Љазаљстан республикасыныў білім жшне ’ылым министрлігі

2. Бірнеше айнымалыныЈ функциясыныЈ Їздіксіздігі Толы› йсімше жЩне толы› дифференциал

3. Бірнеше айнымалыныЈ функциясыныЈ дербес туындылары. Жо“ар“ы ретті дербес туындылар
Аны›тама. Х жиынынан алын“ан айнымалылар жиынты“ына толы›аны›тал“ан z айнымалысы бірмЩнді сЩйкес ›ойылсы, онда Х жиынында бірнеше аргументті функциясы аны›тал“ан дейді.

айнымалылары тЩуелсіз , ал z тЩуелді айнымалы немесе функция деп аталады. Х жиыны f функцияснынЈ аны›талу облысы деп аталады, ол n йлшемді кеЈістіктіЈ ішкі жиыны болады.

Аны›тама. нЇктесініЈ r маЈайы деп радиусы r – ге теЈ. Центрі нЇктесінд“ орналас›ан дйнгелек нЇктелерініЈ жиыны атайды.

функциясыныЈграфигі деп апликата z айнымалысыныЈ теЈдеуін ›ана“аттандыратын Їш йлшемді кеЈістік нЇктелерініЈ жиынын атайды. функциясыныЈ графигі Їш йлшемді кеЈістікте белгілі бір бетті сипаттайды.

Аны›тама. Егер кез келген саны Їшін о“ан сЩйкес саны (м±нда“ы ) табылып теЈсіздігі орындалса, онда А саны (немесе нЇктесіндегі) функциясыныЈ шегі деп аталып , ар›ылы белгіленеді.

Аны›тама. Егер функциясы : 1) нЇктесінде аны›тал“ан 2) а›ырлы шегі бар 3) бЇл шек функцияныЈ нЇктесіндегі мЩніне теЈ, я“ни шарттарын ›ана“аттандырсы, онда функциясы нЇктесінде Їзіліссіз функция деп аталады.

Аны›тама. Екі аргументті функциясыныЈ х бойынша алын“ан дербес туындысы деп бол“анда“ы

шегін атайды да немесе ар›ылы белгілейді. Демек = =

Осылайша = =

Егер жЩне дербес туындылары Їзіліссіз функциялар болса, онда =

Екінші ретті толы› дифференциалды былай жазып кйрсетуге болады



Бірнеше айнымалыл функцияныЈ экстремумы.

Теорема (екі аргументті функцияныЈ экстремумныЈ бар юолуыныЈ жеткілікті шарты). функциясы : а) , болатын стационар нЇктесінде аны›тал“ан дейік; б) осы нЇктесінде Їзіліссіз , , болсын . Сонда , егер болса, онда функциясыныЈ нЇктесінде экстремумы бар; бол“анда – максимум, болса – минимум мЩндерін ›абылдайды. бол“анда экстремум болмайды.. Ал бол“анда функция экстремум мЩнін ›абылдауыда немесе ›абылдамауы да мЇмкін.

Екі аргументті функцияны экстремум“а зерттеуді біз мынадай біртінділіте жЇргіземіз:

функцияныЈ жЩне дербес туындыларын тауып, , теЈдеулер шешіп , функция экстремумыныЈ стационыр нЇктелерін тауып аламыз.

табыл“ан стационар нЇктелердегі функцияныЈ екінші ретті туындыларын тауып, жо“арыда келтірілген ереже бойынша экстремум бар-жо“ын ай›ындаймыз да нЇктесіндегі сол экстремум мЩндерін табамыз.

Аны›тама. Толы› йсімшесініЈ негізгі сызы› бйлімі толы› дифференциал деп атайды жЩне оны былай белгілейді

Егер беттін теЈдеуі мына тЇрінде берілген болса , м±нда“ы f(x, y) –М₀(х₀, у₀) нЇктесінде дифференциалданатын функция, онда жанама жазы›тыктын теЈдеуі: .

Беттін нормалдін теЈдеуі:

Толы› дифференциал ар›ылы жуы›тап есептеу

f(x, y) функциясы (х, у) нЇктесінде дифференциалданатын болсын. Толы› йсімшесін табамыз ,

Егер ескеріп мына формуланы шы“арып алса›

Онда жуы› формуласын табамыз

Шдебиеттер:

1. љ. љабды›айыр. Жо“ары математика. љаза› университеті. 2004. (387-397 б.)

2. 2 ДЩріс. Екі еселі интегралдыЈ ±“ымы жЩне ›айталанатын интеграл“а кйшу

1. 
   Екі еселі интегралдыЈ ±“ымы.
   
2. 
   Екі еселі интегралдан ›айталан“ан интеграл“а кйшу
   

Б±л есепті шешу Їшін интегралды› есептеудегі да“дылы тЩсілді ›олданамыз: ізделетін шаманы элементар бйліктерге бйледі, Щрбір бйлігін жуы› есептейді, оларды жина›тап, соЈынан шекке кйшеді. Осы ма›сатпен (P) (P₁), (P₂), …, (P_n) бйлшек облыстар“а юйлеміз жЩне осы бйлшек облыстары табаны болатын цилиндрлік ба“андарды ›арастырамыз. Б±л цилиндрлік жиыны берілген денені ›±рады.

Жеке ба“андардыЈ кйлемін есептеу Їшін Щрбір (P_i) фигурадан еркінше бір нЇктеден аламыз. Егер Щрбір ба“анды жуы›тап биіктігі f апликата“а теЈ на“ыз цилиндр деп алса›, онда бйлек ба“анныЈ жуы› кйлемі f P_i

кйбейтіндіге теЈ болады. М±нда“ы P_i фигураныЈ ауданы н кйрсетеді. Б±л жа“дайда барлы› дененіЈ кйлемініЈ жуы› йрнегі болады.

Б±л теЈдіктіЈ дЩлдігін арттыру Їшін (P_i) облыстардыЈ санын кйбейтіп, йлшемін кішірейтетін боламыз. (P_i) облыстардыЈ еЈ Їлкен диаметрі нольге ±мтыл“анда“ы шегінде б±л дЩл теЈдік болып шы“ады, сонда›тан

f(x,y) осы тЇрдегі шек функциясынан (P) облысы бойында алын“ан ›ос интеграл болады. Ол мына символмен белгілінеді

Жо“ар“ы кйлем Їшін табыл“ан формула мына тЇрге келеді V=

Теорема. Егер (P) тік тйртб±рышта (a x b, c y d) аны›тал“ан f(x,y) функциясы Їшін ›ос интегралы бар болса жЩне a x b интервалында“ы х – тіЈ Щрбір т±ра›ты мЩнінде жай интеграл

бар болса, онда сонымен ›атар ›айталан“ан интеграл

бар болады жЩне

Теорема. Егер (P) облысында аны›тал“ан f(x,y) функциясы Їшін ›ос интегралы бар болса жЩне a x b интервалында“ы х – тіЈ Щрбір т±ра›ты мЩнінде жай интеграл , (a x b)

бар болса, онда сонымен ›атар ›айталан“ан интеграл

бар болады жЩне теЈдік орындалатын болады.

Х жЩне у айнымалыларыныЈ рольдерін йзгерте отырып осы формуламен ›атар мына формула орындалады жЩне
Шдебиеттер:

1. љ. љабды›айыр. Жо“ары математика. љаза› университеті. 2004. (387-397 б.)

1. 
   ®ш еселі интегралдыЈ ±“ымы.
   
2. 
   ®ш еселі интегралдан ›айталан“ан интеграл“а кйшу
   

ДененіЈ барлы› m массасын аны›тау керек.

Б±л есепті шешу Їшін (V) денесін бір›атар (V₁), (V₂), …, (V_n) бйліктерге жіктейміз жЩне Щрбір бйліктіЈ шегінен бір нЇктеден аламыз. (V_i) бйліктіЈ шегінде жуы› тЇрде оныЈ ты“ызды“ыЈ т±ра›ты деп есептеп, алын“ан нЇктедегі ты“ызды››а теЈ деп аламыз. Сонда осы бйліктіЈ m_i массасы жуы› тЇрде былай орнектеледі

Т±тас дененіЈ массасы болады.

Егер барлы› бйліктердіЈ диаметрлері нольге ±мтылатын болса, онда б±л жуы› теЈдік йзініЈ шегінде дЩл болып шы“ады, сонды›тан

болады жЩне сонымен есеп шешіледі. Осы“ан ±›сас шектерді механикада жЩне физикада жиі ›арастыру“а тура келеді. Олар Їш еселік интеграл деп аталады жЩне оны былай белгілейді =

Алдымен бойында интеграл алынатын дене a x b, c y d, l z m тік б±рышты параллелепипед бол“ан жа“дай ›арастырамыз. љос интегралды ›айталан“ан интегралмен ауыстырып, еЈ а›ырында Їш еселік интегралдыЈ есептеуін Їш жай интегралдыЈ біртіндеп есептеуіне келтіреміз

(V) денесі «цилиндрлік кесек» болсын. Б±л кесек тйменгі жа“ынан жЩне жо“ар“ы жа“ынан сЩйкес жЩне беттермен ›оршал“ан болсын жЩне б±л беттердіЈ ху жазы›ты“ына тЇсетін проекциясы ауданы 0 ге теЈ С ›исы“ымен ›оршал“ан кейбір D фигурасы болсын. (V) денесі екі бЇйірінен жасаушылары z осіне параллель жЩне С ›исы“ы оныЈ ба“ыттаушы ролінде болатын цилидрлік бетпен ›оршалсын. Сонда мына формула табылады

1. љ. љабды›айыр. Жо“ары математика. љаза› университеті. 2004. (387-397 б.)

1. 
   Екі еселі интегралда поляр координаттар“а кйшу.
   
2. 
   ®ш еселі интегралда сфералы› координаттар“а ›йшу
   
3. 
   ®ш еселі интегралда цилиндрлік координаттар“а ›йшу
   

Поляр координаттар мына тЇрінде берілген

Онда

Екі еселі интегралдыЈ аны›иасынаЈ жазы›тык фигураныЈ ауданы мына формуламен йрнектеледі .

ДененіЈ ауданы

Егер бет ай›ын тЇрінде берілсе, онда , беттін ауданы мына формуламен беріледі

2) Ауданы поляр координаттар тЇрінде

3) Цилиндрлік дененіЈ кйлемі V =

4) љисы› дененіЈ ауданы.

1. Цилиндрлік координатталар ху жазы›ты“ында“ы полярлы› координаталардыЈ да“дылы z декартты› апликатамен косулуы болады№ Оларды декартты› координаталармен байланыстыратын формулалардыЈ тЇрі мынадай

ТЇрлендірудіЈ функционалды› аны›тауышы мынау

Сонда

2. Сфералы›координаталар бас›аша кеЈістіктегіполярлы› координаталар деп аталады декарты› координаталармен мына формулар ар›ылы байланысады.

Сонда

7) ДенесініЈ кйлемі Їш еселі интеграл ар›ылы мына формуламен йренктеледі

М±нда“ы z₁ жЩне z₂ – х жЩне у тЩуелді болатын функциялар, ал у₁ жЩне у₂ –х тЩіелді болатын функциялар немесе т±ра›ты, х₁ жЩне х₂ – т±ра›ты болады.

8) Ауырлы› центрініЈ координаталарын мына формулармен табамыз

9) Координатталар осьтеріне ›атысты инерциялы› моменттер Їшін формулалар мына тЇрде табамыз

10) Координатталар жазы›ты›тарына ›атысты инерциялы› моменттер Їшін формулалар мына тЇрде табамыз

11) Координатты› бас нЇктеге ›атысты инерциялы› моменттер Їшін формулалар мына тЇрде табамыз

12) ДененіЈ кез келген нЇктесіндегі массаныЈ орналасу ты“ызды“ын w ар›ылы белгілесек онда массаныЈ Їшін мына йрнекті табамыз

ФигураныЈ ауданы .ДененіЈ кйлемі

Екі еселі интегралдыЈ аны›иасынаЈ жазы›тык фигураныЈ ауданы мына формуламен йрнектеледі . .

ДененіЈ ауданы

Егер бет ай›ын тЇрінде берілсе, онда

Шдебиеттер:

1. љ. љабды›айыр. Жо“ары математика. љаза› университеті. 2004. (387-397 б.)

1. 
   ДЩріс. ОЈ ›атарлардыЈ жина›тылы››а зерттеу
   

1. Санды› ›атар жЩне оныЈ жина›талу

2. Санды› ›атарлардыЈ жина›тылу белгілері.

3. Салыстыру белгісі

4. Коши белгісі

5. Даламбер белгісі

Ана›тама. , n йрнегі а›ырсыз санды› ›атар деп аталады. Ал сандары ›атардыЈ мЇшелері, м±нда“ы - ›атардыЈ жалпы мЇшесі деп аталады.

Ана›тама. Мына ›осындыларды жазып алайы›:

Ана›тама. Егер ›атардыЈ n да S деребес ›осыныдысыныЈ а›ырлы шегі S бар болса, онда ›атар жина›талатын ›атар деп аталып, былай жазылады

ЖЩне гармониялы› ›атары =

Аны›иама. љатардыЈ бірінші m мЇшесін шы“арып тастап, ›ал“ан мЇшелерінен ›±рыл“ан

›атарды, сол ›атардыЈ ›алды› ›атары немесе ›алды“ы деп атайды.

2. Санды› ›атарлардыЈ жина›тылу белгілері.

1. 
   љажетті белгісі.
   

Салдар. Егер ›атардын lim , онда ›атар жина›сыз болады.

Мысал. ›атары берілсін делік. љажетті белгісі бойынша lim a = lim = берілген ›атар жина›талмайды.

љатарлар ›амиеттреі.

1 . Егер жЩне жина›талатын ›атарлар болса, онда кез келгент±ра›ты жЩне сандары Їшін ›атары да жина›талатын ›атар болып мына теЈдік орындалады: .

2 Егер ›атар жина›талатын болса, онда оныЈ кез келген ›алды“ы да жина›талады.

1. 
   Салыстыру белгісі. Егер кез келген n Їшін нймерлерінен бастап теЈсіздігі орындалса, онда ›атардыЈ жина›талатынды“ынан ›атарыныЈ жина›талатынды“ы шы“ады ды, немесе ›атарыныЈ жина›тылмайтынды“ынан ›атардыЈ жина›талмайтынды“ы шы“ады.
   

1. 
   Шектік салыстыру белгісі. Егер мЇшелері оЈ сандар болатын жЩне ›атарлары Їшін шегі бар болса, онда жЩне ›атарлары бір уа›ытта жина›талады немесе жина›талмайды.
   

1. 
   Коши белгісі. МЇшелері оЈ сандар болатын ›атарын ›арастырайы›. Егер шегі бар болып, q 1 болса, онда ›атар жина›талады, ал q 1 болса, онда ›атар жина›талмайды.
   

1. 
   Даламбер белгісі. МЇшелері оЈ сандар болатын ›атарын ›арастырайы›. Егер шегі бар болып, q 1 болса, онда ›атар жина›талады, ал q 1 болса, онда ›атар жина›талмайды.
   

1. 
   Интегралды› белгісі. МЇшелері оЈ сандар болатын ›атарын ›арастырайы›. Егер меншіксіз интегралы жина›талатын интеграл болса, онда ›атар да жина›талады жЩне керсінше.
   

1. љ. љабды›айыр. Жо“ары математика. љаза› университеті. 2004. (494-500 б.)

1. 
   ДЩріс. ДЩрежелік ›атардыЈ жина›тылы› интервалы
   

1. изгермелі таЈбалы ›атарлар

2. Функционалды› тізбектер мен ›атарлардыЈ жина›талуы

3. ДЩрежелік ›атар. Жина›талу облысы

›атары кезек ауыспалы таЈбылы ›атар деп аталады.

ОЈ танбалы ›атарды ›арастырайы› (2)

Егер (2) ›атары жина›талатын ›атар болса, онда (1) ›атар абсолютті жина›талатын ›атар деп аталады. Ал егер (2)›атары жина›талмайтын болса, онда (1) ›атар“а Лейбниц белгісін пайдаланамыз.

Лейбниц белгісі. Егер кезек ауыспалы таЈбалы (1) ›атардыЈ мЇшелері бірсарынды йспейтін жЩне олар нйлге ±мтылатын болса, я“ни , онда (1) ›атар жина›талады, жЩне оны шартты жина›талатын ›атар деп атайды.

1. Функционалды› тізбектер мен ›атарлардыЈ жина›талуы. Х жиыныныЈ элементі х айнымалысыныЈ кейбір функциялары болатын тізбектер мен ›атарлар

тізбегін алайы›. Шрбір Їшін тізбек жина›талады жЩне оныЈ а›ырлы шегі бар дейік. Б±л шек мЩні х айнымалысы мЩнімен аны›талады. Сонды›тан ол шек те айнымалысы функциясыболады, оны f(x) ар›ылы белгілейік. Сонда

f(x) функциясы тізбектіЈ шектік функциясы деп аталады.

МЇшелері бір “ана аргументініЈ функциялары болатын а›ырсыз

›атарын ›арастырайы›. Егер Щрбір Їшін ›атар жина›талатын ›атар болса, онда ол ›атардыЈ мЇшелері ›осындысы да бар болып , ол да х – тіЈ функциясы болып табылады. љатардыЈ бйлік ›осындыларын ар›ылы белгілейік. Сонда

Аны›тама. Егер кез келген саны Їшін номірі табылып, барлы› n номірлері мен кез келген Їшін теЈсіздігі орындалса, онда функциялы› ›атар Х жиынында жин›талатын ›атар деп аталады.

Аны›тама. жЩне функциялы› ›атары дЩрежелік ›атар деп аталады. М±нда“ы a белгілі на›ты сандыр, ал х на›ты айнымалы шама.

Теорема. (Абель теоремасы). Егер дЩрежелік ›атар х – тіЈ х=х₀ м2н3нде жина0талатын 0атар болса6 онда ол теЈсіздігін ›ана“аттандыратын х – тіЈ барлы› мЩндерінде абсолютті жина›талады.

Теорема. Егер дЩрежелік ›атар х=х₀ мЩнінде жина›талмайтын болса, онда ол х – тіЈ теЈсіздігіе ›ана“аттандыратын барлы› мЩндерінде де жина›талмайды.

Аны›тама. Егер дЩрежелік ›атар бол“анда жина›талатын ›атар, ал бол“анда жина›талмайтын ›атар болса, онда R саны дЩрежелік ›атардыЈ жина›талу радиусы деп аталады.

Сонымен ›атардыЈ жина›талу облысы

(-R,R) интервалы болып табылады, интервал ±штарында ›атардыЈ жина›талу немесе жина›талмауы туралы мЩселе x=-R жЩне x=R мЩндерін ›атар“а ›ой“анда шы“атын сЩйкес санды› ›атарларды зерттеу ар›ылы шешіледі, егер б±л сан ›атарлары жина›талатын ›атарлар болса, онда олардыЈ жина›талуы абсолютті де немесе абсолютсіз де болуы мЇмкін.

ДЩрЩжелік ›атардыЈ жина›талу радиусын табу Їшін Даламбер белгісін ›олдану мумкіндігі туады. Онда .

Немесе Коши белгісін пайдаланса›, онда .

Теорема. дЩрежелік ›атарды [0,x] аралы“ында мЇшелеп интегралдау“а болады, я“ни егер S(x) ар›ылы ›атар ›осындысын белгілесек, онда

Теорема. дЩрежелік ›атарды йзініЈ жина›талу аралы“ы ішінде мЇшелеп дифференциялдау“а болады, я“ни мына теЈдік орындалады

Енді жалпы тЇрдегі дЩрежелік ›атарды ›арастырамыз

х – тіЈ теЈсіздігін›ана“аттандыратын мЩндері Їшін ›атар жина›талады, ал бол“анды жина›талмайды дейік. Б±л жа“дайда R саны ›атарыныЈ жина›талу радиусы, ал (x₀-R, x₀+R) интервалы й жина›талу интервалы деп аталады.

Теорема. Егер f функциясы x=x₀ нЇктесі маЈайында жина›талу радиусы R санына теЈ болатын f(x)=

›атары ар›ылы берілсе, онда б±л ›атардыЈ коэффициенттері

теЈдіктері бойынша аны›талады. Сонды›тан ол ›атар былай жазылады

1. љ. љабды›айыр. Жо“ары математика. љаза› университеті. 2004. (513-526 б.)

1. 
   ДЩріс. Функцияларды дЩрежелік ›атарлар“а жіктеу.
   

1. Кейбір ›арапайым функцияларды дЩрежелік ›атарына жіктеу

›атары f(x) функциясыныЈ х₀ нЇктесіндегі Тейлор ›атары деп аталады. Х₀=0 бол“анда Тейлор ›атарынан Маклорен ›атары деп аталатын

›атарын аламыз. Егер f(x) функциясы х₀ нЇктесініЈ кейбір маЈайында дЩрежелік ›атар“а жіктелсе, онда ›атар f(x) функциясыныЈ Тейлор ›атары болып табылады.

Теорема. Егер f(x) функциясыныЈ барлы› ретті туындылары ( ) интервалында шенделген болса, я“ни т±ра›ты М саны табылып, барлы› х ( ) мЩндері Їшін теЈсіздіктері орындалса, онда сол интервалда f(x) функциясы Тейлор ›атарына жіктеледі.



5. Кейбір ›арапайым функцияларды дЩрежелік ›атарына жіктеу.












Шдебиеттер:

1. љ. љабды›айыр. Жо“ары математика. љаза› университеті. 2004. (526-536 б.)

1. Бірінші ретті дифференциалды› теЈдеулер

2. Айнымалысы ажыратылатын теЈдеулер

3. Біртектес теЈдеу

4. Сызы›ты› теЈдеу

5. Бернулли теЈдеуі

6. Толы› дифференциал теЈдеулер
1. Бірінші ретті дифференциалды› теЈдеулер.

тЇрінде берілген теЈдеуді бірінші ретті дифференциалды› теЈдеу деп атайды. Егер теЈдеу - ›а ›ара“анда шешілетін болса, онда оны

тЇріне келтіруге болады.

Аны›тама. Егер Їздіксіз дифференциалданатын функциясы интервалында теЈдеуді х – ке ›ара“анда тепе- теЈдікке айландырса, онда функциясын берілген теЈдеудіЈ шешімі деп атайды.

Дифференциалды› теЈдеудін шешімдерініЈ жалпы тЇрін y=f(x,c) формуласы ар›ылы жазылады. Б±л ›атысты теЈдеудіЈ жалпы шешімі деп аталады.

Жалпы жа“дайда дифференциалды› теЈдеудін шешімдерініЈ жалпы тЇрі Ф(х,у,с)=0 формуласы ар›ылы жазылады. Б±л ›атысты теЈдеудіЈ жалпы интеграл деп аталады.

теЈдеудіЈ шартын ›ана“аттандыратын у= шешімін табуды теЈдеуі Їшін т±жырымдал“ан Коши есебі дейді. у= теЈдеудіЈ дербес шешімі деп аталады.

1) Айнымалысы ажыратылатын теЈдеулер. Егер теЈдеу у -›а ›ара“анда шешілген болса, онда оны у тЇріне келтіруге болады немесе . Ал оны Щр›ашан М(x,y)dx+N(x,y)dy=0 тЇріне келтіруге болады.

Мына тЇрдегі теЈдеуді айнымалысы ажыратылатын теЈдеу деп атайды. Онда оны мына тЇріне келтіреміз Осыдан

теЈдеуі айнымалысы ажыратылатын келтіріледі. Ол Їшін

деп аламыз жЩне ауыстыру ар›ылы теЈдеуін аламыз. Б±л теЈдеу – айнымалысы ажыратылатын теЈдеу. Оны интегралдау ар›ылы Ф(x,z,c)=0 теЈдігіне келеміз.

Енді z –ті ax+by+c йрнегімен ауыстырып Ф(x, ax+by+c. C₁) =0 жалпы шешімі табылады.

2) Біртектес теЈдеу. Егер кез келген к Їшін теЈдігі орындалса, онда F(x,y) функциясын m дЩрежелі біртектес функция деп атайды.

Егер М(х,у) жЩне N(x,y) функциялары бірдей дЩрежелі біртектес функциялар болса, онда М(x,y)dx+N(x,y)dy=0 теЈдеуі бірінші ретті біртектес теЈдеу деп аталады.

Біртектес теЈдеулер алмастыруы ар›ылы айнымалысы ажыратылатын тендеуге келтіріледі. Осыдан немесе dy=tdx+xdt

3) теЈдеуін ›арастырайы›. Б±л теЈдеу біртектес тендеуге келтірілетін тендеу. , осы жа“дайда ауыстрымен енгізу ар›ылы берілген теЈдеуді біртектес теЈдеуге келтіруге болады. М±нда теЈдеулер жЇйесініЈ шешімі.

4) Сызы›ты› теЈдеу. тЇріндегі теЈдеуді бірінші ретті сызы›ты› теЈдеу деп аталады.

Жалпы у шешімін мына тЇрінде у=UV іздейміз. Туындыны табамыз

Енді осы йрнектерді теЈдеуге ›ойып, оны мына тЇрге келтіруге болады

v(x) функциясы теЈдеудіЈ шешімі бола алады.

1. 
   
   жүктеу/скачать 2.47 Mb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: