Љазаљстан республикасыныў білім жшне ’ылым министрлігі



бет4/5
Дата11.06.2016
өлшемі2.12 Mb.
1   2   3   4   5

Егер болса, онда



Теорема 8. (толы› ы›тималды›тыЈ формуласы). Егер А о›и“асы, йзара Їйлесімсіз, толы› топ ›±ратын о›и“адарыныЈ біреуімен бірге пайда болатын болса, онда А о›и“асыныЈ ы›тималды“ы сына формуламен аны›талады:



…+

м±нда“ы - шартты› ы›тималды›тар.



  1. љайталамалы тЩуелсіз сына›тар тізбегі.

Бернулли формуласы. Егер n рет тЩуелсіз сынаулар жЇргізілгенде, олардыЈ Щр ›айсысында А о›и“асыныЈ пайда болуы›тималды“ы т±ра›ты q=1-p теЈ болса, онда жЇргізілген n сынауларда А о›и“асы m рет пайда болуыныЈ ы›тималды“ы

формуласымен аны›талады.

Жалпы жа“дайда Беонулли формуласын пайдаланып мына о›и“алардыЈ ы›тималды“ын аны›тау“а болады:


  1. ТЩуелсіз n сына›тарда А о›и“асыныЈ к реттен кем пайда болатынды“ыныЈ ы›тималды“ы:

  2. к реттен арты› болуыныЈ ы›тималды“ы

  3. Кем дегенде к рет пайда болуыныЈ ы›тимады“ы:

  4. к реттен арты› емес пайда болуыныЈ ы›тималды“ы:

љайталамалы сынауларда“ы о›и“аныЈ пайда болуыныЈ еЈ жо“ары ы›тималды› саны. ЕЈ Їлкен ы›тималды››ы сЩйкес келетін жиілікті о›и“аныЈ пайда болуыныЈ еЈ жо“ар“ы ы›тималды›ты саны деп айтамыз. О›и“аныЈ пайда болуыныЈ еЈ жо“ары жиілігін к0 Щрпімен белгілейміз. Оны мына формуламен есептейді

Егер np+p бЇтін сан болса, онда к0 екі мЩн ›абылдайды: к0= np+p жЩне к0= np+p-1.

Егер np+p бйлшек сан болса, онда к0 Їшін ол санныЈ бЇтін бйлігі алынады, я“ни : к0= [np+p].

ЛапластыЈ локальды› теоремаcы. Егер А о›и“асыныЈ ы›тималды“ы р жЇргізілген Щрбір сынауда т±ра›ты болса, онда А о›и“асыныЈ n рет жЇргізілген тЩуелсіз сынауларда m рет пайда болуыныЈ ы›тималды“ы



формуласымен аны›талады. М±нда“ы

ж±п функция болады, я“ни =

ЛапластыЈ интегралды› теоремасы. Егер А о›и“асыныЈ ы›тималды“ы р жЇргізілген Щрбір сынауда т±ра›ты болса, онда жеткілікті кйп мйлшердегі n сынаулар да А о›и“асы m рет ( ) пайда болуыныЈ ы›тималды“ы



=Ф( )-Ф( )

формуласымен аны›талады. М±нда“ы



Лаплас функция деп аталады. Та› функция, я“ни Ф(-х)=-Ф(х),

Егер х , онда Ф(х)=0,5 теЈ болады.

Пуассон формуласы. Егер А о›и“асыныЈ Щрбір сынауда пайда болу ы›тималды“ы т±ра›ты жЩне аз р сынаулар саны жеткілікті мйлшерде кйп болса, онда n рет жЇргізілген тЩуелсізсынауларда А о›и“асыныЈ m рет пайда болу ы›тималды“ы формуласымен табылады, м±нда“ы .

Шдебиеттер:

1. БерикхановаГ. Е, Нурсултанова Г. К. Комбинаторика, ы›тималды› жЩне статистика Семей, 2008



  1. ДЩріс. Кездейсо› шамалар




  1. Дискретті кездейсо› шамалар жЩне олардыЈ сипаттамалары

  2. ®здіксіз кездейсо› шамалар жЩне олардыЈ сипаттамалары


Кезде!сошамалар жЩне олардыЈ сипаттамалары. Сынаулар нЩтижесінде йзініЈ мЇмкін мЩндер жиынынан тек ›ана біреуін ›абылдауы алдын ала белгісіз жЩне кездесо› себептерге байланысты болып келген айнымалы шамалар кездейсо› шамалар деп аталады, я“ни элементар о›и“алар кеЈістігінде аны›тал“ан кез келген Х= санды› кездейсо› шама деп атайды. Кездейсо› шамалар X, Z, Y секілді Їлкен Щріптермен, ал олардыЈ ›абылдайтын мЇмкін мЩндерін сия›ты кіші Щріптерімен белгіленеді.

Ы›тималды›тары белгілі, дербес, о›шаулан“ан мЇмкін мЩндері ›абылдайтын кездейсо› шаманы дискретті кездейсо› шама деп атаймыз. љабылдайтын мЩндері, санды› йсьте, кейбір шекті немесе шексіз аралы›ты Їзіліссізтолтыратын кездейсо› шаманы Їзіліссіз кездейсо› шама дейміз.

Кездейсо› шамалардыЈ таратылу заЈдылы“ы деп, кездейсо› шамалардыЈ мЇмкін мЩндерімен олардыЈ ы›тималды›тарыныЈ арасында“ы байланысты кйрсететін ›атынасты айтамыз, я“ни

Хx1x2…хnPp1p2…pn =1

Айталы› Х – кездейсо› шама , ал х – кез келген на›тылы сан делік. Кез келген х санынан кіші мЩндер ›абылдайтын Х кездейсо› шаманыЈ ы›тималды“ы ы›тималды›тыЈ Їлестірім функциясы деп аталады, оны F(x) деп белгілейді. Сонымен

F(x)=P(X )


  • ®лестірім функциясыныЈ ›асиеттері


1›асиет. Егер кездейсо› Х шамасы аралы“ында жататын мЩндер ›абылдайтын болса, онда



2 ›асиет. Егер Їзіліссіз кездейсо› шаманыЈ ›абылдайтын мЇмкін мЩндері тЇгелдей санды› осьте орналасса, онда


F(x) функциясыныЈ бірінші ретті туындысы F (x) теЈ болатын P(x) функциясын Їзіліссіз Х кездейсо› шаманыЈ ы›тималды“ын Їлестірім ты“ызды“ы деп аталады, я“ни F (x)= P(x).

3 ›асиет. Егер Їзелессіз кездейсо› Х шамасы аралы“ыннан мЩндер ›абылдайтын жЩне оныЈ ты“ызды“ы P(x) болс, онда оныЈ ы›тималды“ы

теЈ болады.

4›асиет. Егер Їзіліссіз кездейсо› Х шаманыЈ таратылу ты“ызды“ы P(X) берілсе, онда сол шаманыЈ Їлестірім функциясы F(x)

F(x)=

Дискретті кездейсо› Х шаманыЈ математикалы› кЇтуі дегеніміз, оныЈ барлы› мЇмкін мЩндерімен олар“а сЩйкес ы›тималды›тарыныЈ кйбейтіндісініЈ ›осындысын айтамыз жЩне М(x) деп белгілейміз, я“ни

М(x)= =



1 ›асиет. Т±ра›ты шаманыЈ математич-калы› кЇтуі сол т±ра›тыныЈ йзіне теЈ
  1. M(c)=c

2 ›асиет. Т±ра›ты кйбейткішті математикалы› кЇту белгісініЈ сыртына шы“ару“а болады

M(CX)=CM(X)



3 ›асиет. Кездейсо› екі шаманыЈ ›осындысыныЈ математикалы› кЇтуі Щр кездейсо› шамалардыЈ математикалы› кЇтулерініЈ ›осындысына теЈ

M(X+Y)=M(X)+M(Y)



4 ›асиет. Кездейсо› шамалардыЈ›осындылырыныЈ математикалы› кЇтуі олардыЈ математикалы› кЇтулерініЈ ›осындысына теЈ, я“ни



5 асиет. n тЩуелсіз сынауларда“ы А о›и“асыныЈ пайда болуы сандарыныЈ математикалы› кЇтуі тЩуелсіз сынаулар саны мен о›и“аныЈ Щрбір сынауда“ы пайда болуыныЈ ы›тималды“ы р – ныЈ кйбейтіндісіне теЈ
  1. M(x)=np

Х дискретті кездейсо› шама, М(X) – осы шаманыЈ математикалы› кЇтуі болсын. Б±л жа“дайда Х-М(X) айырмасын, кездейсо› шама мЩндерініЈ математикалы› кЇтуден ауыткуы деп аталады.

Теорема. Ауыт›удыЈ математикалы› кЇтуі нйлге теЈ, я“ни M[Х-М(X)]=0.

Аны›тама. Х-М(X) ауыт›у квадратыныЈ математикалы› кЇтуі кездейсо› шаманыЈ дисперсиясы деп аталатын жЩне D(X) деп белгілейміз. Сонымен

D(X)= M[Х-М(X)]

Аны›тама. Дискретті кездейсо› шаманыЈ дисперсиясы сол кездейсо› шама квадратыныЈ математикалы› кЇтуі мен оныЈ математикалы› кЇту квадратыныЈ айырмасына теЈ

ДисперсияныЈ ›асиеттері.



! ›асиет. Т±ра›ты шаманыЈ дисперсисы нйлге теЈ D(X)=0.

2 ›асиет. Т±ра›ты кйбейткіш дисперсия белгісініЈ алдына ›вадратталып шы“ады.

D(СX)=С D(X)



3 ›асиет. ТЩуелсіз екі кездейсо› шамалардыЈ ›осындысыныЈ дисперсиясы олардыЈ дисперсияларыныЈ ›осындысына теЈ

D(X)+D(У)= D(X+У)



4 ›асиет. Егер йзара тЩуелсіз кездейсо› шамалар болса, онда



5 асиет. Т±ра›ты шамамен кездейсо› шаманыЈ ›осындысыныЈ дисперсиясы кездейсо› шаманыЈ дисперсиясына теЈ болды

D(X+C) =D(X)

6асиет. Кездейсо› екі шаманыЈ айырмасыныЈ: дисперсиясы олардыЈ дисперсияларыныЈ ›осындысына теЈ болады

D(X)+D(У)= D(X-У)

7асиет. Егер Щрбір дербес сынауларда“ы А о›и“аныЈ болу ы›тималды“ы т±ра›ты жЩне р – “а теЈ болса, онда n тЩуелсіз сынауларда“ы о›и“аныЈ пайда болу саныныЈ дисперсиясы сынаулар саны n – мен р * ы›тималды› жЩне о›и“аныЈ пайда болмау ы›тималды“ы сандарыныЈ кйбейтіндісіне теЈ болады, я“ни


Аны›тама. Дискретті кездейсо› Х шамасыныЈ орташа ауыт›уы дегеніміз – осы шаманыЈ дисперсиясыныЈ квадрат тЇбурін, я“ни



! ›асиет. Егер йзара тЩуелсіз кездейсо› шамалар болса, онда

Аны›тама. љабылдайтын мЇмкін мЩндері [a;b] кесіндісінде жататын Їзіліссіз Х шамасыныЈ математикалы› кЇтуі деп аны›тал“ан интегралдыЈ мЩніЈ айтамыз, я“ни


  1. M(X)=

Егер Х шамасыныЈ ›абылдайтын мЇмкін барлы› мЩндері аралы“ында жатса жЩне оныЈ ы›тималды› p(x) ты“ызды“ы болса, онда Х кездейсо› шамасыныЈ математиаклы› кЇтуі
  1. M(X)=

Егер Х шамасыныЈ ›абылдайтын мЇмкін барлы› мЩндері аралы“ында жатса, онда Х шамасыныЈ дисперсиясы


®зіліссіз кездейсо› шаманыЈ орташа квадратты› ауыт›уы дисперсияныЈ квадрат тЇбіріне теЈ я“ни



6. Кездейсо› шамалардыЈ кейбір Їлестірімі.

Биномиальды› заЈы. Шрбіреуінде А о›и“асыныЈ пайда болу ы›тималды“ы р – “а теЈ болатын n тЩуелсіз сынаулар жЇргізілсін. Сонда А о›и“асы m рет пайда болуы мЇмкін. X=m мЇмкін мЩндерін ›абылдайтын ы›тималды›тары



M(x)=np, D(x)=npq

М±нда“ы q= 1-p.

Пуассонды› Їлестірім заЈы. љабылдайтын мЇмкін мЩндері X=m болатын, ал ы›тималды›тары



,

формуласымен аны›таладын кездейсо› шамасын Пуассон заЈымен Їлестірілген деп атаймыз. М±нда“ы Пуассон заЈыныЈ параметрі деп атаймыз.

Бір ›алыпты Їлустірім заЈы. Егер Х – кездейсо› шамасы аралы“ында мЩндер ›абылдаса жЩне таратылу ты“ызды“ысол кезінде т±ра›ты шама“а теЈ болса, онда кездейсо› шама бір›алыпты таратыл“ан деп аталады.

Сонымен


Бір›алыпты таратылу заЈына ие кездейсо› шаманыЈ таратылу функциясы F(x) келесі тЇрде жазылады



Б±л Їлестірім заЈдылы“ы Їшін

M(x)= , D(x)=

Берілген аралы›тан [c,d] мЩн ›абылдау ы›тималды“ы



Кйрсеткіш таратылу заЈы. Егер кездейсо› шаманыЈ ы›тималды› таратылу ты“ызды“ы болса, онда кездейсо› шаманыЈ таратылу заЈын кйрсеткішті заЈ деп атаймыз. Б±л жа“дайда

Б±л ЇлестірімніЈ санды› сипаттамалары

, ,

Кездейсо› шаманыЈ аралы“ынан мЩн ›абылдау ы›тималды“ы



љалыпты Їлестірім заЈы. Егер Х кездейсо› шамасы мына Їлестірім ты“ызды“ы



ар›ылы берілсе, онда ол ›алыпты Їлестірім заЈымен берілген дейді.

М±нда M(x)=a, D(x)= .

Мына формула



кездейсо› шаманыЈ йзініЈ математикалы› Їмітінен ауыт›уыныЈ абсолют шамасы дан кіші болуыныЈ ы›тималды“ын аны›тайды.



7. ®лкен сандар заЈдылыы. Кездейсо› Х шамасы беріліп, оныЈ ›абылдайтын мЩндері , болсын. Ал белгілі сынаулардан кейін кездейсо› Х шамасы

Шдебиеттер:

1. БерикхановаГ. Е, Нурсултанова Г. К. Комбинаторика, ы›тималды› жЩне статистика Семей, 2008


  1. ДЩріс. Математикалы› статистика есептері

  2. Вариациалы› ›атар.

  3. Арифметикалы› ортасы. Дисперсия.

Математикалы› статистика - берілген мЩліметтерді талдау“а арнал“ан математиканыЈ бйлімі. Математикалы› статистиканыЈ негізгі міндеті - таЈдал“ан мЩліметтер бойынша бас жиынты›тыЈ сипаттамасын ба“алау.

Ы›тималды›тар теориясында берілген ы›тималды› бойынша бас›а бір о›и“алардыЈ ы›тималды›тары мен кездейсо› шаманыЈ Їлестіру функциясы аны›талады. Б±л ы›тималды› пен Їлестіру функциясы ›алай аны›талады деген с±ра› туады. Мысалы, белгілі бір жа“дайда детальдыЈ ж±мыс істеу мерзімін ›алай аны›тау“а болады? Немесе ±л баланыЈ дЇниеге келу ы›тималды“ын аны›тау. Б±л Їшін тЩжірибеге сЇйену керек, сына›тар жЇргізілуі ›ажет. Сына›тыЈ нЩтижелері бір-бірінен тЩуелсіз болатыны белгілі.

Математикалы› статистика сына›тыЈ нЩтижелері бойынша белгілі ›орытынды жасайтын Щдістерді ›арастырады. Математикалы› статистика“а тЩн типтік есептерге ы›тималды›тарды ба“алау, Їлестіру функциясыныЈ белгісіз параметрлерін ба“алау т.с.с. жатады. Математикалы› статистикада Х кездейсо› шамасыныЈ барлы› мЇмкін мЩндерініЈ жиынты“ын бас жиынты деп атайды.

Бас жиынты› деп белгілі ›асиеттерімен берілген барлы› ›арастырып отыр“ан объектілер жиынын айтамыз. Жеке объект осы жиынныЈ элементі болады. ТаЈдама дегеніміз – бас жиынты›тан кездейсо› таЈдап алын“ан объектілер жиынты“ы. Мысалы, университеттігі студенттердіЈ Їлгірімін зерттеу Їшін комиссия бір факультетті таЈдап алады да, оныЈ бір немесе бірнеше топтарына ба›ылау жЇргізеді. Осы таЈдап алын“ан студенттердіЈ Їлгірімі бойынша бЇкіл университеттіЈ, дербес жа“дайда факультеттегі о›ыту сапасына жуы›тап ба“а беріледі. Университеттігі барлы› студенттер бас жиынты›, ал таЈдап алын“ан студенттер таЈдама болады.

ТаЈдамада кездесетін кездейсо› шаманыЈ х1, х2, ...,хn ЩртЇрлі мЩнін варианта деп атайды.

Жиынты›та ›андай да бір вариантаныЈ ›анша рет кездесетінін кйрсететін m санын жиілік деп атайды. Жиіліктер n1, n 2, ..., n m ар›ылы белгіленеді.

Ал ймірде абсолютті жиіліктердіЈ орнына салыстырмалы жиіліктер ›олданылады. Егер n1 + n 2 +...+ n m = n болса, онда салыстырмалы жиілік



, , … (1)

(1) формуламен аны›талатын ..., сандары салыстырмалы жиіліктер деп аталады. Осы салыстырмалы жиіліктердіЈ ›осындысы 1-ге теЈ. Салыстырмалы жиіліктерді пайыз ар›ылы да йрнектеуге болады. Онда барлы› салыстырмалы жиіліктерініЈ ›осындысы 100 пайыз“а теЈ болады. ису ретімен орналасып, сЩйкес жиіліктері кйрсетілген варианталар вариациялы› ›атар деп аталады. Вариациялы› ›атар дискретті немесе интервалды› болады. Вариациялы› ›атардыЈ жиіліктерін олардыЈ массасы деп атаймыз.

БелгініЈ жеке мЩндерін (варианталарды) йсу немесе кему ретімен орналастырып жЩне Щрбір варианттыЈ ›анша рет кездесетінін кйрсетсек, онда белгініЈ Їлестірілуі немесе вариациалы› ›атар шы“ады.

Вариациялы› ›атар дискретті жЩне Їзіліссіз болып екіге бйлінеді Дискретті вариациялы› ›атарда вариантар а›ырлы санды мЩндерді ›абылдап, бір-бірінен тек на›ты санмен “ана йзгешеленеді. Егер варианталардыЈ бір-бірінен айырмашылы“ы ›андай да бір т±ра›ты сан“а теЈ болса, онда вариациялы› ›атар дискретті деп аталады.

®здіксіз (интервалды›) вариациялы› ›атарда варианталардыЈ бір-бірінен ерекшеліктері аз болады. Мысалы, жоспардыЈ орындалу проценті.
[c1,c2[[c2,c3[[cn,cn+1[

Берілген ›атар былайша ›±ралады: таЈдаманыЈ еЈ кіші жЩне еЈ Їлкен варианттары табылады жЩне барлы› аралы›ты 1-2 онды›тар шамасында“ы айырмашылы›пен аралы›тар“а бйлеміз. м±нда - i- интервалына тЇскен таЈдама мЇшелерініЈ саны.

®здіксіз вариациялы› ›атар гистограммамен бейнеленеді, ол баспалда› тЩрізді фигура. Табаны болып і - жиілік интервалы табылады, ал биіктігі hi, баспалда› ауданы жиілігіне теЈ.

Анытама. Егер жиіліктері n1, n 2, ..., n m болатын х1, х2, ... ,хm вариациялы› ›атар берілсе, онда

теЈдігімен аны›талатын шамасын вариациялы› ›атардыЈ арифметикалыортасы деп атайды, м±нда“ы n = n1+ n 2 + n3+...+ n m

ТаЈдама Х белгісініЈ жиілігі вариациялы› ›атардыЈ Їлестіру заЈы бойынша берілсін.


хiх1х2х3…хknin1n2n3…nk

м±нда

Вариациялы› ›атардыЈ санды› сипаты немесе параметрі болып мынадай ›осындыларды айтады.

ТаЈдаманыЈ арифметикалыорта мЩні деп мынадай шаманы айтамыз

(2)

Орта шаманы экономикалы› мЩліметтерді йЈдеу кезінде ›олданылады.



Х белгісініЈ мЩндерініЈ дисперсиясы деп мЩні оныЈ арифметикалы› орта“а ›атысты мынадай шаманы айтады

(3)

Ал, дисперсиядан алын“ан квадрат тЇбір орта квадраттыауыту деп аталады

(4)



ТаЈдаманыЈ дисперсиясы мен арифметикалыортаныЈ ›асиеттері

1-›асиет. Егер вариантты бір тек бір сан“а еселеп арттырса (кемітсе), онда арифметикалы› орта сонша есе артады (кемиді),

(5)



2-›асиет. Егер барлы› варианттардан бір тек бір санды шегерсе (›осса), онда арифметикалы› орта сол сан“а кемиді (йседі), я“ни

(6)



3-›асиет. Егер барлы› варианттарды к рет арттырса (кемітсе), онда дисперсия к2 рет артады (кемиді), я“ни

(7)



4-›асиет. Егер варианттарды бір т±ра›ты шама“а йсірсе немесе кемітсе, онда дисперсия йзгермейді, я“ни

(8)



5-›асиет. Егер жиіліктерді бірдей сан“а арттырса немесе кемітсе, онда дисперсия йзгермейді.

6-›асиет. Дисперсия варианталардыЈ квадраттарыныЈ арифметикалы› ортасы мен арифметикалы› ортаныЈ квадратыныЈ айырмасына теЈ, я“ни

(9)

Осы ›асиеттерді пайдалана отырып, арифметикалы› ортаны келесі формула бойынша табу“а болады

(10)

Ал дисперсияны мына формула бойынша есептейді

(11)

Б±л формулалар арифметикалы› есептеулерді ана“±рлым жеЈілдетеді. М±нда“ы к жЩне с кез келген т±ра›ты. Шдетте, с ретінде берілген ›атардыЈ ортасында орналас›ан жиілігі еЈ жо“ары вариантаны алады. Ал к ретінде xi-c айырымыныЈ Е®ОБ–ін алады.

Шдебиеттер:

1. БерикхановаГ. Е, Нурсултанова Г. К. Комбинаторика, ы›тималды› жЩне статистика Семей, 2008


  1. ПРАКТИКАЛЫљ САБАљТАР


Практикалы› саба› 1. Екі айнымалы функцияныЈ ±“ымдары.
Практикалы› саба› 2. Екі еселі интегралдыЈ ±“ымы жЩне ›айталанатын интеграл“а кйшу
Практикалы› саба› 3. ®ш еселі интегралдыЈ ±“ымы жЩне ›айталанатын интеграл“а кйшу интегралды есептеу
Практикалы› саба› 4. љос интегралда айнымалыларды ауыстыру, жЩне ›олданулары.
Практикалы› саба› 5. ОЈ ›атарлардыЈ жина›тылы››а зерттеу

Мысал. Берілген ›атар . Жина›тылы››а зертте.

Шешімі. љажетті белгісі бойынша lim a = lim = ›атар жина›сыз

Мысал. Берілген ›атар Жина›тылы››а зертте.

Шешімі. Мына ›атармен салыстарымыз . љатар жина›ты, онда берілген ›атарда жина›ты

Мысал. Берілген ›атар . Жина›тылы››а зертте.

Салыстыру белгісі бойынша мына ›атармен салыстарамыз . Б±л ›атар жина›сыз Онда шектік салыстыру белгісі бойынша берілген ›атар да жина›сыз болады. и . ,



Мысал. Берілген ›атар . Жина›тылы››а зертте.

Шешімі. Коши белгісі бойынша ›атар жина›ты.



Мысал. Берілген ›атар . Жина›тылы››а зертте.

Шешімі. Интегралды› белгісі бойынша ›аьар жина›сыз



Мысал. Берілген ›атар . Жина›тылы››а зертте.

Шешімі. Даламбер белгісі бойынша ›атар жина›сыз



Шдебиеттер

Демидович Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу. М., «Наука», 1978. (c.286-288)



Ба›ылау с±ра›тар


  1. Санды› ›атардыЈ ›осындысы.

  2. Жина›тылы›тыЈ ›ажетті белгісі

  3. Салыстыру белгісі.

  4. Даламбера и Коши белгілері



Практикалы› саба› 6. ДЩрежелік ›атардыЈ жина›тылы› интервалы

Мысал. Берілген ›атар . Жин›тылы››а зертте.

Шешімі. љажетті белгісін пайдаланамыз lim a = lim = љатар жина›сыз.

Мысал. Берілген ›атар Жин›тылы››а зертте.

Шешімі. Салыстыру белгісі бойынша . љатар жина›ты, онда оЈ ›атарда жина›ты болады . Онда берілген ›атр абсолют жина›ты болады.

Мысал. Берілген ›атар . Жина›тылы››а зертте.

Шешімі. Салыстыру белгісі бойынша . љатар жина›ты. Онда берілген ›атр абсолют жина›ты болады.

Мысал. Берілген ›атар . Жина›тылы››а зертте.

Интегралды› белгісі бойынша ›атар жина›сыз, ййткені мына меншіксіз интеграл жина›сыз



Лейбниц белгісі бойынша мына тізбек кемийді жЩне жалпы мЇшесі 0 – ге ±мтылады. Онда берілген ›атар шартты жина›ты болады.



Мысал. Берілген ›атар . Жина›тылы››а зертте.

Шешімі Даламбер белгісі бойынша мына ›атар жина›ты, Онда берілген ›атр абсолют жина›ты болады.

Мысал. Берілген ›атар Жина›тылы› аралы›ты табу керек.

Шешімі Даламбер белгісі бойынша мына ›атар

.

Онда болса ›атар жина›ты, жЩне егер ›атар жина›сыз.

Шектік нЇктелерді зертейік 1 и –1.

х = -1: Лейбниц белгісі бойнша жина›ты

х = 1: жина›сыз

Мысал. Берілген ›атар

Шешімі. Жина›тылу радиусы

.

Сонымен ›атар бЩрі жерде жина›сыз болады.



Шдебиеттер

Демидович Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу. М., «Наука», 1978. (c.288-290)



Ба›ылау с±ра›тар


  1. ДЩрежелік ›атардыЈ аны›тамасы?

  2. Жина›тылу радиусыныЈ формуласы?

  3. Ж±ы›тау есептеу формулары.

  4. Абсолют жЩне шартты жина›ьылуы ана›тамасы?

  5. Лейбниц белгісі. Абель белгісі.


Практикалы› саба› 7. Функцияларды дЩрежелік ›атарлар“а жіктеу.
Мысал. ДЩрежелік ›атар“а жикте

Шешімі. Интегралдау формуласын пайдаланамыз

Егер онда:

љатар“а жиктеу формуласын мына функция“а пайдаланамыз

Онда:


Жауабы:

Мысал. ДЩрежелік ›атар“а жикте .

Шешімі. Интегралдау формуласын пайдаланамыз.



Мына формуланы пайдаланамыз



Онда


Жауабы:

Шдебиеттер

Демидович Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу. М., «Наука», 1978. (c.288-290)



Ба›ылау с±ра›тар


  1. Элементар функцияларды ›атар“а жиктеу


Практикалы› саба› 8. Бірінші ретті дифференциалды› теЈдеулері

Мысал. Дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімін тап:

Шешімі. , ,

, , , Онда жалпы шешімі

Мысал. Дифференциалды› теЈдеудіЈ дербес шешімін тап: ал“аш›ы шарты у(2) = 1.

Шешімі. , , ,

, - жалпы шешімі. Ал“аш›ы шарттарын ›олданайы› у(2) = 1 онда

или - дербес шешімі.

Мысал. Дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімін тап: .

Шешімі. Ауыстыру еЈгіземіз. .

ТеЈдеуге ›ой“анда :

Айнымалыларды бйлгенде:

Екі жа“ын интегралдаймыз:

Онда ескі у ке кйшеміз Онда жалпы шешімі

Мысал. Дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімін тап:

Шешімі. Мына дифференциалды› теЈдеуді сызы›ты› теЈдеуге келтіреміз:

Онда мына формулар бойынша жалпы шешімі



, ,

Шдебиеттер

Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука», 1986. (т.2, c.43-55)



Ба›ылау с±ра›тар

  1. Дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімі жне жалпы интегралдыЈ айырмашлы“ы?

  2. Коши есебі?

  3. Сызы›ты› жЩне Бернулли теЈдеудіЈ жалпы шешімін табу Щдісі.

  4. Белгісіздер бйлінетін дифференциалды› теЈдеу?

  5. Біртектес теЈдеу.

  6. Толы› дифференциалды теЈдеуі.


Практикалы› саба› 9. Екінші ретті дифференциалды› теЈдеулері

Мысал. Дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімін тап: .

Шешімі. Ауыстыру еЈгіземіз



Онда теЈдеуге ›ой“анда: Онда жалпы шешімі





Мысал. Дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімін тап:

Шешімі. Замена переменной:

1)

Дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімін табі Їшін ауыстыру еЈгіземіз: онда

, онда:


Жалпы интегралдыЈ тЇрі:
Шдебиеттер

Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука», 1986. (т.2, c.67-76)



Ба›ылау с±ра›тар

  1. љарапайым теЈдеу.

  2. ДЩрежесі тйменділетін дифференциалды› теЈдеу.

  3. Екінші ретті дифференциалды› теЈдеудіЈ Коши есебі?



Практикалы› саба› 10. Коэффициенттері т±ра›ты 2 ретті сызы›ты› дифференциалды› теЈдеулер. Дербес шешімін табу.

Мысал. Дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімін тап:

Шешімі. Характеристикалы› теЈдеудіЈ т±бірлері , . Онда жалпы шешімін мына тЇрінде табамыз .

Мысал. Дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімін тап:

Шешімі. Характеристикалы› теЈдеудіЈ т±бірлері 1-еселі жЩне 2-еселі, . Онда жалпы шешімін мына тЇрінде табамыз

Мысал. Дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімін тап:

Шешімі. Характеристикалы› теЈдеудіЈ т±бірлері Онда жалпы шешімін мына тЇрінде табамыз
Практикалысаба11 . Бірінші жЩне екінші типтіисысызыты интегралды есептеу.
Практикалы› саба› 12. Комбинаторика элементтері.
Практикалы› саба› 13. Ы›тималды›тар теориясыныЈ элементтері. Негізгі теоремалар мен тЇсініктемелер
Практикалы› саба› 14. Кездейсо› шамалар
Практикалы› саба› 15. Математикалы› статистика есептері

6. Машы›тану саба›тар.
1-та›ырып. Бірнеше айнымалыныЈ функциясы.

1-2. Машы›тану саба“ы.

1. Екі айнымалыныЈ функциясыныЈ аны›талу облысын табу.

2. 1-ші жЩне 2-ші ретті дербес йсімше жЩне дербес туындыларды есептеу.



Тапсырмалар.
  1. ФункцияныЈ аны›талу облысын тап


1) 2) 3)

4) 5)

6) Егер болса неге теЈ?

7) Егер болса функциясыныЈ мЩнін аны›та

8) функциясыныЈ нЇктесіндегі мЩнін тап

9) болса, неге теЈ?

10) -ті тап

11) функциясыныЈ х айнымалысы бойынша дербес туындысын тап

12) функциясыныЈ х айнымалысы бойынша дербес туындысын тап

13) Егер болса –ті тап

14) -ті тап
3-4-Машы›тану саба“ы

1. Толы› йсімше жЩне толы› дифференциалды есептеу.

2. Толы› дифференциалдыЈ жуы› есептеулерге ›олданылуы.

3. КЇрделі функцияныЈ туындысы.

4. Ай›ын емес тЇрде берілген функцияныЈ туындысы.

15) Егер

16) Егер

17) Егер

18) -ті нЇктесіндегі мЩнін тап

20) 21)

22)

23)

24) 25)

26) Жуы›тап есепте

27) функциясынан x=0,y=1 бол“анда“ы ніЈ жуы› мЩнін есепте.

28) функциясынан x=1,y=0 бол“анда“ы ніЈ жуы› мЩнін есепте.


5-6 Машы›тану саба“ы

1. Ба“ыттал“ан туындыны есептеу.

2. Градиентті табу. НЇктедегі градиентті табу .

3. Бетке жанама жазы›ты› пен нормаль тЇзудіЈ теЈдеуін жазу.

4. Екі айнымалы функциясыныЈ экстремумдарын есептеу.

Тапсырмалар.
[4.1.2]. 7-тарау. №3.53-3.5, 3.60-3.65.
2-та›ырып. Екі есеі жЩне Їш еселі интегралдар.
7-8 Машы›тану саба“ы

1. љос интеграл берілген облысты сызу.

2. љос интегралды еселік интегралдар“а келтіру.

3. љайталан“ан интегралдардыЈ интералдау ретін йзгерту.

4. љос интегралда айнымалыны ауыстыру.

5. љос интегралдыЈ ›олданылуы.



Тапсырмалар.

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Екі еселі интегралды есепте G облысы OX осімен жЩне циклоиданыЈ бір тарма“ымен шенелген.

x=a(t-sint), y=a(1-cost), (0 )


Екі еселі интегралды есепте G: ox осімен жЩне циклоида ›исы“ыныЈ бір тарма“ымен шенелген.

›исы›тарымен шенелген дененіЈ ауданын тап.

›исы›тарымен шенелген дененіЈ ауданын тап.

›исы›тарымен шенелген дененіЈ ауданын тап.

›исы›тарымен шенелген дененіЈ ауданын тап.

интегралдыЈ интегралдау тЩртібін йзгерт

интегралдыЈ интегралдау тЩртібін йзгерт

Интегралдау тЩртібін йзгерту ережесіне сЇйеніп берілген йрнекті бір екі еселі интеграл ар›ылы жаз

9-10 Машы›тану саба“ы

1. ®ш еселі интегралды ›айталан“ан интегралдар“а келтіру жЩне есептеу.

2. ®ш еселі интегралда айнымалыны ауыстыру.

3. ®ш еселік интегралдыЈ ›олданылуы.



Тапсырмалар.

-?

-?

-?
®ш еселі интегралды есепте тЇзулерімен шенелген

2x+3y+4z=12, x=0, y=0, z=0 беттерімен шенелген дененіЈ кйлемін тап.

®ш еселі интегралды есепте

®ш еселі интегралды есепте

Беттермен шенелген дененіЈ кйлемін тап , , ,

Беттермен шенелген дененіЈ кйлемін тап , , ,

Беттермен шенелген дененіЈ кйлемін тап , , ,

Есепте , м±нда“ы Т-х=0, у=0, z=0, х=1, у=2, z=3

Есепте , м±нда“ы Т – х=0, х=1, у=2, у=5, z=2, z=4

-?

-?

-?

Есепте , м±нда“ыТ- параллелепипед x+y=1, x+y=2, y=0, z=0, z=3

Есепте , м±нда“ы Т – х=у=z=0, x=1, y=2, z=3

Есепте , м±нда“ы Т – x=y=z=0, x=2, y=4, z=5

Есепте , м±нда“ыx=y=z=0, x=1, y=4, z=16

Есепте dxdydz, м±нда“ы Т – x=y=z=1, x=y=z=2

Есепте , м±нда“ыТ- x=y=z=0, x=y=z=1
11-12 Машы›тану саба“ы

1. І-ші типті ›исы› сызы›ты интегралдар жЩне оларды есептеу.

2. ІІ-ші типті ›исы› сызы›ты интегралдар жЩне оларды есептеу.

Тапсырмалар.

љисы› сызы›ты интегралды есепте , м±нда L: у=х, А(0, 0) ден В(1, 1)-ге

љисы› сызы›ты интегралды есепте , м±нда“ы L- y=2x+1, А(0.1), В(1, 3)

љисы› сызы›ты интегралды есепте , м±нда“ы L ; y=x-1, от А(0, -1) до В(1, 0)

љисы› сызы›ты интегралды есепте , м±нда“ы L- кесінді А (0,0) ден В(1,

1   2   3   4   5


©dereksiz.org 2019
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет