Љазаљстан республикасыныў білім жшне ’ылым министрлігі

Егер болса, онда

Теорема 8. (толы› ы›тималды›тыЈ формуласы). Егер А о›и“асы, йзара Їйлесімсіз, толы› топ ›±ратын о›и“адарыныЈ біреуімен бірге пайда болатын болса, онда А о›и“асыныЈ ы›тималды“ы сына формуламен аны›талады:

м±нда“ы - шартты› ы›тималды›тар.

1. 
   љайталамалы тЩуелсіз сына›тар тізбегі.
   

формуласымен аны›талады.

Жалпы жа“дайда Беонулли формуласын пайдаланып мына о›и“алардыЈ ы›тималды“ын аны›тау“а болады:

1. 
   ТЩуелсіз n сына›тарда А о›и“асыныЈ к реттен кем пайда болатынды“ыныЈ ы›тималды“ы:
   
2. 
   к реттен арты› болуыныЈ ы›тималды“ы
   
3. 
   Кем дегенде к рет пайда болуыныЈ ы›тимады“ы:
   
4. 
   к реттен арты› емес пайда болуыныЈ ы›тималды“ы:
   

Егер np+p бЇтін сан болса, онда к₀ екі мЩн ›абылдайды: к₀= np+p жЩне к₀= np+p-1.

Егер np+p бйлшек сан болса, онда к₀ Їшін ол санныЈ бЇтін бйлігі алынады, я“ни : к₀= [np+p].

ЛапластыЈ локальды› теоремаcы. Егер А о›и“асыныЈ ы›тималды“ы р жЇргізілген Щрбір сынауда т±ра›ты болса, онда А о›и“асыныЈ n рет жЇргізілген тЩуелсіз сынауларда m рет пайда болуыныЈ ы›тималды“ы

ЛапластыЈ интегралды› теоремасы. Егер А о›и“асыныЈ ы›тималды“ы р жЇргізілген Щрбір сынауда т±ра›ты болса, онда жеткілікті кйп мйлшердегі n сынаулар да А о›и“асы m рет ( ) пайда болуыныЈ ы›тималды“ы

формуласымен аны›талады. М±нда“ы

Егер х , онда Ф(х)=0,5 теЈ болады.

Пуассон формуласы. Егер А о›и“асыныЈ Щрбір сынауда пайда болу ы›тималды“ы т±ра›ты жЩне аз р сынаулар саны жеткілікті мйлшерде кйп болса, онда n рет жЇргізілген тЩуелсізсынауларда А о›и“асыныЈ m рет пайда болу ы›тималды“ы формуласымен табылады, м±нда“ы .

Шдебиеттер:

1. БерикхановаГ. Е, Нурсултанова Г. К. Комбинаторика, ы›тималды› жЩне статистика Семей, 2008

12. 
    ДЩріс. Кездейсо› шамалар
    

1. 
   Дискретті кездейсо› шамалар жЩне олардыЈ сипаттамалары
   
2. 
   ®здіксіз кездейсо› шамалар жЩне олардыЈ сипаттамалары
   

Ы›тималды›тары белгілі, дербес, о›шаулан“ан мЇмкін мЩндері ›абылдайтын кездейсо› шаманы дискретті кездейсо› шама деп атаймыз. љабылдайтын мЩндері, санды› йсьте, кейбір шекті немесе шексіз аралы›ты Їзіліссізтолтыратын кездейсо› шаманы Їзіліссіз кездейсо› шама дейміз.

Кездейсо› шамалардыЈ таратылу заЈдылы“ы деп, кездейсо› шамалардыЈ мЇмкін мЩндерімен олардыЈ ы›тималды›тарыныЈ арасында“ы байланысты кйрсететін ›атынасты айтамыз, я“ни

Хx₁x₂…х_nPp₁p₂…p_n =1

Айталы› Х – кездейсо› шама , ал х – кез келген на›тылы сан делік. Кез келген х санынан кіші мЩндер ›абылдайтын Х кездейсо› шаманыЈ ы›тималды“ы ы›тималды›тыЈ Їлестірім функциясы деп аталады, оны F(x) деп белгілейді. Сонымен

F(x)=P(X )

• ®лестірім функциясыныЈ ›асиеттері

F(x)=

Дискретті кездейсо› Х шаманыЈ математикалы› кЇтуі дегеніміз, оныЈ барлы› мЇмкін мЩндерімен олар“а сЩйкес ы›тималды›тарыныЈ кйбейтіндісініЈ ›осындысын айтамыз жЩне М(x) деп белгілейміз, я“ни

М(x)= =

1. M(c)=c

M(CX)=CM(X)

M(X+Y)=M(X)+M(Y)

1. M(x)=np

Теорема. Ауыт›удыЈ математикалы› кЇтуі нйлге теЈ, я“ни M[Х-М(X)]=0.

Аны›тама. Х-М(X) ауыт›у квадратыныЈ математикалы› кЇтуі кездейсо› шаманыЈ дисперсиясы деп аталатын жЩне D(X) деп белгілейміз. Сонымен

D(X)= M[Х-М(X)]

Аны›тама. Дискретті кездейсо› шаманыЈ дисперсиясы сол кездейсо› шама квадратыныЈ математикалы› кЇтуі мен оныЈ математикалы› кЇту квадратыныЈ айырмасына теЈ

ДисперсияныЈ ›асиеттері.

D(СX)=С D(X)

D(X)+D(У)= D(X+У)

D(X+C) =D(X)

6 ›асиет. Кездейсо› екі шаманыЈ айырмасыныЈ: дисперсиясы олардыЈ дисперсияларыныЈ ›осындысына теЈ болады

D(X)+D(У)= D(X-У)

7 ›асиет. Егер Щрбір дербес сынауларда“ы А о›и“аныЈ болу ы›тималды“ы т±ра›ты жЩне р – “а теЈ болса, онда n тЩуелсіз сынауларда“ы о›и“аныЈ пайда болу саныныЈ дисперсиясы сынаулар саны n – мен р * ы›тималды› жЩне о›и“аныЈ пайда болмау ы›тималды“ы сандарыныЈ кйбейтіндісіне теЈ болады, я“ни


Аны›тама. Дискретті кездейсо› Х шамасыныЈ орташа ауыт›уы дегеніміз – осы шаманыЈ дисперсиясыныЈ квадрат тЇбурін, я“ни



! ›асиет. Егер йзара тЩуелсіз кездейсо› шамалар болса, онда

Аны›тама. љабылдайтын мЇмкін мЩндері [a;b] кесіндісінде жататын Їзіліссіз Х шамасыныЈ математикалы› кЇтуі деп аны›тал“ан интегралдыЈ мЩніЈ айтамыз, я“ни

1. M(X)=

1. M(X)=

Биномиальды› заЈы. Шрбіреуінде А о›и“асыныЈ пайда болу ы›тималды“ы р – “а теЈ болатын n тЩуелсіз сынаулар жЇргізілсін. Сонда А о›и“асы m рет пайда болуы мЇмкін. X=m мЇмкін мЩндерін ›абылдайтын ы›тималды›тары

M(x)=np, D(x)=npq

М±нда“ы q= 1-p.

Пуассонды› Їлестірім заЈы. љабылдайтын мЇмкін мЩндері X=m болатын, ал ы›тималды›тары

формуласымен аны›таладын кездейсо› шамасын Пуассон заЈымен Їлестірілген деп атаймыз. М±нда“ы Пуассон заЈыныЈ параметрі деп атаймыз.

Бір ›алыпты Їлустірім заЈы. Егер Х – кездейсо› шамасы аралы“ында мЩндер ›абылдаса жЩне таратылу ты“ызды“ысол кезінде т±ра›ты шама“а теЈ болса, онда кездейсо› шама бір›алыпты таратыл“ан деп аталады.

Сонымен

Бір›алыпты таратылу заЈына ие кездейсо› шаманыЈ таратылу функциясы F(x) келесі тЇрде жазылады

Б±л Їлестірім заЈдылы“ы Їшін

M(x)= , D(x)=

Берілген аралы›тан [c,d] мЩн ›абылдау ы›тималды“ы

Кйрсеткіш таратылу заЈы. Егер кездейсо› шаманыЈ ы›тималды› таратылу ты“ызды“ы болса, онда кездейсо› шаманыЈ таратылу заЈын кйрсеткішті заЈ деп атаймыз. Б±л жа“дайда

Б±л ЇлестірімніЈ санды› сипаттамалары

, ,

Кездейсо› шаманыЈ аралы“ынан мЩн ›абылдау ы›тималды“ы

љалыпты Їлестірім заЈы. Егер Х кездейсо› шамасы мына Їлестірім ты“ызды“ы

ар›ылы берілсе, онда ол ›алыпты Їлестірім заЈымен берілген дейді.

М±нда M(x)=a, D(x)= .

Мына формула

кездейсо› шаманыЈ йзініЈ математикалы› Їмітінен ауыт›уыныЈ абсолют шамасы дан кіші болуыныЈ ы›тималды“ын аны›тайды.

Шдебиеттер:

1. БерикхановаГ. Е, Нурсултанова Г. К. Комбинаторика, ы›тималды› жЩне статистика Семей, 2008

12. 
    ДЩріс. Математикалы› статистика есептері
    
13. 
    Вариациалы› ›атар.
    
14. 
    Арифметикалы› ортасы. Дисперсия.
    

Математикалы› статистика - берілген мЩліметтерді талдау“а арнал“ан математиканыЈ бйлімі. Математикалы› статистиканыЈ негізгі міндеті - таЈдал“ан мЩліметтер бойынша бас жиынты›тыЈ сипаттамасын ба“алау.

Ы›тималды›тар теориясында берілген ы›тималды› бойынша бас›а бір о›и“алардыЈ ы›тималды›тары мен кездейсо› шаманыЈ Їлестіру функциясы аны›талады. Б±л ы›тималды› пен Їлестіру функциясы ›алай аны›талады деген с±ра› туады. Мысалы, белгілі бір жа“дайда детальдыЈ ж±мыс істеу мерзімін ›алай аны›тау“а болады? Немесе ±л баланыЈ дЇниеге келу ы›тималды“ын аны›тау. Б±л Їшін тЩжірибеге сЇйену керек, сына›тар жЇргізілуі ›ажет. Сына›тыЈ нЩтижелері бір-бірінен тЩуелсіз болатыны белгілі.

Математикалы› статистика сына›тыЈ нЩтижелері бойынша белгілі ›орытынды жасайтын Щдістерді ›арастырады. Математикалы› статистика“а тЩн типтік есептерге ы›тималды›тарды ба“алау, Їлестіру функциясыныЈ белгісіз параметрлерін ба“алау т.с.с. жатады. Математикалы› статистикада Х кездейсо› шамасыныЈ барлы› мЇмкін мЩндерініЈ жиынты“ын бас жиынты› деп атайды.

Бас жиынты› деп белгілі ›асиеттерімен берілген барлы› ›арастырып отыр“ан объектілер жиынын айтамыз. Жеке объект осы жиынныЈ элементі болады. ТаЈдама дегеніміз – бас жиынты›тан кездейсо› таЈдап алын“ан объектілер жиынты“ы. Мысалы, университеттігі студенттердіЈ Їлгірімін зерттеу Їшін комиссия бір факультетті таЈдап алады да, оныЈ бір немесе бірнеше топтарына ба›ылау жЇргізеді. Осы таЈдап алын“ан студенттердіЈ Їлгірімі бойынша бЇкіл университеттіЈ, дербес жа“дайда факультеттегі о›ыту сапасына жуы›тап ба“а беріледі. Университеттігі барлы› студенттер бас жиынты›, ал таЈдап алын“ан студенттер таЈдама болады.

ТаЈдамада кездесетін кездейсо› шаманыЈ х₁, х₂, ...,х_n ЩртЇрлі мЩнін варианта деп атайды.

Жиынты›та ›андай да бір вариантаныЈ ›анша рет кездесетінін кйрсететін m санын жиілік деп атайды. Жиіліктер n₁, n ₂, ..., n _m ар›ылы белгіленеді.

Ал ймірде абсолютті жиіліктердіЈ орнына салыстырмалы жиіліктер ›олданылады. Егер n₁ + n ₂ +...+ n _m = n болса, онда салыстырмалы жиілік

(1) формуламен аны›талатын ..., сандары салыстырмалы жиіліктер деп аталады. Осы салыстырмалы жиіліктердіЈ ›осындысы 1-ге теЈ. Салыстырмалы жиіліктерді пайыз ар›ылы да йрнектеуге болады. Онда барлы› салыстырмалы жиіліктерініЈ ›осындысы 100 пайыз“а теЈ болады. ису ретімен орналасып, сЩйкес жиіліктері кйрсетілген варианталар вариациялы› ›атар деп аталады. Вариациялы› ›атар дискретті немесе интервалды› болады. Вариациялы› ›атардыЈ жиіліктерін олардыЈ массасы деп атаймыз.

БелгініЈ жеке мЩндерін (варианталарды) йсу немесе кему ретімен орналастырып жЩне Щрбір варианттыЈ ›анша рет кездесетінін кйрсетсек, онда белгініЈ Їлестірілуі немесе вариациалы› ›атар шы“ады.

Вариациялы› ›атар дискретті жЩне Їзіліссіз болып екіге бйлінеді Дискретті вариациялы› ›атарда вариантар а›ырлы санды мЩндерді ›абылдап, бір-бірінен тек на›ты санмен “ана йзгешеленеді. Егер варианталардыЈ бір-бірінен айырмашылы“ы ›андай да бір т±ра›ты сан“а теЈ болса, онда вариациялы› ›атар дискретті деп аталады.

®здіксіз (интервалды›) вариациялы› ›атарда варианталардыЈ бір-бірінен ерекшеліктері аз болады. Мысалы, жоспардыЈ орындалу проценті.
[c₁,c₂[[c₂,c₃[…[c_n,c_n+1[ …

Берілген ›атар былайша ›±ралады: таЈдаманыЈ еЈ кіші жЩне еЈ Їлкен варианттары табылады жЩне барлы› аралы›ты 1-2 онды›тар шамасында“ы айырмашылы›пен аралы›тар“а бйлеміз. м±нда - i- интервалына тЇскен таЈдама мЇшелерініЈ саны.

®здіксіз вариациялы› ›атар гистограммамен бейнеленеді, ол баспалда› тЩрізді фигура. Табаны болып і - жиілік интервалы табылады, ал биіктігі h_i, баспалда› ауданы жиілігіне теЈ.

Аны›тама. Егер жиіліктері n₁, n ₂, ..., n _m болатын х_1, х₂, ... ,х_m вариациялы› ›атар берілсе, онда

теЈдігімен аны›талатын шамасын вариациялы› ›атардыЈ арифметикалы› ортасы деп атайды, м±нда“ы n = n₁+ n ₂ + n₃+...+ n _m

ТаЈдама Х белгісініЈ жиілігі вариациялы› ›атардыЈ Їлестіру заЈы бойынша берілсін.

м±нда

Вариациялы› ›атардыЈ санды› сипаты немесе параметрі болып мынадай ›осындыларды айтады.

ТаЈдаманыЈ арифметикалы› орта мЩні деп мынадай шаманы айтамыз

(2)

Орта шаманы экономикалы› мЩліметтерді йЈдеу кезінде ›олданылады.

(3)

Ал, дисперсиядан алын“ан квадрат тЇбір орта квадратты› ауыт›у деп аталады

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Осы ›асиеттерді пайдалана отырып, арифметикалы› ортаны келесі формула бойынша табу“а болады

(10)

Ал дисперсияны мына формула бойынша есептейді

(11)

Б±л формулалар арифметикалы› есептеулерді ана“±рлым жеЈілдетеді. М±нда“ы к жЩне с кез келген т±ра›ты. Шдетте, с ретінде берілген ›атардыЈ ортасында орналас›ан жиілігі еЈ жо“ары вариантаны алады. Ал к ретінде x_i-c айырымыныЈ Е®ОБ–ін алады.

Шдебиеттер:

1. БерикхановаГ. Е, Нурсултанова Г. К. Комбинаторика, ы›тималды› жЩне статистика Семей, 2008

3. 
   ПРАКТИКАЛЫљ САБАљТАР
   

Салыстыру белгісі бойынша мына ›атармен салыстарамыз . Б±л ›атар жина›сыз Онда шектік салыстыру белгісі бойынша берілген ›атар да жина›сыз болады. и . ,

Демидович Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу. М., «Наука», 1978. (c.286-288)

1. 
   Санды› ›атардыЈ ›осындысы.
   
2. 
   Жина›тылы›тыЈ ›ажетті белгісі
   
3. 
   Салыстыру белгісі.
   
4. 
   Даламбера и Коши белгілері
   

Интегралды› белгісі бойынша ›атар жина›сыз, ййткені мына меншіксіз интеграл жина›сыз

Лейбниц белгісі бойынша мына тізбек кемийді жЩне жалпы мЇшесі 0 – ге ±мтылады. Онда берілген ›атар шартты жина›ты болады.

Онда болса ›атар жина›ты, жЩне егер ›атар жина›сыз.

Шектік нЇктелерді зертейік 1 и –1.

х = -1: Лейбниц белгісі бойнша жина›ты

х = 1: жина›сыз

Мысал. Берілген ›атар

Шешімі. Жина›тылу радиусы

.

Сонымен ›атар бЩрі жерде жина›сыз болады.

Демидович Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу. М., «Наука», 1978. (c.288-290)

1. 
   ДЩрежелік ›атардыЈ аны›тамасы?
   
2. 
   Жина›тылу радиусыныЈ формуласы?
   
3. 
   Ж±ы›тау есептеу формулары.
   
4. 
   Абсолют жЩне шартты жина›ьылуы ана›тамасы?
   
5. 
   Лейбниц белгісі. Абель белгісі.
   

Егер онда:

љатар“а жиктеу формуласын мына функция“а пайдаланамыз

Онда:

Мына формуланы пайдаланамыз

Онда

Демидович Б. П. Задачи и упражнения по математическому анализу. М., «Наука», 1978. (c.288-290)

1. 
   Элементар функцияларды ›атар“а жиктеу
   

ТеЈдеуге ›ой“анда :

Айнымалыларды бйлгенде:

Екі жа“ын интегралдаймыз:

Онда ескі у ке кйшеміз Онда жалпы шешімі

Мысал. Дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімін тап:

Шешімі. Мына дифференциалды› теЈдеуді сызы›ты› теЈдеуге келтіреміз:

Онда мына формулар бойынша жалпы шешімі

Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука», 1986. (т.2, c.43-55)

1. 
   Дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімі жне жалпы интегралдыЈ айырмашлы“ы?
   
2. 
   Коши есебі?
   
3. 
   Сызы›ты› жЩне Бернулли теЈдеудіЈ жалпы шешімін табу Щдісі.
   
4. 
   Белгісіздер бйлінетін дифференциалды› теЈдеу?
   
5. 
   Біртектес теЈдеу.
   
6. 
   Толы› дифференциалды теЈдеуі.
   

Онда теЈдеуге ›ой“анда: Онда жалпы шешімі

1)

Дифференциалды› теЈдеудіЈ жалпы шешімін табі Їшін ауыстыру еЈгіземіз: онда

, онда:


Жалпы интегралдыЈ тЇрі:
Шдебиеттер

Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике, ч. 1, 2. М., «Наука», 1986. (т.2, c.67-76)

1. 
   љарапайым теЈдеу.
   
2. 
   ДЩрежесі тйменділетін дифференциалды› теЈдеу.
   
3. 
   Екінші ретті дифференциалды› теЈдеудіЈ Коши есебі?
   

№1-2. Машы›тану саба“ы.

1. Екі айнымалыныЈ функциясыныЈ аны›талу облысын табу.

2. 1-ші жЩне 2-ші ретті дербес йсімше жЩне дербес туындыларды есептеу.

1. ФункцияныЈ аны›талу облысын тап

4) 5)

6) Егер болса неге теЈ?

7) Егер болса функциясыныЈ мЩнін аны›та

8) функциясыныЈ нЇктесіндегі мЩнін тап

9) болса, неге теЈ?

10) -ті тап

11) функциясыныЈ х айнымалысы бойынша дербес туындысын тап

12) функциясыныЈ х айнымалысы бойынша дербес туындысын тап

13) Егер болса –ті тап

14) -ті тап
№3-4-Машы›тану саба“ы

1. Толы› йсімше жЩне толы› дифференциалды есептеу.

2. Толы› дифференциалдыЈ жуы› есептеулерге ›олданылуы.

3. КЇрделі функцияныЈ туындысы.

4. Ай›ын емес тЇрде берілген функцияныЈ туындысы.

15) Егер

16) Егер

17) Егер

18) -ті нЇктесіндегі мЩнін тап

20) 21)

22)

23)

24) 25)

26) Жуы›тап есепте

27) функциясынан x=0,y=1 бол“анда“ы ніЈ жуы› мЩнін есепте.

28) функциясынан x=1,y=0 бол“анда“ы ніЈ жуы› мЩнін есепте.

1. Ба“ыттал“ан туындыны есептеу.

2. Градиентті табу. НЇктедегі градиентті табу .

3. Бетке жанама жазы›ты› пен нормаль тЇзудіЈ теЈдеуін жазу.

4. Екі айнымалы функциясыныЈ экстремумдарын есептеу.

Тапсырмалар.
[4.1.2]. 7-тарау. №3.53-3.5, 3.60-3.65.
2-та›ырып. Екі есеі жЩне Їш еселі интегралдар.
№7-8 Машы›тану саба“ы

1. љос интеграл берілген облысты сызу.

2. љос интегралды еселік интегралдар“а келтіру.

3. љайталан“ан интегралдардыЈ интералдау ретін йзгерту.

4. љос интегралда айнымалыны ауыстыру.

5. љос интегралдыЈ ›олданылуы.

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Еселі интегралды есепте

Екі еселі интегралды есепте G облысы OX осімен жЩне циклоиданыЈ бір тарма“ымен шенелген.

x=a(t-sint), y=a(1-cost), (0 )

Интегралдау тЩртібін йзгерту ережесіне сЇйеніп берілген йрнекті бір екі еселі интеграл ар›ылы жаз

№9-10 Машы›тану саба“ы

1. ®ш еселі интегралды ›айталан“ан интегралдар“а келтіру жЩне есептеу.

2. ®ш еселі интегралда айнымалыны ауыстыру.

3. ®ш еселік интегралдыЈ ›олданылуы.

2x+3y+4z=12, x=0, y=0, z=0 беттерімен шенелген дененіЈ кйлемін тап.

®ш еселі интегралды есепте

®ш еселі интегралды есепте

Беттермен шенелген дененіЈ кйлемін тап , , ,

Беттермен шенелген дененіЈ кйлемін тап , , ,

Беттермен шенелген дененіЈ кйлемін тап , , ,

Есепте , м±нда“ы Т-х=0, у=0, z=0, х=1, у=2, z=3

Есепте , м±нда“ы Т – х=0, х=1, у=2, у=5, z=2, z=4

-?

-?

-?

Есепте , м±нда“ыТ- параллелепипед x+y=1, x+y=2, y=0, z=0, z=3

Есепте , м±нда“ы Т – х=у=z=0, x=1, y=2, z=3

Есепте , м±нда“ы Т – x=y=z=0, x=2, y=4, z=5

Есепте , м±нда“ыx=y=z=0, x=1, y=4, z=16

Есепте dxdydz, м±нда“ы Т – x=y=z=1, x=y=z=2

Есепте , м±нда“ыТ- x=y=z=0, x=y=z=1
№11-12 Машы›тану саба“ы

1. І-ші типті ›исы› сызы›ты интегралдар жЩне оларды есептеу.

2. ІІ-ші типті ›исы› сызы›ты интегралдар жЩне оларды есептеу.

Тапсырмалар.

љисы› сызы›ты интегралды есепте , м±нда L: у=х, А(0, 0) ден В(1, 1)-ге

љисы› сызы›ты интегралды есепте , м±нда“ы L- y=2x+1, А(0.1), В(1, 3)

љисы› сызы›ты интегралды есепте , м±нда“ы L ; y=x-1, от А(0, -1) до В(1, 0)

љисы› сызы›ты интегралды есепте , м±нда“ы L- кесінді А (0,0) ден В(1,

• 
  
  жүктеу/скачать 2.47 Mb.
  
  Достарыңызбен бөлісу: