаль“а максимальді болуы керек, сонда Н функциясы Щрбір нЇктеде максимальді болады. ОсыныЈ бЩрінде Понтрягин максимум принципініЈ геометриялы› мЩні ›орытындылады.