Љазаљстан республикасыныў білім жшне ’ылым министрлігі
жүктеу/скачать 2.47 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Кездейсо› о›и“аныаЈ ы›тималды“ы т±ралы теоремалар.
Мысал“а, ондай шешіміболады. Ал у=UV функциясы теЈдеудіЈ шешімі болу Їшін u функциясы немесе теЈдеуініЈ шешімі болу“а тиіс. Б±л теЈдеуді шешіміз Енді u жЩне v функцияларыныЈ йрнегін теЈдікке апарып ›ойса›
Деп отыр“ан шешімді табамыз. 5) Бернулли теЈдеуі. теЈдеуі Бернулли теЈдеуі деп аталады. Жалпы шешімін мына тЇрінде у=UV іздейміз. 6) Толы› дифференциал теЈдеулер. Егер М(x,y)dx+N(x,y)dy йрнегі берілсе, онда б±л йрнек екі айнымалы функциясы F(x,y) – тіЈ толы› дифференциалы болу Їшін теЈдігініЈ орындалуы ›ажетті жЩне жеткілікті.
М(x,y)dx+N(x,y)dy=0 ТеЈдеуініЈ сол жа“ы екі айнымалы функциясыныЈ толы› дифференциалы болса, онда теЈдеуді толы› дифференциал теЈдеу дейміз. Аны›тамада айтыл“ан функцияны F(x,y) деп белгілісек, онда берілген деЈдеуді былай жазу“а болады dF(x,y)=07 Б±л теЈдеудіЈ шешімі F(x,y)=0 болатын белгілі. Осыдан толы› дифференциал теЈдеуді шешу, ол теЈдеудіЈ оЈ жа“ы ныЈ толы› дифференциалы болатын фунцкцияны табу“а тіреледі екен.
1. љ. љабды›айыр. Жо“ары математика. љаза› университеті. 2004. (537-542 б.) 9 ДЩріс. Екінші ретті дифференциалды› теЈдеулер. 1. - ретті сызы›ты› дифференциалды› теЈдеулер. 2. Реті тйменділетін теЈдеулердіЈ типтері.
n ретті дифференциалды› теЈдеуді интегралда“анда с , с , с …с еркін т±ра›тылар“а тЩуелді болатын функция ар›ылы берілген шешімдердіЈ Їйірін алады екенбіз, я“ни у= . Коши есебі теЈдеу Їшін былай т±жырымдалады:
Реті тйменділетін теЈдеулердіЈ типтері.
Шдебиеттер: 1. љ. љабды›айыр. Жо“ары математика. љаза› университеті. 2004. (543-545 б.)
1. Т±ра›ты коэффициентті жо“ары ретті сызы›ты› біртектес дифференциалды› теЈдеулер. 2. Т±ра›ты коэффициентті жо“ары ретті сызы›ты› біртектес емес дифференциалды› теЈдеулер
Егер а ,а ,а ,…,а на›ты сандар болса, онда теЈдеуіЈ т±ра›ты коэффициенты n ретті сызы›ты› біртектес дифференциалды› теЈдеу деп аталады. теЈдеуіЈ т±ра›ты коэффициенты 2 ретті сызы›ты› біртектес дифференциалды› теЈдеу деп аталады. йрнегін сипаттаушы теЈдеу деп аталады. Егер сипаттауш теЈдудіЈ D , я“ни тЇбірлері на›ты жЩне Щртурлі болса , онда дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімі у= . Егер сипаттауш теЈдудіЈ D , я“ни тЇбірлері на›ты жЩне бірдей болса , онда дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімі у= Егер сипаттауш теЈдудіЈ D , я“ни тЇбірлері комплекс болса , онда дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімі у= 4. Т±ра›ты коэффициентті жо“ары ретті сызы›ты› біртектес емес дифференциалды› теЈдеулер. Егер а ,а ,а ,…,а на›ты сандар болса, онда теЈдеуіЈ т±ра›ты коэффициенты n ретті сызы›ты› біртектес емес дифференциалды› теЈдеу деп аталады. Біртектес емес теЈдеудіЈ жалпы шешімі о“ан сЩйкес келетін біртектес теЈдеудіЈ жалпы шешімі у мен оныЈ ›андай да бір дербес шешімі -тіЈ ›осындысына теЈ болады, демек у(x)=y . 1) Егер F(x)=e Q (x) онда дербес шешімін мына тЇрінде іздейміз М±нда Q (x) жЩне P (x) n дЩрежелі кйпмЇшелік. Егер а сипаттаушы теЈдеудіЈ тЇбірі болмаса, онда r=0. Егер а сипаттаушы теЈдеудіЈ k еселі тЇбірі болса, онда r=к. 2) Егер F(x)=e (Q (x)cosbx+P ) онда дербес шешімін мына тЇрінде іздейміз М±нда M (x) жЩне N (x) дЩрежелері m жЩне n саыныЈ еЈ Їлкеніне теЈ болатын кйпмЇшеліктер. Егер сипаттаушы теЈдеудіЈ тЇбірлер болмаса, онда r=0. Егер сипаттаушы теЈдеудіЈ k еселі тЇбірі болса, онда r=к.
Шдебиеттер: 1. љ. љабды›айыр. Жо“ары математика. љаза› университеті. 2004. (546-547 б.)
Б±л Їшін ›исы›тыЈ А жЩне В ±штарыныЈ аралы“ына ›алауымызша нЇктелерді ›ондырамыз. љисы›тыЈ до“асынан бір нЇктесін алып, сол нЇктедегі ты“ызды›ты есептейміз. Осы участоктыЈ барлы› нЇктелерінде ты“ызды› нЇктесіндегідей деп есептеп жЩне до“аныЈ ±зынды“ын деп белгілеп, б±л до“аныЈ массасы Їшін
жуы› йрнек тауып аламыз, ал ізделіп отыр“ан бЇкіл масса Їшін йрнегі табылады. Осы ›осындыныЈ нольге ±мтыл“анда“ы шектеулі шегін фукнкциясынаЈ ›исы› бойынша немесе С жолы бойынша алын“ан бірінші типті ›исы› сызы›ты интегралы деп аталады жЩне символымен белгіленеді. М±нда“ы s до“аныЈ ±зынды“ы жЩне ds шамасы элементар ±зынды›тардыЈ жЇреді. Сйтіп, материалды› ›исы›тыЈ массасы Їшін жо“арында табыл“ан йрнекті былай ›айта жазу“а болады: Енді С ›исы“ы еркінше параметрлік теЈдеулермен берілсін м±нда“ы жЩне функциялары йздерініЈ жЩне туындыларымен бірге Їздіксіз жЩне ›исы›тыЈ еселік нЇктелері жо› деп ±й“арамыз. Сонда ›исы› Щдейі тЇзуленуші болады егер t параметрдіЈ йсуіне s= = s(t) до“аныЈ йсуі сЩйкес келсе, онда болады. ЖЩне Сонымен бірінші типті ›исы› сызы›ты интегралды есептеу Їшін интеграл астында“ы функцияда х жЩне у айнымалылардын координаталардыЈ параметр ар›ылы йрнектерімен, ал ds кйбейткішті параметрдіЈ функциясы тЇрде до“аныЈ дифференциалымен ауыстыру керек. Ай›ындал“ан y=y(x) (a x b) теЈдеумен берілген ›исы› бол“ан жа“дайда формула мына тЇрге келеді
символмен белгілейді. Осы“ан ±›сас, мЩнді -ге кйбейтпей, -ге кйбейтіп, я“ни до“аныЈ у осіндегі проекциясына кйбейтіп жЩне
›осындыны ›±рып, осыныЈ шегі тЇрінде f(M)dy – тіЈ екінші типті ›исы› сызы›ты интегралын тауып аламыз Б±л интегралдардыЈ ›осындысыЈ ›исы› сызы›ты интеграл деп атайды жЩне мына тЇрде жазады С =(AB) ›исы“ы параметрлік теЈдеулермен берілген болсын. Онда ›исы› сызы›ты интегрлады мына формуламен есептейді
Енді интеграл ай›ындал“ан y=y(x) теЈдеумен берілген ›исы›тыЈ бойымен алын“ан болсын жЩне де а-дан b – ге дейін х йзгерегенде нЇктеніЈ ›исы›тыЈ бойымен жылжуы А – дан В- ге дейін болатын болсын. Шдебиеттер: 1. љ. љабды›айыр. Жо“ары математика. љаза› университеті. 2004. (546-547 б.)
Ана›тама. Эн факториал деп 1 ден n - ге дейінгі натурал сандардыЈ кйбейтіндісіне теЈ санды атайды жЩне оны бмына символмен белшілейді n! Ана›тама. Орналастырулар деп берілген Щр тЇрлі n элементтен k элемент бойынша орналасу деп, Щр›айсыс бір – бірінен не ›±рамы бойынша, не орналасу реті бойынша ажыратылатын комбинацияларды атайды. Демек n элементтен k- дан жасал“ан орналастырулар саны n(n-1)(n-2)….(n-k+1) кйбейтіндісіне, ала ›айталамалы орналастырулар саны nк –не теЈ, я“ни n элементтен k – дан жасал“ан орналастырулардыЈ жалпы саны Їшін ал ›айталамалы саны Їшін = nm Ана›тама. n элементтен n – нен алын“ан орналастыруларды алмастырулар деп атайды. АлмастырулардыЈ бір бірінен айырмашылы“ы тек элементтерініЈ орналасу ретінде “ана, ййткені Щрбір алмастыруда“ы элементтердіЈ саны бірдей. Сонда алмастырулардыЈ жалпы саны Рп = n! Ана›тама. Егер а1 элементі к1 рет, a2 элементі к2 рет, та“ы сол сия›ты am элементі km рет кездесетін n=k1+k2+…+km кйлемді кортеждерді n – ші ретті ›айталамалы алмастыру деп атайды жЩне оны мына формуламен есептейді = Ана›тама. Берілген Щр тЇрлі n элементтен k элемент бойынша терулер деп, Щр›айсыс бір бірінен тек ›±рамы бойынша ажыратылатын комбинацияларды атайды жЩне мына формуламен есептеледі = Ана›тама. Шдетте , о›и“а дегеніміз сынаулардыЈ нЩтижесінде пайда болады. Ал б±л тЩжірибелердіЈ нЩтижелерін алдын ала болжау мЇмкін емес. Сонды›тан м±ндай о›и“алар кездейсо› о›и“а деп аталады. Мысалы ойын сЇйегін ла›тыру, тиын ла›тыру т. с. с. – сынау болады. Ал «тиынныЈ сан жазыл“ан» немесе «елтаЈба жазыл“ан жа“ы», ойын кубыныЈ жа›тарында жазыл“ан сандыр «1,2,3,4,5,6» о›и“а болады. Ана›тама. Міндетте тЇрде пайда болатын о›и“а, а›и›ат о›и“а деп аталады. Мысалы, ›обдишаныЈ ішінде тек ›ана а› шарлар бар болсын, тЩуекелге бір шарды алса›, онда а› болуы а›и›ат о›а“а болады. Ана›тама. Белгілі бір сынаулар кезінде пайда болу мЇмкіндігі жо› о›и“алар - мЇмкін емес о›и“алар деп аталады, мысалы ›обдиша ішінде тек а› шарлар болсын. Кездейсо› бір шар алалы›. Б±л шардыЈ ›ара шар болуы – мЇмкін емес о›и“а. Ана›тама. Сынаулар кезінде пайда болуы да немесе пайда болмауы да мЇмкін о›и“алар кездейсо› о›и“алар деп аталады. Мысалы, нысана“а о› атылсын. О›тын нысана“а тиюі – кездейсо› о›и“а. Кездейсо› о›и“алар А, В, С, … Щріптерімен, ал а›и›ат о›и“аны U, мЇмкін емес о›и“аны V Щріптерімен белгілейді.
Ана›тама. О›и“аныЈ ы›тималды“ы дегеніміз – осы о›и“а“а ›олайлы жа“дайлар n саныныЈ барлы› жа“дайлар m санына ›атынасы, я“ни Р (А)=
1. Р (А) 2.Р (А) егер - мЇмкін емес болса. 3. Р () , егер А – а›и›ат болса. Ана›тама. N рет сынау жЇргізгенде А о›и“асы m рет пайда болсын. Б±л жа“дайда m саны А о›и“асыныЈ салыстырмалы жиілігі дегеніміз – оныЈ жиілігі саныныЈ барлы› санаулар саны n – ге ›атынасын айтамыз. Салыстырмалы жиілік W(A) деп белгілінеді. Сонымен W(A)= Ана›тама. Егер М нЇктесініЈ Q облысына тЇсуін А о›и“асы деп белгілісек, онда А о›и“асынынЈ ы›тималды“ы P(A) –ны табу“а тура келеді. Ла›тырыл“ан нЇкте К облысыныЈ кез келген жеріне тЇсуі мЇмкін. Демек, ла›тырыл“ан нЇктеніЈ Q облысына тЇсу ы›тималды“ы олардыЈ аудандарыныЈ ›атынысына пропорционал болады. P(A) ы›тималды“ы олардыЈ орналусуы мен тЇріне тЩуелсіз болады. Сонымен егер S k – ден K облысыныЈ, ал Sq ар›ылы Q облысыныЈ ауданыЈ юелгілісек, онда P(A)= . Шдебиеттер: 1. БерикхановаГ. Е, Нурсултанова Г. К. Комбинаторика, ы›тималды› жЩне статистика Семей, 2008
Теорема 1. Егер А мен В о›и“алары сыйыспайтын о›и“алар болса, онда P(A+B)=P(A)+P(B). Теорема 2. Егер А жЩне В Їйлесімді о›и“алар болса, онда P(A+B)=P(A)+P(B) -P(AB)
Теорема 4. МЇмкін емес о›и“аныЈ ы›тималды“ы нольге теЈ,я“ни Р (U)=0. Теорема 5. Егер А жЩне В тЩуелді о›и“алар болса, онда P(AB)=P(A)Pb(A)=P(B)PA(B) М±нда Pb(A) , PA(B) – шартты ы›тималды›тар. Теорема 6. Егер А жЩне В тЩуелсіз о›и“алар болса, онда P(AB)=P(A)P(В) Теорема 7. (ЕЈ болма“анда бір о›и“аныЈ пайда болуыныЈ ытималды“ы) Егер о›улары тЩуелсіз, Щрі ы›тималды›тары белгілі болса, онда олардыЈ еЈ болма“анда біреуініЈ пайда болу ы›тималды“ы P(A) олар“а ›арама ›арсы о›и“алараыныЈ ы›тималды›тарыныЈ кйбейтіндісін бір санынан алып таста“ан“а теЈ, я“ни .
|