Барлық жиындардың жиыны жиын болады ма?
Мақсат: барлық керілетін тарылуларды табу. 6. Бір керілетін тарылуларды табу Нысана
жүктеу/скачать 0.73 Mb.
|
| Мақсат: барлық керілетін тарылуларды табу.
6. Бір керілетін тарылуларды табу Нысана: n=2 болсын , l(u)= – Лаплас операторы –бірлік дөңгелек –бірлік шеңбер ={ u ∈ } Қалған туындылары жоқ, себебі p=0. ={ u ∈ } Осыны дәлелдейік: Дәлелі: (6)-дан белгілі гармоникалық теңдеудің түрі іргелі шешімдер жүйесі (x,y), ( ) ∈ болғанда келесі түрде болады: 𝜀(𝑥, 𝑦, 𝜉, 𝜂) = 𝑑 ln( + ), Мұндағы, d- константа (тұрақты) Келесіні енгізейік: , , Бұдан көріп тұрғанымыздай, теңдігі орындалады. Бұдан келесі теңсіздік шығады (x,y)≠ ( ). Келесі фундаменталь шешімді қарастырайық: 𝜀(𝑥, 𝑦, 𝜉, 𝜂) = 𝑑 ln Бұл түрлендірулер дұрыс, себебі , бұдан келесі теңдікті аламыз: 𝑑 ln (2.1) Теңдіктің сол жағын G(𝑥, 𝑦, 𝜉, 𝜂) деп алайық, онда G(𝑥, 𝑦, 𝜉, 𝜂)= 𝑑ln . Енгізілген функция 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝜉,𝜂) шеңбердегі біртекті емес гармоникалық теңдеу үшін Дирихле есебінің Грин функциясын көрсететінін көрсетейік. Қарапайымдылық үшін, теореманы дәлелдеу кезінде 𝑟 = 1 деп есептейміз. Грин функциясы іргелі шешім мен компенсациялық функциядан тұрады: G(𝑥, 𝑦, 𝜉, 𝜂)= 𝜀 (𝑥, 𝑦, 𝜉, 𝜂)-k (𝑥, 𝑦, 𝜉, 𝜂), Мұнда, 𝜀(𝑥, 𝑦, 𝜉, 𝜂) = 𝑑 ln( + k (𝑥, 𝑦, 𝜉, 𝜂)= Бірінші келесіні есептейік: Лейбниц формулалары бойынша келесі қатынастар орындалады: ; . Екеуін қосамыз: Себебі нүктесі облыстың ішінде, ал нүктесі облыстың сыртында жатыр, сондықтан олар сәйкес келмейді. Ендеше келесі теңдік орындалады: фундаменталь шешімі болғандықтан, ( . Мұндағы, ( - Дирак дельта-функциясы. Демек, Грин функциясы ( дифференциалдық теңдеуін қанағаттандырады. Сонымен қатар Грин функциясы теңдігінің оң жағына тең болады. болғандықтан, шекарасы нөлге тең. Сондықтан Грин функциясы шекарасында гармоникалық функция болады. жүктеу/скачать 0.73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|