Өзін-өзі тексеру сұрақтары

1. 
   Сызықтық оператордың әртүрлі базистегі матрицаларының байланысы
   
2. 
   Ұқсас матрицалардың қасиеттері, олардың анықтауыштары
   
3. 
   Сызықтық оператор матрицасының біреу болатынын дәлелдеу
   

1. 
   Вектордың координаталарының базистегі жазылуы
   
2. 
   Вектор мен оның образының координаталарының байланысы
   
3. 
   Осы байланыстың матрицалық жазылуы
   

Егер векторлық кеңістікте сызықтық операторы тұрақтандырылған e,…,e базисінде А матрицасымен берілсе, онда осы базисте өзінің координаталарымен берілген х = ( ,..., ) векторының образы болатын ( х) =( ,..., ) векторының координаталары төмендегі формуламен табылады:

Егер векторлық кеңістікте (1 ), ( 2) базистер беріліп, осы базистердегі

сызықтық операторының матрицалары сәйкесінше А және В болса, және ( 1) - ші базистен (2) – ші базиске көшу матрицасы Т болса, онда осы матрицалартөмендегі формуламен байланысқан болады:
В = Т * А * Т
Өзін-өзі тексеру сұрақтары:

1. 
   Вектордың координаталарының базистегі жазылуы
   
2. 
   Вектор мен оның образының координаталарының байланысы
   
3. 
   Осы байланыстың матрицалық жазылуы
   

№7 дәріс

1. Сызықтық операторларды қосу амалын анықтау

2. Қосынды оператордың матрицасы

3. Қосу амалының қасиеттері

Анықтама. Егер кезкелген вектордың екі сызықтық оператордың нәтижесіндегі образдары беттессе, онда ол операторларды тең деп атайды.

Сонда


Тең сызықтық операторлардың берілген базистегі матрицалары да тең болады. Бұл тұжырым қайтарымды.
Анықтама. Векторлық кеңістікте берілген және сызықтық оператор- ларының қосындысы деп кезкелген x векторына векторын сәйкестікке қоятын заңдылықты айтамыз. Оны деп белгілейді.

Анықталған қосынды сызықтық операторлар жиынында БАО болады. Қосынды оператордың матрицасы қосылғыштардың матрицаларының қосы- ндысына тең болады. Оны былайша жазуға болады:

Бұл қасиеттерден, сызықтық операторлар жиыны қосу арқылы абельдік группа құрайтыны шығады.

1. Сызықтық операторларды қосу амалын анықтау

2. Қосынды оператордың матрицасы

3. Қосу амалының қасиеттері

1. Сызықтық операторларды көбейту амалын анықтау

2. Көбейтінді оператордың матрицасы

3. Көбейту амалының қасиеттері

Анықтама. Векторлық кеңістікте берілген және сызықтық оператор- ларының көбейтіндісі деп кезкелген x векторына векторын сәйкестікке қоятын заңдылықты айтамыз. Оны деп белгілейді.

A=A*A

сызықтық операторлар жиыны осы амалдар арқылы сақина құрайтыны шығады. Ол - бірі бар, коммутативті емес сақина болады.

( 1 ) және ( 3 ) формулалардан сызықтық операторлар мен квадрат матрицалар жиындары арасындағы биективті бейнелеудің аддитивті және мультипликативті болатыны шығады. Онда ол – изоморфизм болады.

Олай болса, F өрісінде берілген n- өлшемді векторлық кеңістікке әсер ететін сызықтық операторлар сақинасы мен элементтері сол өріске тиісті n-ші ретті квадрат матрицалар сақинасы изоморфты. Оны былайша жазады:

1. Сызықтық операторларды көбейту амалын анықтау

2. Көбейтінді оператордың матрицасы

3. Көбейту амалының қасиеттері

№9дәріс

1. Сызықтық операторды скалярға көбейту амалын анықтау

2. Нәтиже оператордың матрицасы

3. Скалярға көбейту амалының қасиеттері

Анықтама. Векторлық кеңістікте берілген сызықтық операторының

скалярына көбейтіндісі деп кезкелген x векторына векторын сәйкестікке қоятын заңдылықты айтамыз. Оны деп белгілейді. Бұл сызықтық операторлар жиынында сыртқы амал болады. Скалярға көбейту амалының нәтижесіндегі оператордың матрицасы берілген оператордың матрицасын сол скалярға көбейткенге тең болады. Оны былайша жазуға болады:

А= A ( 2 )
Скалярға көбейту амалы векторларды қосу амалына қатысты дистрибутивті және скалярларды қосу амалына қатысты дистрибутивті. Осы екі амалдың қасиеттерінен, сызықтық операторлар жиыны қосу және скалярға көбейту амалдары арқылы өзі векторлық кеңістік құрайтыны шығады.
Өзін-өзі тексеру сұрақтары:

1. Сызықтық операторды скалярға көбейту амалын анықтау

2. Нәтиже оператордың матрицасы

3. Скалярға көбейту амалының қасиеттері

1. 
   Сызықтық операторлар жиыны сақина құрайтыны туралы теорема
   
2. 
   Сызықтық операторлар сақинасы мен квадрат матрицалар сақинасының байланысы
   
3. 
   Сызықтық операторлар жиыны сызықтық кеңістік құрайтыны туралы теорема
   

Анықталған көбейтінді сызықтық операторлар жиынында БАО болады. Көбейтінді оператордың матрицасы көбейткіштердің матрицаларының көбейтіндісіне тең болады. Оны былайша жазуға болады:

сызықтық операторлар жиыны осы амалдар арқылы сақина құрайтыны шығады. Ол - бірі бар, коммутативті емес сақина болады.

( 1 ) және ( 3 ) формулалардан сызықтық операторлар мен квадрат матрицалар жиындары арасындағы биективті бейнелеудің аддитивті және мультипликативті болатыны шығады. Онда ол – изоморфизм болады.

Олай болса, F өрісінде берілген n- өлшемді векторлық кеңістікке әсер ететін сызықтық операторлар сақинасы мен элементтері сол өріске тиісті n-ші ретті квадрат матрицалар сақинасы изоморфты. Оны былайша жазады:

1. 
   Сызықтық операторлар жиыны сақина құрайтыны туралы теорема
   
2. 
   Сызықтық операторлар сақинасы мен квадрат матрицалар сақинасының байланысы
   
3. 
   Сызықтық операторлар жиыны сызықтық кеңістік құрайтыны туралы теорема
   

1. Қайтарымды және қайтарымды емес сызықтық операторлар

2. Нұқсанды және нұқсансыз сызықтық операторлар

3. Қайтарымды сызықтық операторлар группасы

Анықтама. Егер векторлық кеңістікте берілген сызықтық операторы үшін = = теңдігін қанағаттандыратын сызықтық операторы табылса, онда сызықтық операторы нұқсансыз сызықтық оператор деп аталады. Ал осы теңдікті қанағаттандыратын сызықтық операторы -ге кері сызықтық оператор деп аталады да деп белгіленеді.

Нұқсансыз сызықтық оператордың белгілі бір базистегі матрицасына кері матрица кері сызықтық оператордың сол базистегі матрицасы болады. Оны мына теңдік арқылы көрсетуге болады:

1. Қайтарымды және қайтарымды емес сызықтық операторлар

2. Нұқсанды және нұқсансыз сызықтық операторлар

3. Қайтарымды сызықтық операторлар группасы

1. Сызықтық оператордың ядросы мен образы

2. Сызықтық оператордың рангсы мен дефектсі

3. Ядро мен образдың қасиеттері

Анықтама. Векторлық кеңістікте берілген сызықтық операторының нәтижесінде нөлдік векторға көшетін векторлар жиынын осы оператордың ядросы деп атайды. Ker( ) деп белгілейді. Сонда

Лемма. Сызықтық оператордың ядросы ішкі кеңістік болады.

Анықтама. Сызықтық оператордың ядросының өлшемі сол оператордың дефектсі деп аталады. Оны def деп белгілейді.
Анықтама. Векторлық кеңістікте берілген сызықтық операторының нәтижесінде прообразы бар векторлардың жиынын сол оператордың образы деп атайды. im деп белгілейді. Сонда
im = у V | у = (x), x V немесе
im = (x) | x V

Лемма. Сызықтық оператордың образы ішкі кеңістік болады.

Сызықтық оператордың дефектсі мен рангсының қосындысы векторлық кеңістіктің өлшеміне тең:

dimV =

+

1. Сызықтық оператордың ядросы мен образы

2. Сызықтық оператордың рангсы мен дефектсі

3. Ядро мен образдың қасиеттері

№13 дәріс Характеристикалық көпмүшелік

1. 
   Сызықтық оператордың характеристикалық көпмүшелігі
   
2. 
   Квадрат матрицаның характеристикалық теңдеуі
   
3. 
   Характеристикалық теңдеудің түбірлерінің қасиеттері
   

Анықтама. Берілген А квадрат матрицасы үшін | А- Е | көпмүшелігі сол матрицаның характеристикалық көпмүшелігі деп, ал | А- Е | = 0 теңдеуі – характеристикалық теңдеуі деп аталады. Характеристикалық теңдеудің түбірлері матрицаның характеристикалық сандары деп аталады. Алгебраның негізгі теоремасынан, С өрісінде характеристикалық теңдеудің ең болмағанда бір түбірі болатынын білеміз.

Анықтама. Сызықтық оператордың матрицасының характеристикалық теңдеуі сол оператордың өзінің характеристикалық теңдеуі деп аталады.

Анықтама. Берілген сызықтық операторы үшін (a ) = a теңдігін қанағаттандыратын скаляры сол оператордың меншікті мәні деп, ал a векторы – мәніне сәйкес келетін меншікті векторы деп аталады.